מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/משוואות/משוואות פשוטות בנעלם אחד: הבדלים בין גרסאות בדף

תוכן שנמחק תוכן שנוסף
דרורק (שיחה | תרומות)
אין תקציר עריכה
דרורק (שיחה | תרומות)
אין תקציר עריכה
שורה 3:
ראשית, נדגיש שמכיוון שבשני הצדדים של המשוואה כתוב בעצם אותו המספר בדיוק, הרי שאם נבצע את אותה פעולה על שני הצדדים, הם עדיין יהיו שווים אחד לשני, כי למעשה ביצענו את '''אותה פעולה''' על '''אותם המספרים'''. נוכל לדמות זאת למאזניים שבכל צד ישנו אותו משקל. ברור שאם המאזניים מאוזנים (כלומר קיים אותו מספר בשני צידי השוויון) אז כל הוספה של משקלים שווים לשתי הכפות של המאזניים לא תפר את שיווי המשקל שלה. כך גם הכפלה של המשקלים בשני הצדדים וכו'. אנו ננצל עובדה זו לפתרון כמעט '''כל''' סוגי המשוואות ובפרט גם סוג פשוט זה. <br>
==חילוץ הנעלם==
חילוץ הנעלם הינה פעולה שבה אנו מביאים משוואה למצב שבו ברור מאליו לאיזה ערך מספרי מתאים הנעלם. במילים אחרות, זהו מצב שבו הנעלם המצא בצד אחד של המשוואה, ואילו בצד השני מופיעים רק קבועים. ניקח לדוגמא את המקרה של המשוואה הבאה:
<center>
<math>
\ \frac{3}{4} x +\frac{5}{3}=2-1
</math>
</center>
זוהי משוואה פשוטה למדי אך למרות זאת, לא כל-כך קל לנחש איזה מספר ניתן להציב במקום הנעלם <math> \ x</math> על מנת לקבל שוויון מובן מאליו. על מנת למצוא את הפתרון הנכון, ננצל חלק מה[[אלגברה תיכונית/משוואות/הפעולות המותרות|פעולות המותרות]] בפתרון משוואות. אלו הן:
===חיבור או חיסור במספר כלשהו===
ברור מאנלוגית המאזניים שלנו, שכל חיבור או חיסור של מספר כלשהו משני הצדדים (מרגע זה אנו נקרא לצדדים '''אגפים''') של המשוואה לא ישנה את עובדת השוויון. מכיוון שאנו מעוניינים לחלץ את הנעלם, אנו מעוניינים שהנעלם יהיה בצד אחד ללא קבועים לכן נרצה לחסר מאגף שמאל של המשוואה את הקבוע <math<\ \frac{5}{3}</math> אך מכיוון שלא ניתן לחסר רק מאגף שמאל ועדיין לשמור על השוויון הרי שחובה עלינו גם לחסר את אותו מספר גם מאגף ימין. נקבל:
<center>
<math>
\left(\frac{3}{4} x +\frac{5}{3}\right)-\frac{5}{3}=\left(2-1\right)-\frac{5}{3}
</math>
<math>
\frac{3}{4} x +\frac{5}{3}-\frac{5}{3}=2-1-\frac{5}{3}
</math>
<math>
\frac{3}{4} x=2-1-\frac{5}{3}
</math>
<math>
\frac{3}{4} x=-\frac{2}{3}
</math>
</center>
כעת יש לנו את הנעלם באגף שמאל וקבוע באגף ימין אך לא סיימנו, מכיוון שהנעלם אינו חופשי. הוא מוכפל בשלושה רבעים. על מנת לפתור זאת לבצע פעולה מותרת נוספת:
===כפל או חילוק במספר קבוע שאינו 0===
אנו מעוניינים לסלק את המקדם של <math>\ x</math> או במילים אחרות להפכו ל-1. כדי לעשות זאת כל שעלינו לעשות זה כפל של שני האגפים במספר ההפכי של <math>\frac{3}{4}</math>. כלומר אנו נכפיל את שני האגפים ב-<math>\frac{4}{3}</math> ונקבל:
<center>
<math>
\frac{3}{4} x=-\frac{2}{3}
</math>
<math>
\frac{4}{3}\cdot\left(\frac{3}{4}x\right)=\frac{4}{3}\cdot\left(-\frac{2}{3}\right)
</math>
<math>
\frac{4}{3}\cdot\frac{3}{4}x=-\frac{4}{3}\cdot\frac{2}{3}
</math>
<math>
1\cdot x=-\frac{8}{9}
</math>
<math>
x=-\frac{8}{9}
</math>
</center>
ובזאת למעשה חילצנו את הנעלם שלנו כפי שנדרש.
==בדיקה==
על מנת להיות בטוחים שצדקנו בדרכנו ולא טעינו, כל שעלנו לעשות זה להציב את התוצאה שקיבלנו ב'''משוואה המקורית'''.
<center>
<math>
\ \frac{3}{4} x +\frac{5}{3}=2-1
</math>
<math>
\ \frac{3}{4} \left(-\frac{8}{9}\right) +\frac{5}{3}=2-1
</math>
<math>
-\frac{24}{36} +\frac{5}{3}=2-1
</math>
<math>
\ 1=1
</math>
</center>
ומכאן ברור שזהו פסוק אמיתי ולכן קיבלנו '''פתרון''' של המשוואה המקורית כפי שנדרשנו.