חשבון אינפיניטסימלי/פונקציות: הבדלים בין גרסאות בדף

פונקציה היא יחס המקיים שעבור כל איבר בתחום ישנו איבר אחד ויחיד בטווח המותאם לו. באופן לא-פורמלי, אנחנו יכולים לחשוב על '''פונקציה''' כעל מכונה, כמו מכונה להכנת נקניקיות. מכונה להכנת נקניקיות, מקבלת בשר ונותנת נקניקיות; פונקציות, בדרך-כלל, מקבלות מספר מסוים ונותנות מספר אחר. המספרים נכנסים לתוך החלק הממוסגר (המוקף בסוגריים) של <math>f(x)</math> . ה-x בסוגריים מסמל כל מספר שאתה רוצה להכניס לפונקציה, וכיון ש-x יכול לקבל כל ערך, הוא נקרא המשתנה הבלתי-תלוי. עכשיו נחליף את כל ה-x-ים בצד ימין של סימן השוויון בערך שהכנסנו, בשביל לקבל את הערך של המשתנה התלוי, התוצר. כדי להגדיר פונקציה אנחנו כותבים:

למרות שאין חוקים נוקשים לשם שניתן לפונקציה, מנהג נפוץ הוא השימוש באותיות ''<math>f'', ''g'' ו-'',h''</math> לסימון פונקציות, ובמשתנה ''x'' לסימון המשתנה הבלתי-תלוי.

לדוגמא, אם הפונקציה הנתונה היא <math>f(x) = \frac{1}{x-2}</math> , התחום הוא כל המספרים הממשיים מלבד המספר 2, מכיווןמכיון ש- <math>f(2)</math> לא קיימת (חלוקה ב-0 אינה מוגדרת).

#כל אלמנט מהתחום של הפונקציה יתן לנו ערך יחיד. לצורך העניין, נניח שברצוננו להגדיר פונקציה, <math>f(x)</math> שתחזיר את השורש המרובע של הארגומנט שלה. עוד נניח שתחומה הוא "כל המספרים הממשיים החיוביים". דבר זה לא יהיה אפשרי, מכיוון שלא תהיה זו באמת פונקציה. זאת משום שעבור ארגומנט נתון ''x'' יש יותר מערך אחד אפשרי עבור <math>f(x)</math> . לדוגמא, אם ''x'' היה 4, אז <math>f(x)</math> היה יכול להיות 2 או 2-. ישנם שני שורשים ריבועיים ל-4.

כאשר מתייחסים לפונקציה מסוימת <math>f</math>, אנו בדרך-כלל מעוניינים לדעת מהו המשתנה הבלתי-תלוי שלה ''x''. לכן, כשאנו מתכוונים לפונקציה <math>f</math> , בדרך-כלל לא נכתוב <math>f</math> , אלא <math>f(x)</math> . הפונקציה שאליה אנו מתייחסים עתה היא "<math>f</math> של ''x''". כך, המשתנה הבלתי-תלוי עכשיו מוסף למשתנה התלוי - רוצה לומר, הכוונה עתה היא שאנו מעוניינים לדעת מהם שני המשתנים. כתיב זה שימושי כאשר ברצוננו לדעת את ערכה של הפונקציה בהנתן משתנה מסוים. לדוגמא, אם הפונקציה היא:

|<div align=left><math>h(x)=\left\{\begin{matrix}1,&\mbox{if }x>0\\-1,&\mbox{if }x<0\end{matrix}\right.</math></div>

נותנת 1 אם הערך שהוכנס אליה הוא חיובי, 1- אם הערך שהוכנס אליה שלילי. שים לב שהפונקציה מסכימה לקבל רק מספרים חיוביים או שליליים, לא <math>0</math> . המתמטיקה מתארת את המצב הזה באמצעות ההצהרה שהמספר <math>0</math> אינו נמצא בתחום של הפונקציה.

|<div align=left><math>f(y)=\left\{\begin{matrix}\int_displaystyle\int\limits_{-y}^{y}e^{x^2}\,dx,&\mbox{if }y>0\\0,&\mbox{if }y\le0\end{matrix}\right.</math></div>

<math>fg(x)=3x+x^2</math>

,<math>f+g=(f+g)(x)=f(x)+g(x)=(3x+2)+(x^2)=x^2+3x+2</math>

,<math>f-g=(f-g)(x)=f(x)-g(x)=(3x+2)-(x^2)=-x^2+3x+2</math>

,<math>f \times g=(f \times g)(x)=f(x)\times g(x)=(3x+2)\times(x^2)=3x^3+2x^2</math>

.<math>\frac{f}{g}=\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{3x+2}{x^2}=\frac{3}{x}+\frac{2}{x^2}</math>

בכל אופן, ישנה דרך ספציפית אחת לשלב פונקציות שאינה קיימת בהקשר של משתנים שאינם פונקציות. ערכה של פונקציה <math>f</math> תלוי בערכו של המשתנה <math> x</math> ; אך, משתנה זה יכול להיות שווה לתוצר של פונקציה אחרת <math>g</math> שפעלה בתורה על משתנה שלישי. אם זהו המקרה, אז התוצר של המשתנה השלישי על-ידי הפעולה המשולבת של <math>f</math> ו- <math>g</math> הוא פונקציה <math>h</math> של המשתנה השלישי; פונקציה זו <math>(h)</math> נקראת ה'''הרכבה''' של שתי הפונקציות האחרות <math>(f, g)</math> . ההרכבה מסומנת על-ידי

<div align=left><math>f\circ g=(f \circ g)(x)=f(g(x))</math></div>

.<math>g(x)=x^2</math>

<div align=left><math>h(x)=f(g(x))=f(x^2)=3(x^2)+2=3x^2+2</math></div>

כאן, <math>h</math> היא ההרכבה של <math>f</math> ו- <math>g</math> . נשים לב כי ההרכבה אינה חילופית (קומוטטיבית):

,<math>f(g(f(x))=g(3x^+2)=(3x+2)^2=9x^2+12x+4</math>

,<math>f(g(f(x))=\ne g(3x + 2f(x)=(3x + 2)^2=9x^2+12x+4</math>

,<math>\mbox{plustimes}(x,y)=x+\times y</math>

|כל הערכים הגדולים או שווים ל- <math>a</math> והערכים הקטנים או שווים ל- <math>b</math>

|<math>\{x:a \le x \le b\}</math>

|<math>\{x:a < x < b\}</math>

|כל הערכים הגדולים או שווים ל- <math>a</math> וקטנים מ- <math>b</math>

|<math>\{x:a \le x < b\}</math>

|כל הערכים הגדולים מ- <math>a</math> וקטנים או שווים ל- <math>b</math>

|<math>\{x:a < x \le b\}</math>

|כל הערכים הגדולים או שווים ל- <math>a</math>.

|<math>\{x:x \ge a\}</math>

|כל הערכים הגדולים מ- <math>a</math>.

|<math>\{x:x > a\}</math>

|כל הערכים הקטנים או השווים ל- <math>a</math>.

|<math>\{x:x \le a\}</math>

|כל הערכים הקטנים מ-<math>a</math>.

|<math>\{x:x < a\}</math>

|<math>\{x: x \in \mathbb{R}\}</math>

נשים לב ש- <math>\infty</math> חייב תמיד להיות לא כלול (הכוונה שאינו נמצא בצד של הסוגריים המרובעים אלא תמיד נסגר עם סוגריים עגולים). זהזאת מכיווןמכיון ש- <math>\infty</math> אינו מספר ממשי, ולכן אינו יכול להיות בתוך הקבוצה שלנו. באופן כללי בחשבון אינפיניטסימלי אנו משתמשים ב- <math>\infty</math> בתור סמל שמקל עלינו את הכתיבה ובא לציין שמשהו אינו חסום (כלומר, יכול להיות גדול כרצוננו).

<div align=left><math>f(x)=\sqrt{1-x^2}</math></div>

<div align=left><math>f(x)=\sqrt{1-x^2}</math></div>

פונקציה, <math>f(x)</math>, היא '''חד-חד-ערכית''' (או פחות נפוץ, '''אינג'קטיבית''') אם, לכל ערך של <math>f</math> , יש רק ערך אחד של x שמתאיםהמתאים לערך המסוים הזה של <math>f</math> . לדוגמא, הפונקציה <math>f(x)=\sqrt{1-x^2}</math> היא לא חד-חד-ערכית, מכיווןמכיון שעבור <math>x=1</math> וגם עבור <math>x=-1</math> התוצאה היא <math>f(x)=0</math> . אך, הפונקציה <math>f(x)=x+2</math> היא חד-חד-ערכית מכיווןמכיון שעבור כל ערך אפשרי של <math>f(x)</math> (או <math>y</math>), יש בדיוק ערך אפשרי אחד של <math>x</math> (והוא <math>y-2</math>) שיגרום ל- <math>f(x)</math> להיות y.

<div align=left><math>g(f(x))=f(g(x))=x</math></div>

הפונקציה ההפכית של <math>f(x)</math> מסומנת כ- <math>f^{-1}(x)</math> .

לפעמיםלעתים קשה להבין את ההתנהגות של פונקציה הנתונה כהגדרה בלבד; ייצוג ויזואלי או גרף יכולים לסייע. '''גרף''' הוא קבוצה של נקודות במישור הקרטזי, כאשר כל נקודה <math>(x,y)</math> מצהירה ש- <math>f(x)=y</math> . במילים אחרות, גרף משתמש במיקומה של נקודה בכיוון אחד (''הציר האנכי'' או ''ציר ה-y'') בשביל לציין את הערך של <math>f</math> עבור מיקום של הנקודה בכיוון אחר (''הציר המאוזן'' או ''ציר ה-x'').

הרחבה של הפונקציה מעבר לנקודות ששרטטנו אפשרית, אך נעשית לא מהימנה ככל שהרחבה זו נמשכת (או פשוט שגויה אם התנהגותה של הפונקציה משתנה).{{ש}}

<div align=left><math>f(x)=\frac{a}{b}x</math></div>

**חוק החילוף (הקומוטטיביות): <math>a+b=b+a</math> .

**חוק הקיבוץ (האסוציאטיביות): <math>((a+b)+c)=(a+(b+c))</math> .

**זהות החיבור: <math>a+0=a</math> .

**ההופכי ביחס לחיבור: <math>a+(-a)=0</math> .

**הגדרה: <math>a+(-a)=0</math> .

**חוק החילוף (הקומוטטיביות): <math>a\times b=b\times a</math> .

**חוק הקיבוץ (האסוציאטיביות): <math>(a\times b)\times c=a\times (b\times c)</math> .

**ההפכי ביחס לכפל: <math>a\times \frac{1}{a}=1\ ,\qquad a \neq 0ne0</math> .

**חוק הפילוג (הדיסטריביוטיביות): <math>a\times (b+c)=a\times b+a\times c</math> .

**הגדרה: <math>\frac{a}{b}=a\times \frac{1}{b}\ ,\qquad b \neq 0ne0</math> .

החוקים דלעיל נכונים עבור כל <math>a</math>, <math>b,c</math> ו-c, בין אם אלו מספרים, משתנים, פונקציות או ביטויים אחרים. לדוגמא, למרות ש-

<math>=[(x+2)\times (1)]\,=</math>{{ש}}

<math>=x+2\,</math>

<div align=left><math>\frac{2\times (x+2)}{2}=x+2</math></div>