מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/אי-שוויונות/אי-שוויונות ממעלה שניה: הבדלים בין גרסאות בדף
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ קישורים פנימיים |
אין תקציר עריכה |
||
שורה 1:
==פתרון אי
שיטות הפתרון של אי
לפתרון אי-שוויונות ממעלה
:<math>
ראשית נפשט את הביטוי ונעביר את '''כל
<center>
<math>
<math>\Updownarrow</math>
<math>
</center>
כעת מה שנעשה הוא שלב עזר. נשווה את הביטוי שבאגף שמאל לאפס (משוואה), ונמצא את שורשי המשוואה.
<math>\ x^2-4x+3=0</math></br><br>▼
<math>\ x_{1,2}=\frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2-4\cdot 1\cdot 3}}{2\cdot 1}=\frac{4 \pm \sqrt{4}}{2}=\frac{4 \pm 2}{2}</math><br><br>▼
<math>\ x_1=\frac{4+2}{2}=3</math><br>▼
עכשיו משמצאנו את שורשי המשוואה, נוכל לשרטט את הפונקציה בקירוב גס (ואין צורך ביותר מזה):<br>▼
<center>
[[תמונה:Inequality1.PNG]]▼
▲<math>
</center>
כעתן ניתן לראות, שהביטוי לעיל קטן מ-0 (כי ביקשו קטן) כאשר ערכי איקס הינם בין 1 ל-3. כלומר פתרון אי-השוויון הוא:<br>▼
▲<center>[[תמונה:Inequality1.PNG]]</center>
<math>\ 1<x<3</math></br>▼
▲כעתן ניתן לראות, שהביטוי לעיל קטן מ-0 (כי ביקשו קטן) כאשר ערכי
לחליפין אם היו שואלים מתי אי-השוויון המפורש (לאחר שפישטנו אותו) גדול מ-0, אזי הפתרון היה <math>\ x>3\ </math> או <math>\ x<1</math>.▼
▲לחליפין אם היו שואלים מתי אי-השוויון המפורש (לאחר שפישטנו אותו) גדול מ-0, אזי הפתרון היה
:<math>x>3</math> או <math>x<1</math>
===השיטה לפתרון===
שלבי הפתרון של אי-שוויון ריבועי:
#מפשטים את אי-השוויון למצב שכל
#אם יש צורך, מכפילים את המשוואה ב-
#משווים ל-0 ומוצאים את שורשי המשוואה (<math>
#משרטטים ציר
#בודקים איזה תחום נדרש מאיתנו (גדול או קטן מאפס) ומוצאים את התחום הזה בגרף.
#רושמים את הפתרון.
כאשר אנו נדרשים להתיר אי
▲כאשר אנו נדרשים להתיר אי שוויון ריבועי וחישבנו ומצאנו כי שורשי הביטוי הריבועי הם <math>\ x_1</math> ו-<math>\ x_2</math>. בהנחה ש- <math>\ x_1>x_2</math> אזי:<Br>
▲ב. אם הביטוי הריבועי גדול מאפס אזי הפתרון הוא מערכת או: <math>\ x>x_1</math>
▲ניתן להבין את קביעה זו לפי הגרף הבא:<br><center>
▲[[תמונה:Inequality2.PNG]]<br><BR>
===אי-שוויונות ריבועיים מיוחדים===
לעתים מופיעים תרגילים בהם נדרשת הוכחה כי אי-שוויון מסוים מתקיים לכל ערך של
מלימודינו בחשבון דיפרנציאלי ראינו כי המקדם של <math>x^2</math> מלמד על צורתה של הפרבולה: ישרה ("מחיכת") או הפוכה ("בוכה/עצובה"). נלמד כעת תכונה נוספת של ביטויים ריבועיים:<BR>▼
כידוע, הנוסחה לפתרון משוואה ריבועית היא <math>\ x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}</math>. הביטוי שנמצא מתחת לשורש (<math>\ b^2-4ac</math>) ''' נקרא [[w:דיסקרימיננטה|דיסקרימיננטה]]''' ומסומן באות היוונית-<math>\ \Delta</math> (ד'לתא). לדלתא משמעות רבה לגבי צורת הגרף:▼
*כאשר הדיסקרימיננטה גדולה מאפס, לגרף של הביטוי הריבועי יש '''שתי נקודות חיתוך''' עם ציר האיקס.▼
*כאשר הדיסקרימיננטה שווה לאפס, לגרף של הביטוי הריבועי יש '''נקודת חיתוך אחת''' עם ציר האיקס (הגרף בעצם משיק לציר האיקס).▼
*כאשר הדיסקרימיננטה קטנה מאפס, לגרף של הביטוי הריבועי '''אין נקודות חיתוך''' עם ציר האיקס.▼
▲מלימודינו בחשבון דיפרנציאלי ראינו כי המקדם של <math>x^2</math> מלמד על צורתה של הפרבולה: ישרה ("מחיכת") או הפוכה ("בוכה/עצובה"). נלמד כעת תכונה נוספת של ביטויים ריבועיים:
כאשר יודעים את המקדם של ה- <math>a</math> של <math>\ x^2</math> ואת הדיסקרימיננטה, ניתן לשרטט (באופן סכמטי, אך אין צורך ביותר מזה) את גרף הפונקציה. שרטוט גרף הפונקציה בעזרת מרכיבים אלו מאפשר לנו להוכיח ולפתור אי-שוויונות מעט יותר מורכבים. דוגמאות:<br><Br>▼
====דוגמה 1====▼
▲כידוע, הנוסחה לפתרון משוואה ריבועית היא <math>
▲*כאשר הדיסקרימיננטה גדולה
▲*כאשר הדיסקרימיננטה שווה
לפתרון שאלה זו שתי דרכים:<BR>▼
▲*כאשר הדיסקרימיננטה קטנה
א. הדרך הרלוונטית לנו: שרטוט הגרף. בכדי לשרטט את הגרף נזדקק לשני נתונים הכרחיים: <math>\;a</math> והדיסקרימיננטה.▼
<math>\ \Delta=b^2-4ac=(-2)^2-4 \cdot 1 \cdot 1=4-4=0</math><BR>▼
קיבלנו כי הדיסקרימיננטה שווה לאפס, כלומר לגרף הפונקצייה נקודה אחת משותפת עם ציר ה-<math>\;x</math> (הגרף משיק לציר ה-<math>\;x</math>). במונחים של משוואות, למשוואה יש רק פתרון אחד. כעת נוכל לשרטט באופן סכמטי את גרף הפונקציה:<BR>▼
[[תמונה:Inequality3.PNG]]<BR></center>▼
מכאן נוכל לראות שאכן הביטוי הריבועי '''תמיד''' גדול או שווה ל-0 (הוא תמיד מעל (או על) ציר <math>\;x</math>).▼
ב. דרך שנייה היא לאלו מבינינו ששמו לב שמדובר בנוסחת כפל מקוצר. לכן:<BR><center>▼
<math>\ x^2-2x+1=(x-1)^2</math><BR></center>▼
וכידוע, ביטוי ריבועי '''תמיד''' גדול או שווה לאפס.▼
▲כאשר יודעים את המקדם
====דוגמה 2====▼
הוכח כי אי-השוויון <math>x^2-2x+1\ge 0</math> מתקיים עבור כל ערך של איקס
שוב, כדי לפתור שאלה זו מה שנעשה הוא ננסה לצייר את הפונקציה, וכך נוכיח את נכונות הטענה. בכדי לצייר את הפונקציה, אנו זקוקים לפרמטר <math>\;a</math> (המקדם של ה-<math>\ x^2</math>) ולדיסקרימננטה. נבדוק את הפרמטרים:<BR>▼
*<math>\ a=-1<0</math>- שלילי.▼
▲א. הדרך הרלוונטית לנו: שרטוט הגרף. בכדי לשרטט את הגרף נזדקק לשני נתונים הכרחיים: <math>
*<math>\ \Delta=5^2-4 \cdot (-1) \cdot (-7)=25-28=-3<0</math>, כלומר הדיסקרימננטה שלילית גם כן.<BR>▼
משני נתונים אלו נוכל להסיק כי הפרבולה הפוכה, וכי אין לה נקודות חיתוך עם ציר ה-<math>\;x</math>. נצייר:<BR>▼
▲קיבלנו כי הדיסקרימיננטה שווה
<center>[[תמונה:
▲מכאן נוכל לראות שאכן הביטוי הריבועי '''תמיד''' גדול או שווה ל-0 (הוא תמיד מעל (או על) ציר <math>
נוכל לראות מהגרף כי גרף הפונקציה נמצא '''תמיד''' מתחת לציר ה-<math>\;x</math>, כלומר תמיד שלילי. שוב, במונחים של משוואות, למשוואה הריבועית הזו אין אף פתרון. (בכך הוכחה הטענה)▼
הוכח כי עבור כל ערך של איקס הביטוי <math>-x^2+5x-7</math> שלילי.
▲שוב, כדי לפתור שאלה זו מה שנעשה הוא ננסה לצייר את הפונקציה, וכך נוכיח את נכונות הטענה. בכדי לצייר את הפונקציה, אנו זקוקים לפרמטר <math>
▲*<math>
▲משני נתונים אלו נוכל להסיק כי הפרבולה הפוכה, וכי אין לה נקודות חיתוך עם ציר
▲נוכל לראות מהגרף כי גרף הפונקציה נמצא '''תמיד''' מתחת לציר
{{תוכן|
|
|
|
|
}}
[[קטגוריה:אלגברה תיכונית]]
|