ויקיספר

מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/משוואות/משוואות ממעלה שלישית: הבדלים בין גרסאות בדף

עיון אינטראקטיבי בהיסטוריה
→ העריכה הקודמתהעריכה הבאה ←
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
חזותיקוד ויקי
אין תקציר עריכה
שורה 53:
<center><math>x+\frac{b}{3a}=A+B=y\quad,\quad\frac{3ac-b^2}{3a^2}=-3AB=m\quad,\quad\frac{9abc-2b^3-27a^2d}{27a^3}=A^3+B^3=-n</math></center>{{ש}}
<center><math>B=-\frac{m}{3A}\quad,\quad A^3=-n-\left(-\frac{m}{3A}\right)^3</math></center>{{ש}}
<center><math>\Downarrow</math></center>{{ש}}
<center><math>(A^3)^2+n(A^3)-\frac{m^3}{27}=0\qquad\Rightarrow\qquad A^3=-\frac{n}{2}\pm\frac{1}{2}\sqrt{n^2-4\left(-\frac{m^3}{27}\right)}\qquad\Rightarrow\qquad A=\sqrt[3]{-\frac{n}{2}\pm\sqrt{\frac{n^2}{4}+\frac{m^3}{27}}}</math></center>{{ש}}
<center><math>\Downarrow</math></center>{{ש}}
<center><math>B^3=-n-A^3\qquad\Rightarrow\qquad B^3=-n-\left(-\frac{n}{2}\pm\sqrt{\frac{n^2}{4}+\frac{m^3}{27}}\right)=-\frac{n}{2}\mp\sqrt{\frac{n^2}{4}+\frac{m^3}{27}}\qquad\Rightarrow\qquad B=\sqrt[3]{-\frac{n}{2}\mp\sqrt{\frac{n^2}{4}+\frac{m^3}{27}}}</math></center>{{ש}}
<center><math>x=y-\frac{b}{3a}=A+B-\frac{b}{3a}=\sqrt[3]{-\frac{n}{2}+\sqrt{\frac{n^2}{4}+\frac{m^3}{27}}}+\sqrt[3]{-\frac{n}{2}-\sqrt{\frac{n^2}{4}+\frac{m^3}{27}}}-\frac{b}{3a}</math></center>{{ש}}▼
<center><math>\Downarrow</math></center>{{ש}}
▲<center><math>x=y-\frac{b}{3a}=A+B-\frac{b}{3a}=\sqrt[3]{-\frac{n}{2}+\sqrt{\frac{n^2}{4}+\frac{m^3}{27}}}+\sqrt[3]{-\frac{n}{2}-\sqrt{\frac{n^2}{4}+\frac{m^3}{27}}}-\frac{b}{3a}</math></center>{{ש}}
עתה נציב את ערכי הפרמטרים <math>y,m,n</math> בהתאמה במשוואה הסופית:▼
<center><math>x=\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(\frac{9abc-2b^3-27a^2d}{27a^3}\right)+\sqrt{\frac{1}{4}\left(\frac{9abc-2b^3-27a^2d}{27a^3}\right)^2+\frac{1}{27}\left(\frac{3ac-b^2}{3a^2}\right)^3}}</math></center>{{ש}}▼
<center><math>+\ \sqrt[3]{\frac{1}{2}\left(\frac{9abc-2b^3-27a^2d}{27a^3}\right)-\sqrt{\frac{1}{4}\left(\frac{9abc-2b^3-27a^2d}{27a^3}\right)^2+\frac{1}{27}\left(\frac{3ac-b^2}{3a^2}\right)^3}}-\frac{b}{3a}</math></center>{{ש}}▼
ולאחר פישוט:
<center><math>\color{red}x_1=\frac{\sqrt[3]{9abc-2b^3-27a^2d+\sqrt{\big(9abc-2b^3-27a^2d\big)^2+4\big(3ac-b^2\big)^3}}+\sqrt[3]{9abc-2b^3-27a^2d-\sqrt{\big(9abc-2b^3-27a^2d\big)^2+4\big(3ac-b^2\big)^3}}}{3\sqrt[3]2a}-\frac{b}{3a}</math></center>{{ש}}▼
<center><math>\color{red}x_2=\frac{(1-\sqrt3i)\sqrt[3]{2b^3+27a^2d-9abc-\sqrt{\big(9abc-2b^3-27a^2d\big)^2+4\big(3ac-b^2\big)^3}}+(1+\sqrt3i)\sqrt[3]{2b^3+27a^2d-9abc+\sqrt{\big(9abc-2b^3-27a^2d\big)^2+4\big(3ac-b^2\big)^3}}}{6\sqrt[3]2a}-\frac{b}{3a}</math></center>{{ש}}▼
<center><math>\color{red}x_3=\frac{(1+\sqrt3i)\sqrt[3]{2b^3+27a^2d-9abc-\sqrt{\big(9abc-2b^3-27a^2d\big)^2+4\big(3ac-b^2\big)^3}}+(1-\sqrt3i)\sqrt[3]{2b^3+27a^2d-9abc+\sqrt{\big(9abc-2b^3-27a^2d\big)^2+4\big(3ac-b^2\big)^3}}}{6\sqrt[3]2a}-\frac{b}{3a}</math></center>{{ש}}▼
שימו לב: עלינו לקחת בחשבון כי מעל המרוכבים למשוואה הקובית עד 3 פתרונות, לכן המספר <math>1</math> הנו בעל 3 שורשים - יחיד ממשי <math>1</math> ו-2 מרוכבים <math>\frac{-1\pm\sqrt3i}{2}</math> . כאשר מוציאים <math>1</math> מתוך כל אחד מהשורשים הקוביים במשוואה הראשונית <math>x_1</math> מקבלים את המשוואות הבאות.▼
 
▲שימו לב: עלינו לקחת בחשבון כי מעל המרוכבים למשוואה הקובית עד 3 פתרונות, לכן המספר <math>1</math> הנו בעל 3 שורשים - יחיד ממשי <math>1</math> ו-2 מרוכבים <math>\frac{-1\pm\sqrt3i}{2}</math> . כאשר מוציאים <math>1</math> מתוך כל אחד מהשורשים הקוביים במשוואה הראשונית <math>x_1</math> מקבלים את המשוואות הבאות.:
כדי להבין מדוע מופיעים במונה הערכים <math>1\pm\sqrt3i</math> ולא <math>-1\pm\sqrt3i</math> כרגיל, תוכלו לראות כי רק פישטנו את הסרבול בהוצאת סימני מינוס משני המרוכבים והשבתם בהתאמה לתוך השורשים הקוביים הצמודים להם. הדבר מתבטא כמובן בשינוי סימני הערכים בתוך השורשים הנ"ל, שלא כמשוואה הראשונה.▼
▲<center><math>x\color{red}x_1=\sqrt[3]{-\frac{1n}{2}+\left(sqrt{\frac{9abc-2bn^3-27a^2d2}{27a4}+\frac{m^3}\right){27}}}+\sqrt[3]{-\frac{1n}{42}-\left(sqrt{\frac{9abc-2bn^3-27a^2d2}{27a^34}\right)^2+\frac{1m^3}{27}\left(}}-\frac{3ac-b^2}{3a^2}\right)^3}}</math></center>{{ש}}
▲<center><math>+\ color{red}x_2=\sqrt[3]{left(\frac{1-\sqrt3i}{2}\left(right)\sqrt[3]{\frac{9abc-2b^3-27a^2dn}{27a^32}\right)-\sqrt{\frac{1n^2}{4}+\frac{m^3}{27}}}+\left(\frac{9abc-2b^3-27a^2d1+\sqrt3i}{27a^32}\right)^2+\sqrt[3]{\frac{1n}{272}+\left(sqrt{\frac{3ac-bn^2}{3a^24}+\right)frac{m^3}{27}}}-\frac{b}{3a}</math></center>{{ש}}
<center><math>\color{red}x_2=\left(\frac{1+\sqrt3i}{2}\right)\sqrt[3]{\frac{n}{2}-\sqrt{\frac{n^2}{4}+\frac{m^3}{27}}}+\left(\frac{1-\sqrt3i}{2}\right)\sqrt[3]{\frac{n}{2}+\sqrt{\dfrac{n^2}{4}+\frac{m^3}{27}}}-\frac{b}{3a}</math></center>{{ש}}
 
אם כן, מדוע מופיעים המרוכבים במכפלות בזוגות של צמודים ולא בשווה, כלומר <math>(a\pm bi)A+(a\mp bi)B</math> ולא <math>(a\pm bi)(A+B)</math> ? ההסבר פשוט:{{ש}}
כיון שבאחת ההגדרות הראשונות קודם לכן קיבלנו <math>AB=-\frac{m}{3}</math> , ואם נכפיל <math>(a\pm bi)A\cdot(a\mp bi)B</math> נקבל <math>(a^2+b^2)AB</math> - מה גם שגודלו של המרוכב אכן <math>\left|\frac{-1\pm\sqrt3i}{2}\right|=\sqrt{a^2+b^2}=1</math> . נסו זאת.
 
לו נכתוב <math>(a\pm bi)(A+B)</math> נוכל לראות שזו תוצאה שלא פותרת את המשוואה. חד וחלק.
 
▲כדי להבין מדוע מופיעים במונה הערכים <math>\frac{1\pm\sqrt3i}{2}</math> ולא <math>\frac{-1\pm\sqrt3i}{2}</math> כרגיל, תוכלו לראות כי רק פישטנו את הסרבול בהוצאת סימני מינוס משני המרוכבים והשבתם בהתאמה לתוך השורשים הקוביים הצמודים להם. הדבר מתבטא כמובן בשינוי סימני הערכים בתוך השורשים הנ"ל, שלא כמשוואה הראשונה. רואים?
 
 
 
▲עתהכך נציבתראינה המשוואות כשנציב בהן את ערכי הפרמטרים <math>y,m,n</math> בהתאמה במשוואה הסופית:
▲<center><math>\color{red}x_1=\frac{\sqrt[3]{9abc-2b^3-27a^2d+\sqrt{\big(9abc-2b^3-27a^2d\big)^2+4\big(3ac-b^2\big)^3}}+\sqrt[3]{9abc-2b^3-27a^2d-\sqrt{\big(9abc-2b^3-27a^2d\big)^2+4\big(3ac-b^2\big)^3}}}{3\sqrt[3]2a}-\frac{b}{3a}</math></center>{{ש}}
▲<center><math>\color{red}x_2=\frac{(1-\sqrt3i)\sqrt[3]{2b^3+27a^2d-9abc-\sqrt{\big(9abc-2b^3-27a^2d\big)^2+4\big(3ac-b^2\big)^3}}+(1+\sqrt3i)\sqrt[3]{2b^3+27a^2d-9abc+\sqrt{\big(9abc-2b^3-27a^2d\big)^2+4\big(3ac-b^2\big)^3}}}{6\sqrt[3]2a}-\frac{b}{3a}</math></center>{{ש}}
▲<center><math>\color{red}x_3=\frac{(1+\sqrt3i)\sqrt[3]{2b^3+27a^2d-9abc-\sqrt{\big(9abc-2b^3-27a^2d\big)^2+4\big(3ac-b^2\big)^3}}+(1-\sqrt3i)\sqrt[3]{2b^3+27a^2d-9abc+\sqrt{\big(9abc-2b^3-27a^2d\big)^2+4\big(3ac-b^2\big)^3}}}{6\sqrt[3]2a}-\frac{b}{3a}</math></center>{{ש}}
זוהי תוצאה מסורבלת ואף מכוערת, לכן נעדיף לרוב את הדרך הקודמת והקצרה.
אוחזר מתוך "https://he.wikibooks.org/wiki/מתמטיקה_תיכונית/אלגברה_תיכונית/משוואות/משוואות_ממעלה_שלישית"