מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/טכניקות אלגבריות פשוטות/טכניקות של פישוט/נוסחת השורשים: הבדלים בין גרסאות בדף

תוכן שנמחק תוכן שנוסף
ביטול גרסה 133589 של 213.8.204.62 (שיחה)
אין תקציר עריכה
שורה 1:
{{עריכה}}
{{להשלים}}
== המשוואה ==
נוחסתנוסחת השורשים היא נוסחהנוסחא לפתרון [[מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/משוואות/משוואות ריבועיות|משוואה ריבועית]]: <math>\ ax^2+bx+c=0</math>
 
 
== הנוסחה ==
 
מציבים את ה- <math>\ a,b</math> וה-<math>\ c</math> בנוסחה:
 
<math>x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac}}{2a}</math>
 
==דוגמה==
צריך לפרק את הביטוי <math>\ 12x^2-20x-25</math> לגורמים מהצורה <math>\ a(x-x_1)(x-x_2)</math>. נמצא את השורשים <math>\ x_1, x_2</math>:
 
 
<div align="center"><math>
\begin{align}
x_{1,2} &= \frac{20\pm\sqrt{20^2-4 \cdot 12 \cdot (-25)}}{2 \cdot 12} =\\
&= \frac{20\pm\sqrt{1600}}{24} =\\
&= \frac{20\pm 40}{24}
\end{align}
</math></div>
 
== הנוסחה ==
מציבים את ה- <math>\ a,b</math> וה- <math>\ c</math> בנוסחהבנוסחא:
:<math>x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac}}{2a}</math>
 
==דוגמא==
צריך לפרק את הביטוי <math>\ 12x^2-20x-25</math> לגורמים מהצורה <math>\ a(x-x_1)(x-x_2)</math> . נמצא את השורשים <math>\ x_1, x_2</math> :
<center><math>\begin{align}x_{1,2}&=\frac{20\pm\sqrt{20^2-4\cdot12\cdot(-25)}}{2\cdot12}\\&=\frac{20\pm\sqrt{1600}}{24}\\&=\frac{20\pm 40}{24}\end{align}</math></center>
מכאן:
<center><math>x_1 = \frac{20+40}{24} = \frac{5}{2}frac52\quad, \quad x_2 = \frac{20-40}{24} = -\frac{5}{6}frac56</math></center>
 
<div align="center"><math>
x_1 = \frac{20+40}{24} = \frac{5}{2}, \quad x_2 = \frac{20-40}{24} = -\frac{5}{6}
</math></div>
 
 
ומקבלים:
<center><math>12x^2-20x-25 = 12\left(x-\frac{5}{2}frac52\right)\left(x+\frac{5}{6}frac56\right)</math></center>
 
<div align="center"><math>
12x^2-20x-25 = 12\left(x-\frac{5}{2}\right)\left(x+\frac{5}{6}\right)
</math></div>
 
 
ניתן להגיע לתוצאה יפה יותר אם נעלים את השברים. ניתן לפרק את ה-12 לגורמים 6 ו-2 אז נקבל:
 
<center><math>\begin{align}12x^2-20x-25&=2\cdot6\cdot\left(x-\frac52\right)\left(x+\frac56\right)\\&=\left(2x-2\cdot\frac52\right)\left(6x+6\cdot\frac56\right)\\&=(2x-5)(6x+5)\end{align}</math></center>
<div align="center"><math>
\begin{align}
12x^2-20x-25 &= 2\cdot6\cdot\left(x-\frac{5}{2}\right)\left(x+\frac{5}{6}\right) =\\
&= \left(2x-2\cdot\frac{5}{2}\right)\left(6x+6\cdot\frac{5}{6}\right) =\\
&= (2x-5)(6x+5)
\end{align}
</math></div>
 
== דיסקרימיננטה ==
בכדי לראות כמה פתרונות יש למשוואה ריבועית מסויימת יש לחשב את הדיסקרימיננטה. דיסקרימיננטה היא הביטוי שתחת השורש ומסומן באות היוונית דלתא:
:<math>\Delta=b^2-4ac</math>
אם <math>\ \Delta > 0</math> - יש שני פתרונות למשוואה
 
אם <math>\ \Delta = b^2-4ac0</math> - יש פתרון אחד למשוואה
 
אם <math>\ \Delta < 0</math> - אין פתרון למשוואה
 
אם <math>\ \Delta > 0</math> -יש שני פתרונות למשוואה
 
אם <math>\ \Delta = 0</math> - יש פתרון אחד למשוואה
 
אם <math>\ \Delta < 0</math> - אין פתרון למשוואה
 
== ראו גם ==
* [[מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/טכניקות אלגבריות פשוטות/טכניקות של פישוט/נוסחת השורשים/תרגול|תרגול]]
 
[[קטגוריה:אלגברה תיכונית]]