מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/משוואות/משוואות ממעלה שלישית: הבדלים בין גרסאות בדף
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
אין תקציר עריכה |
אין תקציר עריכה |
||
שורה 1:
בפרק זה נעסוק במשוואות כלליות ממעלה שלישית בתבנית <math>ax^3+bx^2+cx+d=0</math> .
שורה 64 ⟵ 63:
<center><math>+\ \sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(\frac{9abc-2b^3-27a^2d}{27a^3}\right)-\sqrt{\frac{1}{4}\left(\frac{9abc-2b^3-27a^2d}{27a^3}\right)^2+\frac{1}{27}\left(\frac{3ac-b^2}{3a^2}\right)^3}}-\frac{b}{3a}</math></center>{{ש}}
ולאחר פישוט:
<center><math>\color{red}
<center><math>\color{red}x_2=\frac{(1-\sqrt3i)\sqrt[3]{2b^3+27a^2d-9abc-\sqrt{\big(9abc-2b^3-27a^2d\big)^2+4\big(3ac-b^2\big)^3}}+(1+\sqrt3i)\sqrt[3]{2b^3+27a^2d-9abc+\sqrt{\big(9abc-2b^3-27a^2d\big)^2+4\big(3ac-b^2\big)^3}}}{6\sqrt[3]2a}-\frac{b}{3a}</math></center>{{ש}}
<center><math>\color{red}x_3=\frac{(1+\sqrt3i)\sqrt[3]{2b^3+27a^2d-9abc-\sqrt{\big(9abc-2b^3-27a^2d\big)^2+4\big(3ac-b^2\big)^3}}+(1-\sqrt3i)\sqrt[3]{2b^3+27a^2d-9abc+\sqrt{\big(9abc-2b^3-27a^2d\big)^2+4\big(3ac-b^2\big)^3}}}{6\sqrt[3]2a}-\frac{b}{3a}</math></center>{{ש}}
שימו לב: עלינו לקחת בחשבון כי מעל המרוכבים למשוואה הקובית עד 3 פתרונות, לכן המספר <math>1</math> הנו בעל 3 שורשים - יחיד ממשי <math>1</math> ו-2 מרוכבים <math>\frac{-1\pm\sqrt3i}{2}</math> . כאשר מוציאים <math>1</math> מתוך כל אחד מהשורשים הקוביים במשוואה הראשונית <math>x_1</math> מקבלים את המשוואות הבאות.
כדי להבין מדוע מופיעים במונה הערכים <math>1\pm\sqrt3i</math> ולא <math>-1\pm\sqrt3i</math> כרגיל, תוכלו לראות כי רק פישטנו את הסרבול בהוצאת סימני מינוס משני המרוכבים והשבתם בהתאמה לתוך השורשים הקוביים הצמודים להם. הדבר מתבטא כמובן בשינוי סימני הערכים בתוך השורשים הנ"ל, שלא כמשוואה הראשונה.
| |||