הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/טורים ומבחני התכנסות/מבחן דיריכלה: הבדלים בין גרסאות בדף

▲'''משפט:''' תהי <math>\!\, a_n </math> סדרה מונוטונית שואפת לאפס ותהי <math>\!\, b_n </math> סדרה שעבורה קיים מספר חיובי <math>M</math> כך שלכל <math>N</math> טבעי מתקיים <math> | \sum_{n=1}^N{b_n} | < M </math>. בתנאים אלה הטור <math>\sum_{n=1}^\infty a_n \cdot b_n </math> מתכנס.

▲תהי <math>S_n</math> סדרת הסכומים החלקיים של <math>b_n</math>, כלומר: <math>S_n = \sum_{k=1}^n b_n</math>. אם נגדיר: <math>S_0 = 0</math>, נוכל לרשום לכל <math>n</math> טבעי:

▲<math>b_n = S_n - S_{n-1}</math>

▲<math>= \sum_{n=1}^N a_n \cdot S_n + \sum_{n=1}^{N-1} a_{n+1} \cdot S_n = \sum_{n=1}^{N-1} S_n \cdot (a_n - a_{n+1}) \ \ + \ \ a_N \cdot S_N</math>

▲ולסיכום הגענו לנוסחה:

▲<math>\sum_{n=1}^N a_n \cdot b_n = \sum_{n=1}^{N-1} S_n \cdot (a_n - a_{n+1}) \ \ + \ \ a_N \cdot S_N</math>

▲נניח, ללא הגבלת הכלליות, שהסדרה <math>a_n</math> היא מונוטונית יורדת וחיובית. אנו רשאים לעשות כן, שכן אם <math>a_n</math> מונוטונית עולה ושלילית, הרי הסדרה <math>-a_n</math> היא מונוטונית יורדת וחיובית, ואם הטור <math>\sum_{n=1}^\infty -a_n \cdot b_n </math> מתכנס, גם הטור

▲<math>\sum_{n=1}^\infty a_n \cdot b_n = (-1) \cdot \sum_{n=1}^\infty -a_n \cdot b_n </math> מתכנס, כי הוא כפל בקבוע של טור מתכנס.

▲כעת נוכיח שהטור <math>\sum_{n=1}^\infty S_n \cdot (a_n - a_{n+1})</math> [[הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/טורים ומבחני התכנסות/התכנסות בהחלט גוררת התכנסות|מתכנס בהחלט, ובפרט מתכנס]].

▲נתון שסדרת הסכומים החלקיים <math>S_n</math> חסומה. יהי <math>M</math> חסם שלה, כלומר <math>\forall n \in \N : |S_n| \le M </math>.

▲<math>\sum_{n=1}^N |S_n \cdot (a_n - a_{n+1})| = \sum_{n=1}^N |S_n| \cdot |(a_n - a_{n+1})| \le M \cdot \sum_{n=1}^N |(a_n - a_{n+1})|</math>

▲וכיוון ש <math>a_n</math> מונוטונית יורדת וחיובית, <math>(a_n - a_{n+1}) \ge 0</math> וכן <math>a_{n+1} \ge 0</math>, לכן:

▲<math>= M \cdot \sum_{n=1}^N (a_n - a_{n+1}) = M \cdot (a_1 - a_{N+1}) \le M \cdot a_1</math>

▲ובזאת הוכחנו שסדרת הסכומים החלקיים של <math>|S_n \cdot (a_n - a_{n+1})|</math> היא סדרה חסומה.

▲סדרה זו היא גם מונוטונית עולה, כי היא סדרת סכומים חלקיים של סדרה שכל איבריה אי-שליליים.

▲כיוון שזו סדרה חסומה ומונוטונית עולה, היא בהכרח מתכנסת, כלומר הטור <math>\sum_{n=1}^\infty S_n \cdot (a_n - a_{n+1})</math> מתכנס בהחלט ובפרט מתכנס, כלומר קיים הגבול:

▲<math>\lim_{N \to \infty} \sum_{n=1}^{N-1} S_n \cdot (a_n - a_{n+1})</math>

▲לכל <math>n</math> טבעי, ועבור אותו <math>M</math> שהזכרנו בשלב ב, מתקיים:

▲אבל כיוון ש <math>a_n</math> סדרה שואפת לאפס:

▲לכן לפי כלל הסנדוויץ' לסדרות, גם הסדרה <math>a_n \cdot S_n</math> מתכנסת לאפס, ובפרט מתכנסת.

▲נחזור לנוסחה שאליה הגענו בסוף שלב א, ונשתמש במסקנותינו משלבים ב ו-ג, ונקבל לפי אריתמטיקה של גבולות:

▲כלומר הגבול משמאל קיים ושווה לסכום הגבולות מימין (שאת קיומם הוכחנו), וקיומו של גבול זה שקול להתכנסות של הטור <math>\sum_{n=1}^\infty a_n \cdot b_n </math>. מ.ש.ל

▲היות והסדרה <math>\!\, a_n </math> מונוטונית ושואפת לאפס, קיים <math>N_a</math> טבעי כך שלכל <math>n > N_a</math> מתקיים <math>| a_n | < 1 </math>. ניקח <math> N = max(N_a,N_b)</math> , כך שלכל <math> n> N </math> מתקיים <math> |a_n \cdot b_n | < | b_n | </math>. מכאן לפי משפט ההשוואה הטור <math> \sum_{i=n}^\infty a_i \cdot b_i </math> מתכנס, ומכאן שהטור <math> \sum_{n=1}^\infty a_n \cdot b_n </math> כולו מתכנס, כנדרש. מ.ש.ל. -->