מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/אינדוקציה מתמטית/אינדוקציה על סכומים: הבדלים בין גרסאות בדף
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ קישורים פנימיים |
אין תקציר עריכה |
||
שורה 3:
===דוגמא===
{{טענה|תוכן=
לכל <math>
כלומר, מדובר על סכום המספרים הטבעיים מ- <math>
מספרים על המתמטיקאי הדגול [[w:קרל פרידריך גאוס|גאוס]] שעוד בילדותו מצא נוסחא זו בעודו בבית הספר, אך לא כאן המקום לדון בכך. פרטים על נוסחא זו תוכלו למצוא במאמר "[[w:קרל פרידריך גאוס|גאוס]]" בויקיפדיה.
{{הוכחה|
עלינו להוכיח שמתקיים:
<math>
*שלב א: בסיס האינדוקציה: נבדוק את נכונות הטענה עבור <math>
<math>
▲*שלב ב: הנחת האינדוקציה: נניח את נכונות הטענה עבור <math>\ n=k </math>, כלומר נניח שמתקיים
▲<math>\ 1+...+k=\frac{k(k+1)}{2} </math> עד ל- <math>\ k </math> מסויים.
▲*שלב ג: צעד האינדוקציה: נוכיח עבור <math>\ n=k+1 </math>. במילים אחרות, עלינו להוכיח שמתקיים:
כעת: ניעזר בהנחת האינדוקציה, ונכתוב: <math>1+\cdots+k+(k+1)=\frac{k(k+1)}{2}+(k+1)</math> , כלומר למעשה עלינו להוכיח שמתקיים:
▲<math>\ 1+...+k+(k+1)=\frac{ \left(k+1 \right) \left( k+2\right)}{2} </math> </br>
אם <math>\star</math> , הרי שמתקיים גם: <math>\ \star\star\
וכן נשים לב שמתקיים: <math>(k+1)(k+2)=k(k+1)+2(k+1)</math> , לכן מ- <math>\ \star
וקיבלנו שוויון.
▲נקבל: <math>\ k(k+1)+2(k+1)=k(k+1)+2(k+1) </math>.</br>
▲וקיבלנו שיוויון. מכאן, על פי משפט ההוכחה באינדוקציה, הטענה נכונה לכל מספר טבעי}}
הוכחנו טענה בסיסית שתעזור לנו בהוכחות יותר מורכבות, שבהן נוכל להתמש בה בלי לנמק איך הגענו אליה.
הרעיון שמאחורי הוכחות כאלו הוא:
#
#
#
יש לשים לב שמותר ואף רצוי
{{תוכן|
|