ויקיספר

מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/טכניקות אלגבריות פשוטות/הטרינום: הבדלים בין גרסאות בדף

עיון אינטראקטיבי בהיסטוריה
→ העריכה הקודמתהעריכה הבאה ←
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
חזותיקוד ויקי
אין תקציר עריכה
שורה 1:
==פירוק טרינום ריבועי לגורמים==
סעיף זה מדבר על פעולה הנקראת פירוק טרינום ריבועי לגורמים. טרינום ריבועי הינו רב-איבראבר מהצורה
<center><math>ax^2+bx+c</math></center>
כאשר <math>a\ne0</math> .
a\cdot{x^2}+b\cdot{x}+c
</math>▼
</center>▼
כאשר <math>a\neq{0}</math>.▼
 
הגורמים הם: <math>\ (x-x_1)</math> ו- <math>\ (x-x_2)</math> כאשר <math>\ x_1</math> ו- <math>\ x_2</math> הם '''שורשי הטרינום'''. נרחיב על מושג זה בהמשך.
 
==<math>\ a=1</math>==
נתחיל בפירוק לגורמים כאשר <math>\ a=1</math> . אנו מעוניינים למצוא מכפלה של שני בינומים (דו-איבריםאברים, או פולינומים שבהם שני איבריםאברים בלבד) אשר תוצאתה הסופית היא הטרינום הנתון. ניקח למשל את הטרינום
<center><math>x^2-3x-10</math></center>
מכיווןמכיון שיצרנו אותו לשם הדוגמא, אנו כבר יודעים שהטרינום הזה הוא תוצר של המכפלה להלן. ▼
<math>
תשובה: <center><math>\ 7(x+2)(x-35)</math></center>▼
x^2-3\cdot{x}-10
</math>▼
</center>▼
▲מכיוון שיצרנו אותו לשם הדוגמא, אנו כבר יודעים שהטרינום הזה הוא תוצר של המכפלה להלן.
<center>
<math>
\left(x+2\right)\cdot\left(x-5\right)
</math>▼
</center>
כל אחד מהסוגריים הוא '''גורם''' אחד במכפלה, ומכיוון שהחזקה הגדולה בכל אחד מהגורמים היא 1 לא ניתן להמשיך ולפרק אותם.
 
כאשר אנו ניצבים בפני הטרינום הפתוח, לנחש מה היו הגורמים אשר הביאו ליצירתו זו פעולה קשה. על-כן, אנו מחפשים שיטה פשוטה אשר בהנתן הטרינום הפתוח, נוכל למצוא את גורמיו ללא צורך בניחוש. על -מנת להבין את ההגיון העומד מאחורי שיטה זו נתבונן בפתיחת הסוגריים שהביאה ליצירת הטרינום במקור.
<center>
<math>\ x^2-x-6=(x+2)(x-35) \Rightarrow 7=x(x^2-x-65) = 7(x+2)(x-35)=</math>{{ש}}▼
<math>
<math>=\underbrace{x^2-5x+2x-2\cdot5}=x^2-3x-10</math>{{ש}}
\left(x+2\right)\cdot\left(x-5\right)=x\cdot\left(x-5\right)+2\cdot\left(x-5\right)=
</math>(*)</brmath>
<math>
=\underbrace{x^2-5\cdot{x}+2\cdot{x}-2\cdot{5}}=x^2-3\cdot{x}-10
</math>▼
</br>
<math>
\left(*\right)
</math>▼
</center>
נתבונן בביטוי המסומן ב-(*). על -מנת לחזור חזרה מפעולות פתיחת הסוגריים, אנו נשים לב לעובדה ש-
:<math>\left(-10\right)=\left(-5\right)\cdot{2}cdot2</math>
וגם ש-
:<math>\left(-3\right)=\left(-5\right)+2</math>.
ואנו גם יודעים שעל -מנת לחזור חזרה לביטוי המקורי, חסרים לנו המספרים <math>-5</math> וגם <math>2</math> כך שלמעשה, אנו רואים שמספרים אלו מופיעים בשלב האחרון לפני כינוס האברים אשר מוביל ליצירת הטרינום. כאשר אנו מקבלים את הטרינום בצורתו המוגמרת, עלינו למצוא שילוב אשר יקיים את אותן התכונות אשר אנו רואים לעיל.
<math>\left(-5\right)</math>▼
וגם
<math>\left(2\right)</math>▼
כך שלמעשה, אנו רואים שמספרים אלו מופיעים בשלב האחרון לפני כינוס האיברים אשר מוביל ליצירת הטרינום. כאשר אנו מקבלים את הטרינום בצורתו המוגמרת, עלינו למצוא שילוב אשר יקיים את אותן התכונות אשר אנו רואים לעיל.</br>
כעת נתאר באופן מדוייק את סדר הפעולות הדרוש לפתרון הבעיה ונדגים כל שלב על טרינום הדוגמא שלנו.</br>▼
 
▲כעת נתאר באופן מדוייקמדויק את סדר הפעולות הדרוש לפתרון הבעיה ונדגים כל שלב על טרינום הדוגמא שלנו.</br>
 
ראשית, נרשום את כל המכפלות של '''שני''' מספרים אשר נותנות את <math>\ Cc</math> , האיברהאבר החופשי (במקרה שלנו <math>-10</math>).
<math>\left(-10\right)</math>▼
).
 
<center>
{| border=1 style="text-align: center"
|-
| <math>\beta</math> |
| <math>\alpha</math>
|-
| <math>\left(10\right)</math> || <math>\left(-1\right)</math>
▲כאשר| <math>a\neq{0}-1</math>.
|-
| <math>\left(-10\right)</math> || <math>\left(1\right)</math>
▲| <math>1</math>
|-
| <math>\left(5\right)</math> || <math>\left(-2\right)</math>
▲| <math>-2</math>
|-
| <math>\left(-5\right)</math> || <math>\left(2\right)</math>
▲| <math>2</math>
|}
</center>
 
שנית, נחפש זוג (אשר מופיע בשורה) אשר סכום המספרים בו הוא <math>-3</math> כי זהו המקדם של האבר בו x מופיע ללא חזקה, והוא זה שעבורו מחפשים את הסכום.
<math>\left(-3\right)</math> ▼
כי זהו המקדם של האיבר בו x מופיע ללא חזקה, והוא זה שעבורו מחפשים את הסכום.
 
 
ניתן דוגמא נוספת. הפעם ניקח את הטרינום
:<math>x^2-20\cdot{x}20x+99</math>.
כאן המספרים יותר גדולים ולכן יקשה עלינו לנסות לנחש את הפתרון. נשתמש בסדר הפעולות שקבענו קודם. עלינו ראשית לפרק את 99 לגורמים.
<center>
{| border=1 style="text-align: center"
 
{| border=1
|-
| <math>\alpha</math>
|| <math>\beta</math>
|| <math>\alpha+\beta</math>
|-
| <math>\left(1\right)</math> |
| <math>\left(99\right)</math>
|| <math>\ 100</math>
|-
| <math>\left(-1\right)</math> |
| <math>\left(-99\right)</math>
|| <math>\ -100</math>
|-
▲| <math>3</math>
| <math>\left(3\right)</math> || <math>\left(33\right)</math>||<math>\ 36</math>
▲| <math>\left(-5\right)33</math>
▲| <math>\left(2\right)36</math>
|-
| <math>\left(-3\right)</math> |
| <math>\left(-33\right)</math>
|| <math>\ -36</math>
|-
▲| <math>9</math>
| <math>\left(9\right)</math> || <math>\left(11\right)</math>||<math>\ 20</math>
▲| <math>\left(-10\right)11</math>
▲| <math>\left(-3\right)20</math>
|-
| <math>\left(-9\right)</math> |
| <math>\left(-11\right)</math>
|| <math>\ -20</math>
|}
 
</center>
כעת נסכם וננסה לקבל
<math>\left(-20\right)</math>.
הזוג היחיד שמתאים הוא הזוג שבשורה האחרונה. לכן זה הזוג הנכון, והתשובה המתקבלת היא ש▼
<center>
<math>
x^2-20\cdot{x}+99=\left(x-9\right)\cdot\left(x-11\right)
</math>
</center>
▲כעת נסכם וננסה לקבל <math>-20</math> . הזוג היחיד שמתאים הוא הזוג שבשורה האחרונה. לכן זה הזוג הנכון, והתשובה המתקבלת היא ש-
כפי שנדרש.</br>▼
<center><math>x^2-20x+99=(x-9)(x-11)</math></center>
▲כפי שנדרש.</br>
 
==<math>\ a \neq{1}ne1</math>==
נזכר כי עדיין לא פתרנו את הבעיה עבור טרינום אשר בו המקדם של <math>\ x^2</math> כלומר <math>a\neq{1}ne1</math>. לדוגמא, בטרינום הזה, <math>\ 3x^2+9x+6</math> הוא תוצר של המכפלה
<math>\ 3(x+1)(x+2)</math> , לכן, הגורמים שלו הם: <math>\ 3</math> , <math>\ (x+1)</math> ו- <math>\ (x+2)</math> . שורשי הטרינום הם <math>\ -2-</math> ו- <math>\ 1-1</math> .
 
נדון בדרך למציאת הטרינום כאשר <math>\ a \neq {1}ne1</math> במקרה זה עלינו להוציא אותו מחוץ לסוגריים לכל הטרינום ולהמשיך את הפעולות כרגיל על הטרינום בתוך הסוגריים. מקבלים במקרה זה▼
<center><math>a\cdot\left({x}^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}\right)</math></center>▼
 
במקרה הכללי הפירוק של <math>\ c</math> לא יתן תשובה אשר סכומה הוא באמת <math>\ b</math> והפעולה תיכשל. במקרה זה עדיין לעיתיםלעתים ניתן לפרק טרינום זה אך נושא זה קשור לנושא אחר, אשר בו נידון שוב בפרק [[מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/משוואות|משוואות]] והוא נקרא נוסחאות וייטה.▼
▲נדון בדרך למציאת הטרינום כאשר <math>\ a \neq {1}</math> במקרה זה עלינו להוציא אותו מחוץ לסוגריים לכל הטרינום ולהמשיך את הפעולות כרגיל על הטרינום בתוך הסוגריים. מקבלים במקרה זה
<center>
▲<math>a\cdot\left({x}^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}\right)</math>
</center>
 
▲במקרה הכללי הפירוק של <math>\ c</math> לא יתן תשובה אשר סכומה הוא באמת <math>\ b</math> והפעולה תיכשל. במקרה זה עדיין לעיתים ניתן לפרק טרינום זה אך נושא זה קשור לנושא אחר, אשר בו נידון שוב בפרק [[מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/משוואות|משוואות]] והוא נקרא נוסחאות וייטה.
 
===דוגמא===
בכדי לפרק לגורמים את הטרינום <math>\ 7x^2-7x-42</math> , תחילה, עלינו להוציא את <math>\ a</math> , המקדם של <math>\ x^2</math> , מחוץ לסוגריים:
<center><math>7x^2-7x-42=7\left(\frac{\not7x^2}{\not7}-\frac{\not7x}{\not7}-\frac{42}{7}\right)=7(x^2-x-6)</math></center>▼
<div style="direction: ltr;">
כעת נפרק את הטרינום שבתוך הסוגריים בעזרת השיטה שלמדנו; אנו מחפשים זוג מספרים שמכפלתם היא <math>\ -6</math> וסכומם הוא <math>\ -1</math> .▼
<math>7x^2-7x-42=
▲</center>
▲7\left(\frac{\not7x^2}{\not7}-\frac{\not7x}{\not7}-\frac{42}{7}\right)=
{| border=1 style="text-align: center"
7(x^2-x-6)</math></div>
 
▲כעת נפרק את הטרינום שבתוך הסוגריים בעזרת השיטה שלמדנו; אנו מחפשים זוג מספרים שמכפלתם היא <math>\ -6</math> וסכומם הוא <math>\ -1</math>.
 
{|border=1
|-
| <math>\ \alpha</math>
|| <math>\ \beta</math>
|| <math>\ \alpha + \beta</math>
|-
| <math>\ 1</math>
|| <math>\ -6</math>
|| <math>\ -5</math>
|-
| <math>\ -1</math>
|| <math>\ 6</math>
|| <math>\ 5</math>
|-
| <math>\ 2</math>
|| <math>\ -3</math>
|| <math>\ -1</math>
|-
| <math>\ -2</math>
|| <math>\ 3</math>
|| <math>\ 1</math>
|}
▲</center>
 
הזוג הוא <math>\ 2</math> ו- <math>\ (-3)</math> . הטרינום שבסוגריים <math>\ x^2-x-6</math> מתפרק ל- <math>\ (x+2)(x-3)</math> .
<center><math>x^2-x-6=(x+2)(x-3)\ \Rightarrow\ 7(x^2-x-6)=7(x+2)(x-3)</math></center>
<div style="direction: ltr;">
▲<math>\ x^2-x-6=(x+2)(x-3) \Rightarrow 7(x^2-x-6) = 7(x+2)(x-3)</math>
</div>
 
▲תשובה: <math>\ 7(x+2)(x-3)</math>
 
 
{{תוכן|
| הפרק הקודם=[[מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/טכניקות אלגבריות פשוטות/רבי איבר|רבי איבר-אבר]]
| הפרק הנוכחי=הטרינום
| תרגילים=[[/תרגילים/]]
| הפרק הבא=[[מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/טכניקות אלגבריות פשוטות/דוגמאות ושימושים נוספים|דוגמאות ושימושים נוספים]]
}}
[[קטגוריה:אלגברה תיכונית]]
אוחזר מתוך "https://he.wikibooks.org/wiki/מתמטיקה_תיכונית/אלגברה_תיכונית/טכניקות_אלגבריות_פשוטות/הטרינום"