מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/טכניקות אלגבריות פשוטות/רבי איבר: הבדלים בין גרסאות בדף

תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ קטגוריה
אין תקציר עריכה
שורה 1:
{{לאחד|[[מתמטיקה תיכונית/מתמטיקה לבגרות/שאלון ה/אלגברה/היכרות עם תלת האיבר הריבועי (הטרינום)|היכרות עם תלת האיבר-האבר הריבועי (הטרינום)]]|ערך חדש=הערך המאוחד שעדיין איננו קיים|דיון=/דיון איחוד/}}
 
==רבי איבר-אבר==
'''הגדרה''': רב איבר-אבר (פולינום) הינו סכום של אברים אשר כל אחד מהם מורכב ממקדם המכפיל אותו ומחזקה של אחד או יותר משתנים.</br>
 
'''הגדרה''': רב איבר (פולינום) הינו סכום של אברים אשר כל אחד מהם מורכב ממקדם המכפיל אותו ומחזקה של אחד או יותר משתנים.</br>
במקרה הפרטי שלרוב יעניין אותנו, רב-אבר של משתנה יחיד הוא ביטוי מהצורה
<center><math>a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0</math></center>
a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}\cdots+
a_{0}
</math></center>
נדגיש, כמו-כן, שהמספר <math>n</math> יכול להיות מספר טבעי בלבד.
 
כאשר <math>\;a_{n}a_n</math> הוא מספר קבוע (למשל 7) והמשתנה (או הנעלם) הוא <math>x</math> . כאשר מפשטים ביטויים פולינומיים (כלומר ביטויים אשר מהווים רב-אבר) לרוב עדיף להביא את הביטויים לצורת רב-אבר. במצב זה לרוב התבנית תהיה הפשוטה ביותר.
דוגמא לרב-איבראבר במשתנה יחיד
כאשר מפשטים ביטויים פולינומיאליים (כלומר ביטויים אשר מהווים רב-איבר) לרוב עדיף להביא את הביטויים לצורת רב-איבר. במצב זה לרוב התבנית תהיה הפשוטה ביותר.
<center><math>2x^3+\frac14x^2-5x+7</math></center>
דוגמא לרב-איבר במשתנה יחיד
<center><math>
2x^3+\frac{1}{4}x^2-5x+7
</math></center>
דוגמא לרב-איבר בשני משתנים
<center><math>2x^3y^2+\frac13x^2y-5x+7</math></center>
קיימים גם רבי איבר-אבר בני כל מספר טבעי של משתנים.
2x^{3}y^2+\frac{1}{3}x^{2}y-5x+7
</math></center>
קיימים גם רבי איבר בני כל מספר טבעי של משתנים.
 
===ייצוגיצוג של פולינומים===
כאמור פולינום הוא ביטוי מהצורה
<center><math>a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0</math></center>
זהו פולינום במשתנה אחד. המשתנה במקרה זה הינו <math>\ x</math> . צורה זו נקראת הצורה הסטנדרטית של הפולינום. כאשר אנו מעוניינים להגיע לצורה זו, עלינו לדאוג שכל חזקה של המשתנה תוכפל במקדם אחד בלבד. כלומר עלינו לכנס אברים דומים. כפי שניתן לראות (אם כי קצת קשה להוכיח) לא ניתן להציג חזקה מסויימת של המשתנה באמצעות חזקה אחרת בצורה הסטנדרטית ולכן זוהי הצורה הפשוטה ביותר להציג פולינום.
a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}\cdots+
a_{0}
</math></center>
זהו פולינום במשתנה אחד. המשתנה במקרה זה הינו <math>\ x</math>. צורה זו נקראת הצורה הסטנדרטית של הפולינום. כאשר אנו מעוניינים להגיע לצורה זו, עלינו לדאוג שכל חזקה של המשתנה תוכפל במקדם אחד בלבד. כלומר עלינו לכנס אברים דומים. כפי שניתן לראות (אם כי קצת קשה להוכיח) לא ניתן להציג חזקה מסויימת של המשתנה באמצעות חזקה אחרת בצורה הסטנדרטית ולכן זוהי הצורה הפשוטה ביותר להציג פולינום.
 
===דרגה של פולינום===
'''הגדרה''': הדרגה של הפולינום הינה הערך הגדול ביותר של מעריך החזקה של איבראבר כלשהו בפולינום עם מקדם שונה מאפס. </br>{{ש}}
למשל בדוגמא לעיל של רב-איבראבר במשתנה יחיד, דרגת הפולינום הינה 3. גם מספר קבוע הוא פולינום אשר דרגתו 0, מכיווןמכיון שהמספר הקבוע הוא מקדם של איבר בפולינום שחזקתו שווה לאפסל-0 (ומכאן ערכו שווה ל-1).
פולינום אשר בו יש רק איבראבר אחד יקרא '''מונום''' ואילו פולינום אשר בו 2, '''בינום'''. פולינום בו 3 אברים יקרא '''טרינום''' וכך הלאה.
 
===שורש של פולינום===
'''הגדרה''': שורש של פולינום הינו מספר אשר כאשר '''מציבים''' אותו במשתנה של הפולינום מקבלים 0.
 
</br>
לדוגמא, לפולינום <math>\ x-5</math> יש שורש שהוא 5.<BR>{{ש}}
דוגמא נוספת: למשל בפולינום מדרגה גבוהה יותר
<center><math>x^2-2x+1</math></center>
אם מציבים <math>\ x=1</math> מקבלים <math>\ 0</math> ולכן זהו שורש של הפולינום.<br>
<math>\ x^2-2x+1</math>
 
</center>
לכל פולינום מדרגה <math>\ n</math> כלשהי ישנם לכל היותר <math>\ n</math> שורשים. את עובדה זו נקבל ללא הוכחה בשלב זה (אך הוכחה קיימת כמובן). הקורא המתעניין יוכל למצוא מידע נוסף בערך [[w:המשפט היסודי של האלגברה|המשפט היסודי של האלגברה]].
אם מציבים <math>\ x=1</math> מקבלים <math>\ 0</math> ולכן זהו שורש של הפולינום.<br>
לכל פולינום מדרגה <math>\ n</math> כלשהי ישנם לכל היותר <math>\ n</math> שורשים. את עובדה זו נקבל ללא הוכחה בשלב זה (אך הוכחה קיימת כמובן). הקורא המתעניין יוכל למצוא מידע נוסף בערך [[w:המשפט היסודי של האלגברה|המשפט היסודי של האלגברה]].
'''הערה חשובה''': משמעותו של שורש זה (שורש של פולינום) שונה ממשמעותו של השורש החשבוני הרגיל, ולכן לא מסמנים אותם באותו אופן.
 
===כפל פולינומים===
הכפלת פולינומים מתבצעת באופן הרגיל של פתיחת סוגריים. מכאן ניתן להגיע לכמה מסקנות. האחת היא שלכל מכפלת פולינום יש את כל השורשים אל כל אחד מהכופלים וזאת מפני שהפולינום החדש ניתן לכתיבה של שני האיבריםהאברים המקוריים (שאותם מקיימים השורשים שלהם). מסקנה נוספת היא ש'''דרגת''' המכפלה היא סכום דרגות הכופלים. את הסיבה לזה ניתן לראות בקלות אם פותחים סוגריים.
מסקנה נוספת היא ש'''דרגת''' המכפלה היא סכום דרגות הכופלים. את הסיבה לזה ניתן לראות בקלות אם פותחים סוגריים.
 
 
{{תוכן|
| הפרק הקודם=[[מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/טכניקות אלגבריות פשוטות/טכניקות של פישוט|טכניקות של פישוט]]
| הפרק הנוכחי=רבי איבר-אבר
| תרגילים=[[/תרגילים/]]
| הפרק הבא=[[מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/טכניקות אלגבריות פשוטות/הטרינום|הטרינום]]