פיזיקה תיכונית/מכניקה/עבודה ואנרגיה: הבדלים בין גרסאות בדף

תוכן שנמחק תוכן שנוסף
אין תקציר עריכה
שורה 1:
עד עכשיו למדנו לפתור בעיות מההבט של כוחות, ישנם עוד דרכים לפתור בעיות כמו מבחינה אנרגטית למעשה שתי הדרכים שוות זו לזו אבל לפעמים יותר נוח לפתור בעיות על -ידי הסתכלות אנרגטית כמו בדוגמהבדוגמא הבאה:
 
כדור משוחרר ממנוחה מראש מסלול בצורת רבע עיגול, רדיוס המסלול מטר אחד והחיכוך ניתן להזנחה, מה תהיה מהירותו בסוף המסלול?
שורה 6:
 
הדרך לפתרון בעייה זו באמצעות כוחות היא מסובכת ולכן צריך עוד דרכים לפתרון בעיות, לצורך כך אנו מגדירים גדלים חדשים: עבודה ואנרגיה, אבל קודם הקדמה מתמטית קצרה.
 
===כפל וקטורים===
ישנם שני סוגים של כפל בין וקטורים כפל וקטורי וכפל סקלרי, הכפל הוקטורי (מסומן באמצעות <math>\times</math>) והתוצאה מהכפלה זו היא וקטור, לא נעמוד כאן על הדרך להכפלה זו, הדרך השניה היא כפל סקלרי (מסומן בנקודה <math>\cdot</math>) והתוצאה של כפל זה היא סקלר (מספר פשוט) כפל זה נעשה כך: מכפלת גודל הוקטורים בקוסינוס הזוית ביניהם או בצורה מתמטית:
:<math>\vec A \cdot \vec B = |\vec A|\cdot |\vec B|\cdot \cos(\alpha)</math>
כאשר <math>\alpha</math> זההיא הזוית בין הוקטורים.
 
הסתכלות נוספת היא שכפל סקלרי הוא כפל גודל וקטור אחד בהיטלבהטל הוקטור השני עליו או בצורה מתמטית <math>\vec A\cdot\vec B=|\vec A|\cdot|\vec B_A|</math> .
<math>\vec{A} \cdot \vec{B} = |\vec A| \cdot |\vec B_A|</math>.
 
=עבודה=
יש להבדיל בין המושג הפיזיקלי של עבודה לבין המושג היומיומי
 
==הגדרת עבודה==
עבודה מוגדרת כוקטור הכוח כפול כפל סקלרי בוקטור העתק או בצורה מתמטית: <math>\vec F\cdot \vec{\Delta\vec x} =|\vec F|\cdot |\Delta\vec x|\cdot \cos(\alpha)</math>
מבחינה גרפית השטח הכלוא ע"י גרף כוח-מקום שווה לעבודה.
 
שורה 22 ⟵ 24:
 
עד עכשיו דיברנו על כוח קבוע, כשהכוח לא קבוע בגודלו (אבל קבוע בכיוון יחסית להעתק) העבודה היא האינטגרל של הכוח כפונקציה של המקום ובצורה מתמטית:
<math>W =\cos(\alpha)\cdot \int_int\limits_{x_1}^{x_2}{\vec F\cdot dx}</math> כש- <math>\alpha</math> היא הזוית בין וקטור העתק לוקטור הכוח.
בצורה גרפית העבודה היא השטח הכלוא תחת הגרף כוח-מקום
שורה 29 ⟵ 31:
 
'''כמה הערות:'''
* עבודה היא גודל סקלרי.
* עבודה יכולה להיות חיובית שלילית או אפס, דבר זה תלוי בזוית שבין וקטור הכח לוקטור העתק.
* יחידות העבודה הם ג'אול (ששוות מטר כפול ניוטון) והסימון הוא J (היחידות כתובות בסוגריים המרובעים): <math>W = \vec F\cdot \Delta\vec{\Delta x} = [N\cdot m] = [J]</math> ,{{כ}} 1 גאול שוה לכוח בגודל 1 ניוטון הפועל (ומקביל) לאורך 1 מטר.
* אפשר להתייחס לעבודה של כוח בודד גם אם על הגוף פועלים עוד כוחות.
* סך העבודות של כל כוח בנפרד שווה לעבודת הכוח השקול <math>W' = W_1 + W_2 + W_3 + \cdots + W_n</math> כש- <math>W'</math> זה עבודת הכוח השקול.
 
==כוחות משמרים==
כוחות משמרים אלו כוחות שעבודתם תלויה רק בהעתק (ולא במסלול שעברו) במילים אחרות אם יחזרו למקום שממנו יצאו סך העבודה שהכוח המשמר עשה על הגוף יהיה שווה לאפס.
 
כוחות משמרים לדוגמהלדוגמא: הכבידה, האלסטיות, החשמל ועוד. כוחות לא משמרים לדוגמה: החיכוך ועוד
 
=אנרגיה=
לא נתעכב על השאלה מהי בעצם אנרגיה אלא נתייחס לצדדים המעשיים שלה.
* היחידות של אנרגיה הם גם כן ג'אול.
* אנרגיה היא גודל סקלרי.
* על-פי חוק שימור האנרגיה לא נאבדת אנרגיה אלא היא מחליפה צורה או עוברת לגוף אחר.
 
נפרט עכשיו כמה מהסוגים של האנרגיה:
 
'''אנרגיה קנטיתקינטית''' או אנרגיית תנועה מסומנת <math>E_k</math> וגודלה מוגדר כ: <math>E_k = \frac{m\cdot v^2}{2}</math> כש- <math>m</math> מסת הגוף ו- <math>v</math> מהירותו.
 
'''אנרגיה פוטנציאלית כובדית''' או אנרגיית הכובד מסומנת <math>U_g</math> וגודלה מוגדר כ: <math>m\cdotvec g\cdot\vec h</math> כש- <math>m</math> מסת הגוף ו- <math>g</math> תאוצת גוף חופשי ו- <math>h</math> גובה הגוף ממישור היחוס. מישור היחוס הוא המישור ממנו מתחילים למדוד את גובה הגוף, מישור זה נקבע שרירותית ולפי הנוחות. למעשה משום שרוב החישובים שלנו עם אנרגיה זו יהיו על ההפרשים בין נקודות לא ישנה איפה נקבע את מישור היחוס.
 
'''אנרגיה פוטנציאלית אלסטית''' או אנרגיה אלסטית מסומנת <math>U_{sp}</math> וגודלה מוגדר כ: <math>\frac{k\cdot \Delta l^2}{2}</math> כש- <math>k</math> קבוע הקפיץ ו- <math>\Delta l</math> זה המרחק מנקודת הרפיון של הקפיץ.
 
בהמשך נסביר את הסיבה לקביעת גדלים אלו כאנרגיות.
 
==משפט עבודה-אנרגיה==
נקח לדוגמא כוח (השקול) שפועל על גוף בכיוון התנועה של הגוף, המשוואות הבאות מתארות את הפעולה של הכוח.
 
על-פי החוק השני של ניוטון: <sup><font color="#000070">(1)</font></sup> {{כ}} <math>\vec F = m\vec a</math>
 
על-פי משוואות התנועה תנועת הגוף מתוארת במשוואה הבאה: <sup><font color="#000070">(2)</font></sup> {{כ}} <math>v_t^2 = v_0^2 + 2a(x_t-x_0)</math>
 
על-פי המשוואה הראשונה מתקיים השוויון הבא: <math>a=\frac{\vec F}{m}</math>
על-פי משוואות התנועה תנועת הגוף מתוארת במשוואה הבאה: <sup><font color="#000070">(2)</font></sup> {{כ}} <math>v_t^2 = v_0^2 + 2a(x_t-x_0)</math>
 
על-פינציב המשוואהאת הראשונההתוצאה מתקייםהזו השוויוןבמשוואה הבאהשניה ונקבל: <math>a v_t^2= v_0^2+\frac{2\vec F\cdot(x_t-x_0)}{m}</math>
 
נציבנסדר את התוצאה הזו במשוואה השניההמשוואה ונקבל: <math>v_t^2 = v_0^2 + \frac{2\vec F\cdot (x_t-x_0)=\vec F\cdot\Delta\vec x=\frac{m\cdot v_t^2}{2}-\frac{m\cdot v_0^2}{2}</math>
 
כלומר עבודת הכוח השקול שווה לשנוי באנרגייה הקינטית משוואה זו נקראת '''משפט עבודה-אנרגיה''': <math>\vec F\cdot\Delta\vec x=\Delta E_k</math>
נסדר את המשוואה ונקבל: <math>\vec F\cdot (x_t-x_0) = \vec F\cdot \Delta \vec x = \frac{m\cdot v_t^2}{2} - \frac{m\cdot v_0^2}{2}</math>
 
==אנרגיה מכניתמכאנית ושימורה==
כלומר עבודת הכוח השקול שווה לשנוי באנרגייה הקינטית משוואה זו נקראת '''משפט עבודה-אנרגיה''':
נדמיין לעצמנו שגוף נע מנקודה A לנקודה B בהשפעת כוח משמר כתוצאה מאותו הכוח האנרגיה הקינטית שלו משתנה, במידה מסוימת השינוי באנרגיה לא תלוי במסלול שהגוף עבר בו, אפשר לומר אם כן שיש פוטנציאל לאנרגיה קינטית בין הנקודות A ל-B (הפוטנציאל יכול להיות חיובי אם האנרגיה הקנטית עולה או שלילית אם יורדת) למעשה הפוטנציאל מוגדר תמיד בין שתי נקודות שנמצאות בהשפעת הכוח המשמר (אין אפשרות לומר שיש פוטנציאל מסויים בין שתי נקודות שמושפעות מכוח לא משמר כיוון שאנרגיית הגוף בסוף המסלול תלויה גם בדרך).
<math>\vec F\cdot \Delta \vec x = \Delta E_k</math>
 
לכן אנו יכולים להגדיר גודל חדש, '''אנרגיה פוטנציאלית''' (המסומנת ב-U) כלומר כמה פוטנציאל לאנרגיה קינטית יש בנקודה מסוימת לשם נוחות אנו קובעים מישור יחוס כלומר מקום בו הגדרנו שהאנרגיה הפוטנציאלית שווה לאפס וכך כל נקודה בהשפעת הכוח המשמר יכולה לקבל ערך פוטנציאלי יחיד, חישוב הפוטנציאל בין שתי נקודות כלשהן נעשה ע"י חיסור ערך האנרגיה הפוטנציאלית של האחרונה מהראשונה, או בצורה מתמטית: הפוטנציאל לאנרגיה בין שתי נקודות <math>U_1 - U_2=</math> .
==אנרגיה מכנית ושימורה==
*חשוב להבהיר שאנרגיה פוטנציאלית זה אנרגיה לכל דבר.
נדמיין לעצמנו שגוף נע מנקודה A לנקודה B בהשפעת כוח משמר כתוצאה מאותו הכוח האנרגיה הקינטית שלו משתנה, במידה מסוימת השינוי באנרגיה לא תלוי במסלול שהגוף עבר בו, אפשר לומר אם כן שיש פוטנציאל לאנרגיה קינטית בין הנקודות A ל-B (הפוטנציאל יכול להיות חיובי אם האנרגיה הקנטית עולה או שלילית אם יורדת) למעשה הפוטנציאל מוגדר תמיד בין שתי נקודות שנמצאות בהשפעת הכוח המשמר (אין אפשרות לומר שיש פוטנציאל מסויים בין שתי נקודות שמושפעות מכוח לא משמר כיוון שאנרגיית הגוף בסוף המסלול תלויה גם בדרך).
* ניתן להגדיר אנרגיה פוטנציאלית לכל כוח משמר סימן אנרגיה זו נעשה ע"י כתיבת שם הכוח באותיות תחתיות מימין ל-U.
לכן אנו יכולים להגדיר גודל חדש, '''אנרגיה פוטנציאלית''' (המסומנת ב-U) כלומר כמה פוטנציאל לאנרגיה קינטית יש בנקודה מסוימת לשם נוחות אנו קובעים מישור יחוס כלומר מקום בו הגדרנו שהאנרגיה הפוטנציאלית שווה לאפס וכך כל נקודה בהשפעת הכוח המשמר יכולה לקבל ערך פוטנציאלי יחיד, חישוב הפוטנציאל בין שתי נקודות כלשהן נעשה ע"י חיסור ערך האנרגיה הפוטנציאלית של האחרונה מהראשונה, או בצורה מתמטית: הפוטנציאל לאנרגיה בין שתי נקודות <math>U_1 - U_2=</math>.
*היחידות חשובשל להבהיר שאנרגיהאנרגיה פוטנציאלית זה אנרגיה לכלהן דברג'אול.
* מיקום מישור היחוס אין לו משמעות מבחינת הפוטנציאל בין נקודות ומאחר שהפרש זה הוא העיקר אנו קובעים את מיקום מישור הייחוס לפי הנוחות.
* ניתן להגדיר אנרגיה פוטנציאלית לכל כוח משמר סימן אנרגיה זו נעשה ע"י כתיבת שם הכוח באותיות תחתיות מימין ל-U.
* היחידות של אנרגיה פוטנציאלית הן ג'אול.
* מיקום מישור היחוס אין לו משמעות מבחינת הפוטנציאל בין נקודות ומאחר שהפרש זה הוא העיקר אנו קובעים את מיקום מישור הייחוס לפי הנוחות.
 
מהדברים שלמעלה יוצא שהפוטנציאל בין הנקודות שווה לשינוי באנרגיה הקינטית בין אותם הנקודות או בצורה מתמטית:{{ש}}
:<math>\Delta E_k = U_1 - U_2 = -(U_2 - U_1) = -\Delta U</math>
 
נפתח את המשוואה הזו ונקבל:{{ש}}
:<math>E_{k2} - E_{k1} = U_1 - U_2</math>
 
נעביר אגפים ונקבל:{{ש}}
:<math>E_{k1} + U_1 = E_{k2} + U_2</math>
 
ממשוואה זו יוצא שסך האנרגיה הקנטיתהקינטית והאנרגיות הפוטנציאליות שווה בכל נקודה לאורך המסלול שהגוף עבר בו אנרגייהאנרגיה זו (הקינטית פלוסועוד הפוטנציאלית) נקראת אנרגיה מכניתמכאנית (ומסומנת ב-E)
* כאשר עבודת הכוחות הלא משמרים שווה לאפס אין שינוי באנרגיה המכאנית.
* אם יש כוח לא משמר העבודה הנעשית על ידו שווה לשינוי באנרגיה המכאנית.
* למעשה גם כשיש כוח לא משמר האנרגיה נשמרת היא פשוט נהפכת לסוגים אחרים של אנרגיה שלא נכללים באנרגיה המכניתהמכאנית, לדוגמא חיכוך הופך אנרגיה מכאנית לחום כלומר לאנרגית חום.
דברים אלו יובנו יותר עם פירוט אנרגיות פוטנציאליות ספציפיות:
 
===אנרגיה פוטנציאלית כובדית (<math>U_g</math>)===
נסביר את הסיבה לכך שבחרנו את mgh כגודל האנרגיה הפוטנציאלית כובדית.
נתבונן בתרחיש הבא: כדור בעל מסה m משוחרר ממנוחה בנפילה חופשית בליללא חיכוך. נתמקד בקטע ממסלולו בין הנקודות <math>h_1</math> ל- <math>h_2</math> .
 
העבודה שכוח הכובד עשה בקטע זה שווה ל: <math>W_G = |\vec F_G|\cos(0)|\Delta\vec h|</math> הזווית היא אפס בגלל שכיוון הכוח וההעתק זהה.
 
* כזכור כוח הכובד שווה למסה כפול g, {{כ}} <math>\vec F_G = m\cdotvec g</math>. .
* מאחר ו- <math>h_1</math> גדול מ-<math>h_2</math> ו- <math>\Delta h</math> נמצא בערך מוחלט אפשר לעשות: <math>|\Delta\vec h| = h_1 - h_2</math>
 
לכן העבודה שווה גם: <math>W_G =|\vec |F_G|\cdot \cos(0)|\Delta\vec h| = m\cdotvec g\cdot (h_1-h_2) = m\cdotvec gh_1-m\cdotvec gh_2 = -(m\cdotvec gh_2 - m\cdotvec gh_1) = - \Delta(m\vec mghg\cdot\vec h)= - \Delta U_G</math>
 
ומאחר ועבודה שווה לשינוי באנרגיה הקנטית מתקבל: <math>w_G W_G= \Delta E_k = -\Delta U_G</math>
 
נפתח את המשוואה הנ"ל ונקבל: <math>E_{k2} - E_{k1} = -(U_{G2} - U_{G1}) = U_{G1} - U_{G2}</math>