מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/אי-שוויונות/אי-שוויונות ממעלה שניה: הבדלים בין גרסאות בדף

תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ קישורים פנימיים
אין תקציר עריכה
שורה 1:
==פתרון אי -שוויונות ממעלה שנייהשניה==
שיטות הפתרון של אי -שוויונות ממעלה שניה שיוצגו פה מתבססות על ידע בסיסי מוקדם ב[[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי|חשבון דיפרנציאלי]] ו[[מתמטיקה תיכונית/חשבון אינטגרלי|חשבון אינטגרלי]]. הידע הנדרש הוא הכרה (בלבד) של פרבולה (במובן של פונקציה ריבועית).
 
לפתרון אי-שוויונות ממעלה שנייהשניה ישנה טכניקה שונה מהטכניקה לפתרון אי-שוויונות ממעלה ראשונה. הטכניקה לפתרון אי-שוויונות ריבועיים היא לצייר בקירוב גס את הפונקציה (על ציר ה-<math>\;x</math> בלבד- הסבר בהמשך), ולראות מתי היא קטנה או גדולה מאפס. ניקח דוגמהלדוגמא: <br>
:<math>\ 2x^2-8x<-6</math></br>
ראשית נפשט את הביטוי ונעביר את '''כל האיבריםהאברים''' לאגף אחד בלבד. כדאי ורצוי להעביר לאגף בו המקדם של <math>\ x^2</math> (a) חיובי (שיקולי נוחות).<br>
<center>
<math>\ 2x^2-8x+6<0</math><br>{{ש}}
<math>\Updownarrow</math><br>{{ש}}
<math>\ x^2-4x+3<0</math><br>
</center>
כעת מה שנעשה הוא שלב עזר. נשווה את הביטוי שבאגף שמאל לאפס (משוואה), ונמצא את שורשי המשוואה.<center>
<br>
<math>\ x^2-4x+3=0</math></br><br>
<math>\ x_{1,2}=\frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2-4\cdot 1\cdot 3}}{2\cdot 1}=\frac{4 \pm \sqrt{4}}{2}=\frac{4 \pm 2}{2}</math><br><br>
<math>\ x_1=\frac{4+2}{2}=3</math><br>
<math>\ x_2=\frac{4-2}{2}=1</math><Br>
</center>
עכשיו משמצאנו את שורשי המשוואה, נוכל לשרטט את הפונקציה בקירוב גס (ואין צורך ביותר מזה):<br>
<center>
<math>\ x^2-4x+3=0</math></br><br>{{ש}}{{ש}}
[[תמונה:Inequality1.PNG]]
<math>\ x_{1,2}=\frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2-4\cdot 1cdot1\cdot 3cdot3}}{2\cdot 1cdot1}=\frac{4 \pm \sqrt{4}sqrt4}{2}=\frac{4 \pm 2pm2}{2}</math><br><br>{{ש}}{{ש}}
</br>
<math>\ x_1=\frac{4+2}{2}=3\quad,\quad x_2=\frac{4-2}{2}=1</math><br>
</center>
עכשיו משמצאנו את שורשי המשוואה, נוכל לשרטט את הפונקציה בקירוב גס (ואין צורך ביותר מזה):<br>
כעתן ניתן לראות, שהביטוי לעיל קטן מ-0 (כי ביקשו קטן) כאשר ערכי איקס הינם בין 1 ל-3. כלומר פתרון אי-השוויון הוא:<br>
<center>[[תמונה:Inequality1.PNG]]</center>
<math>\ 1<x<3</math></br>
כעתן ניתן לראות, שהביטוי לעיל קטן מ-0 (כי ביקשו קטן) כאשר ערכי איקסx הינם בין 1 ל-3. כלומר פתרון אי-השוויון הוא:<br>
לחליפין אם היו שואלים מתי אי-השוויון המפורש (לאחר שפישטנו אותו) גדול מ-0, אזי הפתרון היה <math>\ x>3\ </math> או <math>\ x<1</math>.
:<math>\ 1<x<3</math></br>
לחליפין אם היו שואלים מתי אי-השוויון המפורש (לאחר שפישטנו אותו) גדול מ-0, אזי הפתרון היה <math>\ x>3\ </math> או <math>\ x<1</math>.
:<math>x>3</math> או <math>x<1</math>
 
===השיטה לפתרון===
שלבי הפתרון של אי-שוויון ריבועי:
#מפשטים את אי-השוויון למצב שכל האיבריםהאברים באגף מסוים.
#אם יש צורך, מכפילים את המשוואה ב-(1-) כדי שהמקדם של <math>\ x^2</math> יהיה חיובי.
#משווים ל-0 ומוצאים את שורשי המשוואה (<math>\ x_1</math> ו- <math>\ x_2</math>).
#משרטטים ציר איקס<math>x</math> '''בלבד''', מסמנים עליו את השורשים, ומשרטטים פרבולה ישרה ("מחייכת") (היא ישרה כי דאגנו שהמקדם של האיקס בריבוע<math>x^2</math> יהא חיובי. אלמלא דאגנו לכך, כי אז היה צורך לצייר את הפרבולה הפוכה).
#בודקים איזה תחום נדרש מאיתנו (גדול או קטן מאפס) ומוצאים את התחום הזה בגרף.
#רושמים את הפתרון.
כאשר אנו נדרשים להתיר אי -שוויון ריבועי וחישבנו ומצאנו כי שורשי הביטוי הריבועי הם <math>\ x_1</math> ו- <math>\ x_2</math> . בהנחה ש- <math>\ x_1>x_2</math> אזי:<Br>
<br>
ב. אם הביטוי הריבועי גדולקטן מאפס אזי הפתרון הוא מערכת אווגם: <math>\ x_2<x><x_1</math>
כאשר אנו נדרשים להתיר אי שוויון ריבועי וחישבנו ומצאנו כי שורשי הביטוי הריבועי הם <math>\ x_1</math> ו-<math>\ x_2</math>. בהנחה ש- <math>\ x_1>x_2</math> אזי:<Br>
א. אם הביטוי הריבועי קטןגדול מאפס אזי הפתרון הוא מערכת וגםאו: <math>\x>x_1</math> או x_2<math>x<x_1x_2</math>
ניתן להבין את קביעה זו לפי הגרף הבא:<br><center>
ב. אם הביטוי הריבועי גדול מאפס אזי הפתרון הוא מערכת או: <math>\ x>x_1</math>
<center>[[תמונה:Inequality2.PNG]]<br><BR/center>
או <math>\ x<x_2</math> <br>
ניתן להבין את קביעה זו לפי הגרף הבא:<br><center>
[[תמונה:Inequality2.PNG]]<br><BR>
</center>
 
===אי-שוויונות ריבועיים מיוחדים===
לעתים מופיעים תרגילים בהם נדרשת הוכחה כי אי-שוויון מסוים מתקיים לכל ערך של איקסx, או לא מתקיים עבור אף ערך של איקסx וכו'. בסעיף זה נלמד כיצד לפתור שאלות מסוג זה.<br>
מלימודינו בחשבון דיפרנציאלי ראינו כי המקדם של <math>x^2</math> מלמד על צורתה של הפרבולה: ישרה ("מחיכת") או הפוכה ("בוכה/עצובה"). נלמד כעת תכונה נוספת של ביטויים ריבועיים:<BR>
כידוע, הנוסחה לפתרון משוואה ריבועית היא <math>\ x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}</math>. הביטוי שנמצא מתחת לשורש (<math>\ b^2-4ac</math>) ''' נקרא [[w:דיסקרימיננטה|דיסקרימיננטה]]''' ומסומן באות היוונית-<math>\ \Delta</math> (ד'לתא). לדלתא משמעות רבה לגבי צורת הגרף:
*כאשר הדיסקרימיננטה גדולה מאפס, לגרף של הביטוי הריבועי יש '''שתי נקודות חיתוך''' עם ציר האיקס.
*כאשר הדיסקרימיננטה שווה לאפס, לגרף של הביטוי הריבועי יש '''נקודת חיתוך אחת''' עם ציר האיקס (הגרף בעצם משיק לציר האיקס).
*כאשר הדיסקרימיננטה קטנה מאפס, לגרף של הביטוי הריבועי '''אין נקודות חיתוך''' עם ציר האיקס.
 
מלימודינו בחשבון דיפרנציאלי ראינו כי המקדם של <math>x^2</math> מלמד על צורתה של הפרבולה: ישרה ("מחיכת") או הפוכה ("בוכה/עצובה"). נלמד כעת תכונה נוספת של ביטויים ריבועיים:<BR>
כאשר יודעים את המקדם של ה- <math>a</math> של <math>\ x^2</math> ואת הדיסקרימיננטה, ניתן לשרטט (באופן סכמטי, אך אין צורך ביותר מזה) את גרף הפונקציה. שרטוט גרף הפונקציה בעזרת מרכיבים אלו מאפשר לנו להוכיח ולפתור אי-שוויונות מעט יותר מורכבים. דוגמאות:<br><Br>
 
====דוגמה 1====
כידוע, הנוסחה לפתרון משוואה ריבועית היא <math>\ x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}</math> . הביטוי שנמצא מתחת לשורש (<math>\ b^2-4ac</math>) נקרא ''' נקרא [[w:דיסקרימיננטה|דיסקרימיננטה]]''' ומסומן באות היוונית- <math>\ \Delta</math> (ד'לתאדלתא). לדלתא משמעות רבה לגבי צורת הגרף:
<BR>
*כאשר הדיסקרימיננטה גדולה מאפסמ-0, לגרף של הביטוי הריבועי יש '''שתי נקודות חיתוך''' עם ציר האיקס<math>x</math> .
הוכח כי אי-השוויון <math>\ x^2-2x+1 \ge 0</math> מתקיים עבור כל ערך של איקס (ניסוחים אחרים: נכון עבור כל איקס, נכון תמיד, סימון: <math>x\in\mathbb{R}</math>).<BR>
*כאשר הדיסקרימיננטה שווה לאפסל-0, לגרף של הביטוי הריבועי יש '''נקודת חיתוך אחת''' עם ציר האיקס<math>x</math> (הגרף בעצם משיק לציר האיקס<math>x</math>).
לפתרון שאלה זו שתי דרכים:<BR>
*כאשר הדיסקרימיננטה קטנה מאפסמ-0, לגרף של הביטוי הריבועי '''אין נקודות חיתוך''' עם ציר האיקס<math>x</math> .
א. הדרך הרלוונטית לנו: שרטוט הגרף. בכדי לשרטט את הגרף נזדקק לשני נתונים הכרחיים: <math>\;a</math> והדיסקרימיננטה.
נוכל לראות כי <math>\ a=1>0</math>, כלומר הפרבולה ישרה. שנית, נחשב את הדיסקרימיננטה:<BR>
<math>\ \Delta=b^2-4ac=(-2)^2-4 \cdot 1 \cdot 1=4-4=0</math><BR>
קיבלנו כי הדיסקרימיננטה שווה לאפס, כלומר לגרף הפונקצייה נקודה אחת משותפת עם ציר ה-<math>\;x</math> (הגרף משיק לציר ה-<math>\;x</math>). במונחים של משוואות, למשוואה יש רק פתרון אחד. כעת נוכל לשרטט באופן סכמטי את גרף הפונקציה:<BR>
<center>
[[תמונה:Inequality3.PNG]]<BR></center>
מכאן נוכל לראות שאכן הביטוי הריבועי '''תמיד''' גדול או שווה ל-0 (הוא תמיד מעל (או על) ציר <math>\;x</math>).
<BR><BR>
ב. דרך שנייה היא לאלו מבינינו ששמו לב שמדובר בנוסחת כפל מקוצר. לכן:<BR><center>
<math>\ x^2-2x+1=(x-1)^2</math><BR></center>
וכידוע, ביטוי ריבועי '''תמיד''' גדול או שווה לאפס.
<BR><BR>
 
כאשר יודעים את המקדם של ה- <math>a</math> של <math>\ x^2</math> ואת הדיסקרימיננטה, ניתן לשרטט (באופן סכמטי, אך אין צורך ביותר מזה) את גרף הפונקציה. שרטוט גרף הפונקציה בעזרת מרכיבים אלו מאפשר לנו להוכיח ולפתור אי-שוויונות מעט יותר מורכבים. דוגמאות:<br><Br>
====דוגמה 2====
====דוגמהדוגמא 1====
<BR>
הוכח כי אי-השוויון <math>x^2-2x+1\ge 0</math> מתקיים עבור כל ערך של איקס הביטוי(ניסוחים אחרים: נכון עבור כל x, נכון תמיד, סימון: <math>\ -x^2+5x-7\in\R</math> שלילי). <BR><BR>
 
שוב, כדי לפתור שאלה זו מה שנעשה הוא ננסה לצייר את הפונקציה, וכך נוכיח את נכונות הטענה. בכדי לצייר את הפונקציה, אנו זקוקים לפרמטר <math>\;a</math> (המקדם של ה-<math>\ x^2</math>) ולדיסקרימננטה. נבדוק את הפרמטרים:<BR>
לפתרון שאלה זו שתי דרכים:<BR>{{ש}}
*<math>\ a=-1<0</math>- שלילי.
א. הדרך הרלוונטית לנו: שרטוט הגרף. בכדי לשרטט את הגרף נזדקק לשני נתונים הכרחיים: <math>\;a</math> והדיסקרימיננטה. נוכל לראות כי <math>a=1>0</math> , כלומר הפרבולה ישרה. שנית, נחשב את הדיסקרימיננטה:
*<math>\ \Delta=5^2-4 \cdot (-1) \cdot (-7)=25-28=-3<0</math>, כלומר הדיסקרימננטה שלילית גם כן.<BR>
:<math>\ \Delta=b^2-4ac=(-2)^2-4 \cdot 1 cdot1\cdot 1cdot1=4-4=0</math><BR>
משני נתונים אלו נוכל להסיק כי הפרבולה הפוכה, וכי אין לה נקודות חיתוך עם ציר ה-<math>\;x</math>. נצייר:<BR>
קיבלנו כי הדיסקרימיננטה שווה לאפסל-0, כלומר לגרף הפונקצייה נקודה אחת משותפת עם ציר ה-<math>\;x</math> (הגרף משיק לציר ה-<math>\;x</math>). במונחים של משוואות, למשוואה יש רק פתרון אחד. כעת נוכל לשרטט באופן סכמטי את גרף הפונקציה:<BR>
<center>
<center>[[תמונה:Inequality4Inequality3.PNG]]<BR/center>
מכאן נוכל לראות שאכן הביטוי הריבועי '''תמיד''' גדול או שווה ל-0 (הוא תמיד מעל (או על) ציר <math>\;x</math>).{{ש}}
</center>
ב. דרך שנייהשניה היא לאלו מבינינו ששמו לב שמדובר בנוסחת כפל מקוצר. לכן:<BR><center>
נוכל לראות מהגרף כי גרף הפונקציה נמצא '''תמיד''' מתחת לציר ה-<math>\;x</math>, כלומר תמיד שלילי. שוב, במונחים של משוואות, למשוואה הריבועית הזו אין אף פתרון. (בכך הוכחה הטענה)
:<math>\ x^2-2x+1=(x-1)^2</math><BR></center>
וכידוע, ביטוי ריבועי '''תמיד''' גדול או שווה לאפסל-0.
 
====דוגמהדוגמא 2====
הוכח כי עבור כל ערך של איקס הביטוי <math>-x^2+5x-7</math> שלילי.
 
שוב, כדי לפתור שאלה זו מה שנעשה הוא ננסה לצייר את הפונקציה, וכך נוכיח את נכונות הטענה. בכדי לצייר את הפונקציה, אנו זקוקים לפרמטר <math>\;a</math> (המקדם של ה-<math>\ x^2</math>) ולדיסקרימננטה. נבדוק את הפרמטרים:<BR>
*<math>\ a=-1<0</math>- שלילי.
*<math>\ \Delta=5^2-4 \cdot (-1) \cdot (-7)=25-28=-3<0</math> , כלומר הדיסקרימננטה שלילית גם כן.<BR>
משני נתונים אלו נוכל להסיק כי הפרבולה הפוכה, וכי אין לה נקודות חיתוך עם ציר ה-<math>\;x</math> . נצייר:<BR>
<center>[[תמונה:Inequality3Inequality4.PNG]]<BR></center>
נוכל לראות מהגרף כי גרף הפונקציה נמצא '''תמיד''' מתחת לציר ה-<math>\;x</math> , כלומר תמיד שלילי. שוב, במונחים של משוואות, למשוואה הריבועית הזו אין אף פתרון. (בכך הוכחה הטענה)
 
{{תוכן|
| הפרק הקודם=[[מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/אי שיויונות/אי שיויונות ממעלה ראשונה|אי -שוויונות ממעלה ראשונה]]
| הפרק הנוכחי=אי -שוויונות ממעלה שנייהשניה
| תרגילים=[[מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/אי שיויונות/אי שיויונות ממעלה שנייה/תרגילים|תרגילים]]
| הפרק הבא=[[מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/אי שיויונות/אי שיויונות עם שורשים|אי שיויונות-שוויונות עם שורשים]]
}}
[[קטגוריה:אלגברה תיכונית]]