ויקיספר

מבוא למתמטיקה אוניברסיטאית/הגדרות וסימונים נוספים: הבדלים בין גרסאות בדף

עיון אינטראקטיבי בהיסטוריה
→ העריכה הקודמתהעריכה הבאה ←
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
חזותיקוד ויקי
אין תקציר עריכה
שורה 1:
{{מבוא למתמטיקה אוניברסיטאית}}
== <math>\in</math> סימן ה''שייך ל...'' ==
אם נרצה לומר, שהאיברשהאבר <math>\ x</math> ''שייך'' [[מבוא למתמטיקה אוניברסיטאית/מבוא לקבוצות|לקבוצה]] <math>\ X</math> , נוכל לרשום: <math>x \in X</math> .
* גם סימן זה דומה לאות E הלטינית. קל לזכור שזהו הסימן ''לאלמנט'' בקבוצה אם נזכור כי אלמנט באנגלית הוא Element.▼
 
== <math>\notin</math> סימן ה''לא -שייך ל...'' ==▼
▲* גם סימן זה דומה לאות E הלטינית. קל לזכור שזהו הסימן ''לאלמנט'' בקבוצה אם נזכור כי אלמנט באנגלית הוא Element.
באותה צורה כמו למעלה, אם נרצה לומר שהאיברשהאבר <math>\ y</math> אינו שייך לקבוצה <math>\ X</math> , נרשום: <math>y \notin X</math> .▼
 
▲== <math>\notin</math> סימן ה''לא שייך ל...'' ==
▲באותה צורה כמו למעלה, אם נרצה לומר שהאיבר <math>\ y</math> אינו שייך לקבוצה <math>\ X</math>, נרשום: <math>y \notin X</math> .
 
==פסוק==
פסוק הינו עובדה, טענה או משפט, שיכולים להיות אמת או שקר. למשל: אם היום יום רביעי, נוכל לומר שהפסוק "היום יום רביעי" הוא פסוק אמת. לעומת זאת, אם היום יום רביעי, הפסוק "היום יום ראשון" הוא פסוק שקרי. בחשבון אינפיטיסימלי ובמתמטיקה בכלל, משתמשים לרוב במילה "טענה" במקום במילה "פסוק". לעיתיםלעתים, משתמשים במילה "משפט", שהוא במתמטיקה בעל משמעות יותר חזקה.
 
== <math>\subseteq</math> סימן ה"מכיל את" (או "מוכל ב")==
אם נרצה לומר, שהקבוצה <math>\ A </math> מכילה את הקבוצה <math>\ B </math> , או לחילופין - שהקבוצה <math>\ B </math> מוכלת בתוך הקבוצה <math>\ A </math> , נכתוב: <math>B\subseteq A</math> או <math>\ A\supseteq B</math> .
למשל: נסמן (או נגדיר): <math>\ A=\left\{ 1,2,3,4 \right\}, B=\left\{ 1,2,3 \right\} </math> . ואז מתקיים: <math>\ B\subseteq A</math> .
 
*במקרה כזה, נגיד ש- <math>\ B </math> היא ''תת -קבוצה'' של <math>\ A </math> או ''קבוצה חלקית'' ל- <math>\ A </math> .
*דרך אחרת להביע את <math>\ B\subseteq A</math> , היא לכתוב: <math>\forall x\in B, x\in A </math> (כלומר: כל איבראבר השייך לקבוצה <math>\ B </math> שייך גם לקבוצה <math>\ A </math>).
*אם קיים איבראבר בקבוצה <math>\ A </math> שאינו נמצא בקבוצהבקבוצ <math>\ B </math> , נגיד שהקבוצה <math>\ B </math> ''מוכלת ממש'' בקבוצה <math>\ A </math>. נכתוב זאת בשפת תורת הקבוצות: <math>\exists x\in A|x\not\in b</math> .
:סימון ל''הכלה ממש'': <math>\ B\subset A</math> . במקרה זה, נוכל לכתוב ש- <math>\ A\not\subset B</math> (כלומר <math>\ A </math> אינה מוכלת ב- <math>\ B </math>).
*יש המסמנים הכלה בעזרת הסימון <math>\ B\subset A</math> , ואילו הכלה ממש בעזרת <math>\ B\subsetneq A</math>. בקורס זה, נדבוק בסימונים שצויינו למעלה.
*קל לראות, שכל קבוצות המספרים שהוגדרו בסעיף הקודם מקיימות ביניהן את הקשר הבא:
<center><math>\emptyvarnothing\subseteq\mathbb{N}\subseteq\mathbb{Z}\subseteq\mathbb{Q}\subseteq\mathbb{R}\subseteq\mathbb{C}</math></center >
למעשה, בכל המקרים מדובר בהכלה ממש.
*עבור הקבוצה הריקה <math>\emptyvarnothing</math> , מתקיים: לכל קבוצה <math>\ A </math> , <math>\emptyvarnothing\subseteq A</math>
*לכל קבוצה <math>\ A </math> , מתקיים: <math>\ A\subseteq A</math> (תכונת הרפלקסיביות).
*תכונת הטרנזיטיביות: אם <math>\ A\subseteq B</math> וגם <math>\ B\subseteq C</math> , אזי <math>\ A\subseteq C</math> . אם נרצה להשתמש לגמרי בכתיב של תורת הקבוצות (כלומר בכתיב מתמטי), נכתוב:
<center><math>\left( A\subseteq B\wedge B\subseteq C \right)\Rightarrow A\subseteq C</math></center>▼
*חשוב מאוד להיזהר ולשים לב להבדלים שבין שייכות לבין הכלה! נתבונן, למשל, בדוגמהבדוגמא הבאה: <math>\ A= \left\{ 15, \text{a\, cow}, 12, 78 \right\} </math> . במקרה זה, נכון לכתוב <math>\ 12\in A </math> , אבל לא נכון לכתוב <math>\ 12\subseteq A</math> ! לעומת זאת, מתקיים: <math>\emptyvarnothing\subseteq A</math> (כי כל איבראבר של <math>\empty</math> , באופן ריק, הוא גם איבראבר של <math>\ A </math>) , אבל לא מתקיים <math>\emptyvarnothing\in A</math> , (משום שהקבוצה <math>\ A </math> אינה מכילה את האיברהאבר <math>\left( \empty \right.varnothing</math>).▼
 
דוגמהדוגמא נוספת: נתונה הקבוצה הבאה: <math>\ A=\left\{ 1,2,\left\{ 2,3,\right\} ,\left\{ 4,5\right\} \right\} </math> . עבור כל אחד מהבאים, קבעו האם הוא איבראבר של <math>\ A</math> או תת-קבוצה שלה. נמקו.{{ש}}▼
▲<center><math>\left( A\subseteq B\wedge B\subseteq C \right)\Rightarrow A\subseteq C</math></center>
<br>א. <math>\ 2</math> .{{ש}}▼
▲*חשוב מאוד להיזהר ולשים לב להבדלים שבין שייכות לבין הכלה! נתבונן, למשל, בדוגמה הבאה: <math>\ A= \left\{ 15, a\, cow, 12, 78 \right\} </math>. במקרה זה, נכון לכתוב <math>\ 12\in A </math>, אבל לא נכון לכתוב <math>\ 12\subseteq A</math>! לעומת זאת, מתקיים: <math>\empty\subseteq A</math> (כי כל איבר של <math>\empty</math>, באופן ריק, הוא גם איבר של <math>\ A </math>) , אבל לא מתקיים <math>\empty\in A</math>, (משום שהקבוצה <math>\ A </math> אינה מכילה את האיבר <math>\left( \empty \right.</math>.
<br>גב. <math>\ CB= \left{\{ 2,3\right}\} </math> <br>{{ש}}▼
ג. <math>C=\{2,3\}</math>
 
פתרון: <br>{{ש}}▼
▲דוגמה נוספת: נתונה הקבוצה הבאה: <math>\ A=\left\{ 1,2,\left\{ 2,3,\right\} ,\left\{ 4,5\right\} \right\} </math>. עבור כל אחד מהבאים, קבעו האם הוא איבר של <math>\ A</math> או תת-קבוצה שלה. נמקו.
א. אם נתבונן בקבוצה <math>\ A </math> נראה שהמספר <math>\ 2</math> מופיע בה ואינו חלק מתת-קבוצה שלה, לכן נוכל לכתוב: <math>\ 2\in A </math> . <br>{{ש}}▼
▲<br>א. <math>\ 2</math>.
ב. ראשית נשאל: מהי משמעות הסימון <math>\ \left\{ \left\{ 2,3\right\} \right\} </math> ? ונענה: קבוצה שמכילה את האיברהאבר <math>\ \left\{ 2,3 \right\}</math> , ורק אותו. נשים לב שגם הקבוצה <math>\ A</math> מכילה איבראבר זה, כלומר - כל איבראבר שמכילה הקבוצה <math>\ B</math> , מכילה גם הקבוצה <math>\ A</math> . לכן, הקבוצה <math>\ B</math> מוכלת בקבוצה <math>\ A</math> , ונכתוב: <math>\ \left\{\left\{ 2,3\right\}\right\}\subseteq A</math> . מאחר ומדובר בהכלה ממש (הקבוצה <math>\ A</math> מכילה איבריםאברים שאינם מוכלים בקבוצה זו) נוכל לכתוב אפילו <math>\ \left\{\left\{ 2,3\right\}\right\}\subset A</math> . <br>{{ש}}▼
<br>ב. <math>\ B= \left\{ \left\{ 2,3\right\} \right\} </math>
ג. הקבוצה <math>\ C=\left\{ 2,3\right\} </math> הינה הקבוצה שמכילה את האיבריםהאברים <math>\ 2,3 </math> . נתבונן בקבוצה <math>\ A</math> : היא מכילה את הקבוצה <math>\ C</math> '''''כאיברכאבר''''', לכן מתקיים: <math>\ C= \left\{ 2,3 \right\} \in A </math> .▼
▲<br>ג. <math>\ C= \left\{ 2,3\right\} </math> <br>
▲פתרון: <br>
▲א. אם נתבונן בקבוצה <math>\ A </math> נראה שהמספר <math>\ 2</math> מופיע בה ואינו חלק מתת-קבוצה שלה, לכן נוכל לכתוב: <math>\ 2\in A </math>. <br>
▲ב. ראשית נשאל: מהי משמעות הסימון <math>\ \left\{ \left\{ 2,3\right\} \right\} </math>? ונענה: קבוצה שמכילה את האיבר <math>\ \left\{ 2,3 \right\}</math>, ורק אותו. נשים לב שגם הקבוצה <math>\ A</math> מכילה איבר זה, כלומר - כל איבר שמכילה הקבוצה <math>\ B</math>, מכילה גם הקבוצה <math>\ A</math>. לכן, הקבוצה <math>\ B</math> מוכלת בקבוצה <math>\ A</math>, ונכתוב: <math>\ \left\{\left\{ 2,3\right\}\right\}\subseteq A</math>. מאחר ומדובר בהכלה ממש (הקבוצה <math>\ A</math> מכילה איברים שאינם מוכלים בקבוצה זו) נוכל לכתוב אפילו <math>\ \left\{\left\{ 2,3\right\}\right\}\subset A</math>. <br>
▲ג. הקבוצה <math>\ C=\left\{ 2,3\right\} </math> הינה הקבוצה שמכילה את האיברים <math>\ 2,3 </math>. נתבונן בקבוצה <math>\ A</math>: היא מכילה את הקבוצה <math>\ C</math> '''''כאיבר''''', לכן מתקיים: <math>\ C= \left\{ 2,3 \right\} \in A </math>.
 
== סימון לשלילה ==
ישנם שני סימונים אפשריים: <math>\neg</math> או
<math>\sim </math> . למשל: לא נכון להגיד ש- <math>\ 2<1 </math> , לכן הביטוי <math>\sim\left( 2<1 \right) </math> נכון.
 
==<math>\wedge</math> הכמת "וגם" ==
כל התנאים הרשומים מצידי הסימן <math>\wedge</math> נכונים, או לחילופין - כולם צריכים להתמלא על -מנת שפסוק מסוייםמסוים יהיה אמיתי. למשל: נניח שאדם רוצה לקנות ארטיק בטעם שוקו וגם ארטיק בטעם וניל. אז על -מנת שהאדם יוכל להגשים את רצונו, צריך שבקיוסק יהיה '''גם''' ארטיק בטעם שוקו '''וגם''' ארטיק בטעם וניל. במילים אחרות, צריך להתקיים:</br>
*(בקיוסק יש ארטיק בטעם שוקו) <math>\wedge</math> (בקיוסק יש ארטיק בטעם וניל).
 
==<math>\vee</math> הכמת "או"==
מספיק שאחד התנאים הרשומים מאחד מצדדיו של סימן ה- <math>\vee</math> יתקיימו על -מנת שפסוק כלשהו יהיה אמת, ואין זה משנה כלל אם מתקיים תנאי אחד או אם מתקיימים יותר. למשל: נניח שאדם רוצה לקנות ארטיק בטעם שוקו ''או'' ארטיק בטעם וניל. לשם כך, מספיק שיהיה בקיוסק ''אחד'' מהארטיקיםהארטיקים המבוקשים, ואין זה מפריע כלל אם שניהם נמצאים בקיוסק. כלומר, הדרישה מתמלאת בכל אחד מהמקרים הבאים:
*יש '''רק''' ארטיק בטעם שוקו בקיוסק.
*יש '''רק''' ארטיק בטעם וניל בקיוסק.
*יש '''גם''' ארטיק בטעם שוקו בקיוסק '''וגם''' ארטיק בטעם וניל.
נוכל לרשום את הדרישה באופן הבא:</br>
*(בקיוסק יש ארטיק בטעם שוקו) <math>\vee</math> (בקיוסק יש ארטיק בטעם וניל).
 
==<math>\sum</math> סימון לסכימה==
נניח שנתונים לנו <math>n</math> איבריםאברים <math>x_1,x_2,x_3,...\ldots,x_n</math> , ואנחנו רוצים למצוא את הסכום של כולם. אזי, נוכל לרשום זאת באופן הבא:
:<math>\sum_{ik=1}^n x_i x_k=x_1+x_2+x_3+\cdots+x_n</math> .
*דוגמא: את הסכום של סדרה הנדסית בת <math>n+1</math> איבריםאברים, שאיברהשאברה הראשון <math>1</math> וגורם המכפלה שלה הנו <math>q</math> , ניתן לרשום באופן הבא:
:<math>\sum_{ik=0}^n q^ik =\frac{q^{n+1}-1}{q-1}</math> .
*דוגמא נוספת: הבינום של ניוטון: <math>(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} {n\choose k}\times a^k b^{n-k}</math> , כאשר מגדירים: <math>{n\choose k} = C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}</math> .
 
== <math> \prod</math> סימון למכפלה ==
נניח שנתונים לנו <math>n</math> איבריםאברים <math>x_1,x_2,x_3,...\ldots,x_n</math> , ואנחנו רוצים לחשב את המכפלה של כולם. אזי, נוכל לרשום זאת באופן הבא:
:<math>\prod_{ik=1}^n x_i x_k=x_1\times x_2\times x_3\times ...\dots\times x_n</math> .
 
== סימן ההגדרה==
אמרנו כבר, שכדי להגדיר קבוצה מספיק לרשום אותה. אולם, לעתים נרצה להגדיר דברים אחרים - למשל, משתנים. נניח שאנו משתמשים הרבה בביטוי <math>\sin^2(\alpha)\cdot \cos^5(\beta)-15a+12\cdot \cot(\alpha)</math> , ומעוניינים לחסוך לעצמנו את הטרחה שבכתיבת הביטוי שוב ושוב. על-מנת לעשות זאת, נוכל להגדיר משתנה חדש, שיסמן עבורינו את הביטוי הנ"ל. נניח שנקרא למשתנה החדש <math>x</math> . נכתוב:
:<math>x:=\sin^2(\alpha)\cdot \cos^5(\beta)-15a+12\cdot \cot(\alpha)</math>
{{ש}}
או לחילופין: <math>\ x\stackrel{\triangle}{=} \sin^2(\alpha)\cdot \cos^5(\beta)-15a+12\cdot \cot(\alpha)</math>{{ש}}▼
או לחילופין: <math>x\equiv \sin^2(\alpha)\cdot \cos^5(\beta)-15a+12\cdot \cot(\alpha)</math>.{{ש}}▼
כאשר המשמעות היא, כאמור: <math>x</math> ''מוגדר להיות'' הביטוי הנ"ל. כלומר, בכל מקום שבו כתוב <math>x</math>, עלינו להתנהג כאילו כתוב <math>\sin^2(\alpha)\cdot \cos^5(\beta)-15a+12\cdot \cot(\alpha)</math>. ▼
*הערה: הסימן <math>\equiv</math> משמש גם לסימון זהות, לכן אנו נעדיף כאן את השימוש ב- <math>:=</math> או ב- <math>x\stackrel{\triangle}{=} </math>.▼
 
▲או לחילופין: <math>\ x\stackrel{\triangle}{=} \sin^2(\alpha)\cdot \cos^5(\beta)-15a+12\cdot \cot(\alpha)</math>{{ש}}
▲או לחילופין: <math>x\equiv \sin^2(\alpha)\cdot \cos^5(\beta)-15a+12\cdot \cot(\alpha)</math>.{{ש}}
▲כאשר המשמעות היא, כאמור: <math>x</math> ''מוגדר להיות'' הביטוי הנ"ל. כלומר, בכל מקום שבו כתוב <math>x</math> , עלינו להתנהג כאילו כתוב <math>\sin^2(\alpha)\cdot \cos^5(\beta)-15a+12\cdot \cot(\alpha)</math> .
▲*הערה: הסימן <math>\equiv</math> משמש גם לסימון זהות, לכן אנו נעדיף כאן את השימוש ב- <math>:=</math> או ב- <math>x\stackrel{\triangle}{=} </math> .
 
{{מבוא למתמטיקה אוניברסיטאית|מוגבל=כן}}
אוחזר מתוך "https://he.wikibooks.org/wiki/מבוא_למתמטיקה_אוניברסיטאית/הגדרות_וסימונים_נוספים"