|
==מה היא משוואה==
משוואה הנה אמירה מתמטית, אשר מסמנת שוויון בין שני צדדים של הסימן '''='''. כלומר זהו פסוק אשר משמעותו היא ששני הצדדים של סימן השוויון '''מתארים את אותו מספר'''. <br>
כל משוואה מכילה את סימן השוויון (=) ומשני צדדיו יופיעו ביטויים מתמטיים. <br>
בכל משוואה קיים לפחות נעלם אחד. נעלם הינו סימן מתמטי אשר יבוא במקום מספר כלשהו אשר אותו איננו יודעים.
בשלב ראשון נדבר על '''פתרון המשוואה'''. פתרון למשוואה הינו ערך מספרי אשר אותו ניתן להציב במקום הנעלם
ולקבל ביטוי מתמטי '''אמיתי''' (פסוק אמת). לעיתים ניתן להציב יותר ממספר אחד במקום הנעלם, אך בשלב זה, אנו לא נתייחס לעובדה זו.
נהוג לסמן נעלמים באות הלטינית <math>\ x</math> אך אין זה הכרחי. למעשה כל אות אשר אינה מסמנת מספר קבוע אחר יכולה לשמש כנעלם, ולעיתים מסמנים נעלמים שונים בעזרת אינדקסים שונים כפי שנראה בעתיד.
===דוגמאות===
* הדוגמא החשובה ביותר של משוואה היא ''משוואה ממעלה ראשונה בנעלם אחד'' אשר ידועה גם בשמה השני
''משוואה לינארית בנעלם אחד'': משוואה שבה הנעלם לא מופיע בחזקה גבוהה מאחד כלומר לא מופיעים למשל <math>\ x^2 </math>. לדוגמה: <math>\ x+1=4</math>. נשים לב, שהערך <math>\ x=3</math> מקיים את השוויון, שכן <math>\ 3+1=4</math> ועל כן הוא יקרא '''פתרון''' של המשוואה הנ"ל.
* ''משוואה בנעלם אחד בחזקה גבוהה'': לדוגמה: <math>\ x^3+34-4=x^5</math>. כאן החזקה הגבוהה ביותר של הנעלם היא 5. במקרה זה לא קל לראות מהו פתרון של המשוואה אם אם בכלל ישנו פתרון כזה.
חלק ניכר מהאלגברה עוסק בפתרון משוואות. בנוסף, מנסים מתמטיקאים למצוא כללים שיחלקו את המשוואות לסוגים (כפי שעשינו למעלה), וכן למצוא שיטות לפתרון משוואות.
על נקלה נוכל לראות שקיימות משוואות אשר לא ניתן למצוא להן פתרון בקבוצת ה[[המספרים הממשיים]] כלל כלומר לא קיים מספר שנוכל להציב במקום הנעלם ולקבל פסוק אמיתי. לדוגמא, למשוואה <math>\ x^2=-1</math> אין פתרון במספרים ממשיים כי אין מספר שאם נכפול אותו בעצמו נקבל מספר שלילי (מספר שלילי כפול מספר שלילי הוא מספר חיובי).
==סוגי משואות==
כעת נחלק את המשוואות למספר תחומים. חלוקה זו תעזור לנו במטרתנו העקרית שהיא פתרון המשוואות. נחלק, אם-כן, את המשוואות לקטגוריות הבאות. משוואה יכולה להיות בכמה קטגוריות בו זמנית, או באף אחת מהן.
* משוואות בנעלם אחד - משוואות בהן ישנו רק נעלם אחד (לרוב יסומן ב-<math>\ x</math>)
* משוואות בשנים או יותר נעלמים - נדרש למצוא את הערכים המתאימים ליותר מנעלם אחד.
* משוואות לינאריות - משוואות שבהן מופיעים הנעלמים בגפם כשלכל היותר הם מוכפלים במספר קבוע.
* משוואה ריבועית בנעלם אחד(משוואה ממעלה שניה) - זהו סוג משוואות בעל חשיבות רבה ועל כן מוקדש לו שם נפרד. זוהי משוואה בה הנעלם מופיע בחזקה שניה (ופחות) <math>x^2</math>. אנו נלמד כיצד ניתן לפתור משוואות מסוג זה.
*משוואה ממעלה גבוהה - הנעלם מופיע בחזקה גבוהה מ 2. ניתן לפתור משוואות כאלו עד חזקה 4 אם כי נושא זה אינו בחומר לבגרות לעת עתה. נציין כי ברוב המקרים בהם המשוואה היא ממעלה גבוהה יותר מ-4 לא ניתן לפתור אותה כלל אך לא ניכנס לדקויות של נושא סבוך זה.
==משואות פשוטות בנעלם אחד==
משואות אלו תמיד אפשר להביא לצורה <math>\ ax=b</math> כאשר a ו b הם מספרים רגילים. על מנת לפתור את המשוואה יש פשוט לכתוב <math>\ x=a/b</math>.
הבעיה היא שהמשוואות לא תמיד כתובות בצורה הברורה הזו ויש להביא אותן לצורה הזו בעזרת [[אלגברה תיכונית/משוואות/הפעולות המותרות|הפעולות המותרות]]. <br>
==פתרון משואות==
כעת נראה שיטה כללית שבעזרתה ניתן לפתור כל משוואה בנעלם יחיד. כל עוד לעבוד לפי שיטה זו נראה שתמיד ניתן למצוא פתרון למשוואה. כלומר תמיד נוכל למצוא מספר שנוכל לשים במקום הנעלם והמשוואה תהפוך לשוויון ברור מאליו כמו למשל <math<\ 3=3</math>. <br>
הרעיון הוא להפעיל את הפעולות המותרות כך שבצד אחד של השויון ישאר הנעלם לבדו ובצד השני - מספרים בלבד.
ראשית, נדגיש שמכיוון שבשני הצדדים של המשוואה כתוב בעצם אותו המספר בדיוק, הרי שאם נבצע את אותה פעולה על שני הצדדים, הם עדיין יהיו שווים אחד לשני, כי למעשה ביצענו את '''אותה פעולה''' על '''אותם המספרים'''. נוכל לדמות זאת למאזניים שבכל צד ישנו אותו משקל. ברור שאם המאזניים מאוזנים (כלומר קיים אותו מספר בשני צידי השוויון) אז כל הוספה של משקלים שווים לשתי הכפות של המאזניים לא תפר את שיווי המשקל שלה. כך גם הכפלה של המשקלים בשני הצדדים וכו'. אנו ננצל עובדה זו לפתרון כמעט '''כל''' סוגי המשוואות ובפרט גם סוג פשוט זה. <br>
ניתן להסתכל על הפעולות המותרות כהעברת איברים מצד אחד של המשוואה לצידה השני. לדוגמא <math>x+3=4</math> יש לחסר 3 משני האגפים. בצורת ראיה מקבילה יש להעביר את ה 3 לצד השני, תוך כדי הפיכת סימן. התוצאה זהה והיא x=1.<br>
==חילוץ הנעלם==
אותה שיטה עובדת גם במקרים בהם יש לחלק.
חילוץ הנעלם הינה פעולה שבה אנו מביאים משוואה למצב שבו ברור מאליו לאיזה ערך מספרי מתאים הנעלם. במילים אחרות, זהו מצב שבו הנעלם המצא בצד אחד של המשוואה, ואילו בצד השני מופיעים רק קבועים.
===הערות===
* יש לשים לב שאת הפעולה מבצעים על '''כל''' הצד של המשוואה, לדוגמא <math>\frac{x}{3}+2=4</math> , במהלך הפתרון יש לכפול ב 3, אך שימו לב, לאחר הצעד הזה המשוואה שתתקבל היא <math>x+6=12</math> ולא <math>x+3=12</math>.
* לצורך הפתרון מותר, ולעיתים חובה לבצע את הפעולה בנעלם עצמו, כגון <math>\frac{3}{x}=4</math> , במקרה כזה יש לכפול ב <math>x</math> ולקבל <math>3=4x</math> או <math>x=\frac{3}{4}</math> .
* יש לשים לב ולהיזהר, לא לחלק או לכפול ב 0, בעיקר כאשר כופלים או מחלקים בנעלם עצמו. אם מבצעים פעולה כזו יש לזכור ש <math>x\neq 0</math> מומלץ לרשום עובדה זו בצד.
==בדיקת פתרון==
בדיקת פתרון למשוואה היא פשוטה ביותר - פשוט הציבו את הפתרון במקום הנעלם במשוואה המקורית וחשבו אותה. אם התקבל שוויון- מצאתם פתרון!
| 