מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/אינדוקציה מתמטית/אינדוקציה על סכומים: הבדלים בין גרסאות בדף

תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ קישורים פנימיים
אין תקציר עריכה
שורה 3:
===דוגמא===
{{טענה|תוכן=
לכל <math>\ n </math> , סכומם של כל המספרים הטבעיים עד <math>\ n </math> נתון באמצעות הנוסחההנוסחא: <math>\ \frac{n(n+1)}{2} </math>}}
כלומר, מדובר על סכום המספרים הטבעיים מ- <math>\ 1 </math> עד <math>\ n </math> .
מספרים על המתמטיקאי הדגול [[w:קרל פרידריך גאוס|גאוס]] שעוד בילדותו מצא נוסחא זו בעודו בבית הספר, אך לא כאן המקום לדון בכך. פרטים על נוסחא זו תוכלו למצוא במאמר "[[w:קרל פרידריך גאוס|גאוס]]" בויקיפדיה.</br>
 
{{הוכחה|
עלינו להוכיח שמתקיים:
<math>\ 1+2+...\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2} </math> .
*שלב א: בסיס האינדוקציה: נבדוק את נכונות הטענה עבור <math>\ n=1 </math> :
<math>\ 1=\frac{1(1+1)}{2}=\frac{2}{2}=1 </math> , כלומר קיבלנו ש <math>\1=1</math> \Leftarrowלכן \הטענה 1נכונה עבור <math>n=1 </math> .
*שלב ב: הנחת האינדוקציה: נניח את נכונות הטענה עבור <math>\ n=k </math> , כלומר נניח שמתקיים
הטענה נכונה עבור <math>\ n=1 </math>.
:<math>\ 1+...\cdots+k=\frac{k(k+1)}{2} </math> עד ל- <math>\ k </math> מסוייםמסוים.
*שלב ב: הנחת האינדוקציה: נניח את נכונות הטענה עבור <math>\ n=k </math>, כלומר נניח שמתקיים
*שלב ג: צעד האינדוקציה: נוכיח עבור <math>\ n=k+1 </math> . במילים אחרות, עלינו להוכיח שמתקיים:
<math>\ 1+...+k=\frac{k(k+1)}{2} </math> עד ל- <math>\ k </math> מסויים.
:<math>\ 1+...\cdots+k+(k+1)=\frac{ \left(k+1 \right) \left( k+2\right)}{2} </math> </br>
*שלב ג: צעד האינדוקציה: נוכיח עבור <math>\ n=k+1 </math>. במילים אחרות, עלינו להוכיח שמתקיים:
כעת: ניעזר בהנחת האינדוקציה, ונכתוב: <math>1+\cdots+k+(k+1)=\frac{k(k+1)}{2}+(k+1)</math> , כלומר למעשה עלינו להוכיח שמתקיים:
<math>\ 1+...+k+(k+1)=\frac{ \left(k+1 \right) \left( k+2\right)}{2} </math> </br>
נקבל: <math>\ \star\ \frac{k(k+1)+}{2}+(k+1)=k\frac{(k+1)+2(k+12) }{2}</math>.</br>
כעת: ניעזר בהנחת האינדוקציה, ונכתוב:
אם <math>\star</math> , הרי שמתקיים גם: <math>\ \star\star\ 1+...+k(k+1)+2(k+1)=\frac{k(k+1)}{2}+(k+12)</math>,
 
כלומר למעשה עלינו להוכיח שמתקיים:
וכן נשים לב שמתקיים: <math>(k+1)(k+2)=k(k+1)+2(k+1)</math> , לכן מ- <math>\ \star \star</math> \frac{נקבל: <math>k(k+1)}{2}+2(k+1) =\frac{k(k+1)+2(k+21)}{2}</math> .
וקיבלנו שוויון.
אם <math>\ \star </math>, הרי שמתקיים גם: <math>\ \star\star \ k(k+1)+2(k+1)=(k+1)(k+2) </math>
 
</br>וכן נשים לב שמתקיים: <math>\ (k+1)(k+2)=k(k+1)+2(k+1) </math>,
וקיבלנו שיוויון. מכאן, על פי משפט ההוכחה באינדוקציה, הטענה נכונה לכל מספר טבעי}}
לכן מ-
<math>\ \star \star </math>
נקבל: <math>\ k(k+1)+2(k+1)=k(k+1)+2(k+1) </math>.</br>
וקיבלנו שיוויון. מכאן, על פי משפט ההוכחה באינדוקציה, הטענה נכונה לכל מספר טבעי}}
 
הוכחנו טענה בסיסית שתעזור לנו בהוכחות יותר מורכבות, שבהן נוכל להתמש בה בלי לנמק איך הגענו אליה.
הרעיון שמאחורי הוכחות כאלו הוא:
# לנסח את מה שצריך להוכיח נכון.
# לסמן את הנחת האינדוקציה ולהציב אותה בשלב האינדוקציה (לעיתיםלעתים יותר מפעם אחת!).
# לבצע מספר פעולות חשבוניות עד לקבלת התוצאה המיוחלת.
יש לשים לב שמותר ואף רצוי לעיתיםלעתים לנצל את הנחת האינדוקציה כמה פעמים.
 
 
{{תוכן|