הסתברות/מבוא/המודל ההסתברותי: הבדלים בין גרסאות בדף
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
אין תקציר עריכה |
אין תקציר עריכה |
||
שורה 1:
{{הסתברות}}
כשאנו אומרים שלמטבע הוגן [[w:הסתברות|הסתברות]] <math>\
==מושגים בסיסיים==
שורה 10:
בניסוי כלשהו, '''מרחב המדגם''' הוא אוסף כל התוצאות האפשריות.
לרוב נסמן את מרחב המדגם כ- <math>
}}
דוגמאות:
#אם מטילים קוביה, אז מרחב המדגם הוא <math>\Omega
#אם מטילים מטבע, אז מרחב המדגם הוא הקבוצה המורכבת מ"עץ" ו"פאלי".
#אם מבקשים לנחש מספר שלם כלשהו, אז מרחב המדגם <math>\
#אם מבקשים לנחש שבר בין 0
===מאורע===
אינטואיטיבית, מאורע הוא משהו שאפשר לשייך לו הסתברות כלשהי.
שורה 28 ⟵ 27:
{{חלון מידע|
ההגדרה
מאורע הוא למעשה
}}
לרוב נסמן מאורע באות גדולה, נניח <math>A</math> . נשים לב כי <math>
}}
#
#
#
#
אם הניסוי הוא בחירת מספר בין 0
#
#
מצד שני, אי
====מאורעות זרים====
{{הגדרה|שם=מאורעות זרים|
תוכן=
שורה 53 ⟵ 51:
לדוגמה, אם הניסוי הוא זריקת קוביה:
# המאורעות: התוצאה היא 1, והתוצאה היא 2, הם זרים, מפני ש: <math>\{1\}
# המאורעות: התוצאה היא 1, והתוצאה היא אי-זוגית, אינם זרים, מפני ש: <math>\{1\}
==הסתברות==
בעזרת המושגים שהוגדרו עד כה, מגדירים את פונקציית ההסתברות.
===הגדרה===
בגישה המודרנית, מגדירים '''הסתברות''' כפונקציה המשייכת מספר בין 0
▲בגישה המודרנית, מגדירים '''הסתברות''' כפונקציה המשייכת מספר בין 0 ל1 לכל מאורע, כך שהפונקציה מקיימת תנאים מסויימים.
{{הגדרה|
שורה 68 ⟵ 64:
תוכן=
'''הסתברות''' היא פונקציה
<math>\mathbb{P}</math> ממרחב המאורעות ל<math>[0,
#
#
#
{{חלון מידע|
ההגדרה
#
#תכונת האדיטיביות צריכה להתקיים עבור כל [[w:קבוצה בת מניה|קבוצה בת מניה]] של מאורעות זרים: אם <math>A_1,
}}
}}
===דוגמאות וקביעת פונקציית ההסתברות===
נשים לב שהגדרת ההסתברות איננה אומרת לנו מה הסתברות
▲נשים לב שהגדרת ההסתברות איננה אומרת לנו מה הסתברות אירועים שונים, אלא האם קביעת ערכי הסתברות לאירועים שונים נחשבת פונקציית הסתברות תקינה. (תורת ההסתברות בעצמה, למעשה, אינה עוסקת בעצמה בקביעת הסתברויות למאורעות.)
להלן דוגמה לפונקציית הסתברות.
{{דוגמה|תוכן=
נמשיך
נגדיר את פונקציית ההסתברות: <math>\mathbb{P}(A)
▲נמשיך בדוגמה שמקודם על הטלת קוביה. נזכור שמרחב המדגם הוא <math>\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}</math>.
▲נגדיר את פונקציית ההסתברות: <math>\mathbb{P}(A) = \frac{|A|}{|\Omega|} = \frac{|A|}{6}</math>, כלומר, הסיכוי למאורע המורכב ממספר תוצאות בסיסיות, הוא מספר התוצאות הבסיסיות חלקי 6.
נראה שהאקסיומות אכן מתקיימות:
#
#
#
}}
להלן עוד
{{דוגמה|תוכן
שוב בניסוי הטלת הקוביה,
▲שוב בניסוי הטלת הקוביה, נניח פונקציית הסתברות שעבור כל מאורע <math>A</math> נותנת את ההסתברות <math>\mathbb{P}(A) = 1</math> אם <math>1 \in A</math> ו-0 אחרת.
גם כאן אפשר לראות שהאקסיומות מתקיימות:
#היות ש- <math>1
#
#
}}
ראינו שתי פונקציות הסתברות תקינות עבור זריקת קוביה: הראשונה עבור קוביה הוגנת, השניה עבור קוביה מוטה לתוצאה 1. להלן
בניסוי הטלת הקוביה, נגדיר את פונקציית ההסתברות: <math>\mathbb{P}(A)
▲{{דוגמה|תוכן =
▲נגדיר את פונקציית ההסתברות: <math>\mathbb{P}(A) = \frac{1}{6}</math> עבור כל מאורע בו <math>|A| = 1</math>, וכן
קל לראות כי האדיטיביות מופרת.
}}
משלוש הדוגמאות האחרונות קל לראות את החוקיות הבאה.
{{משפט|שם=הגדרת הסתברות ע"י הסתברויות תוצאות בסיסיות|תוכן=
נניח שנגדיר את <math>\mathbb{P}(A)</math> , עבור כל תוצאה בסיסית (כלומר עבור כל מאורע בעל גודל <math>|A|=1</math>) בצורה כלשהי, ונגדיר בעקיפין הסתברות כל מאורע <math>B</math> עפ"י סכום הסתברויות התוצאות הבסיסיות המרכיבות אותו, כלומר: <math>\forall B\subseteq\Omega\quad\mathbb{P}(B)=\sum_{A\subseteq B,|A|=1}\mathbb{P}(A)</math> .
אז ההסתברות תהיה תקינה אמ"ם:
#
#
}}
ישנה פונציית הסתברות נפוצה מאד שאפשר להגדיר בצורה זו.
{{הגדרה|שם
עבור ניסוי בעל מספר תוצאות סופי, אפשר להגדיר פונקציית הסתברות המייצגת '''בחירה מקרית''' או '''קבוצת מדגם סימטרית''', ע"י קביעת הסיכוי של כל תוצאה בסיסית כ- <math>\frac{1}{|\Omega|}</math> .}}
===תכונות===
▲על ידי שימוש חוזר באקסיומת ההסתברות השלישית, נוכל לקבל את המשפט הבא:
{{משפט|תוכן=
איחוד מאורעות
}}
שורה 161 ⟵ 137:
ראשית, קל לראות כי מתקיים המשפט הבא:
{{משפט|שם=איחוד מאורעות לא-בהכרח זרים|תוכן=
לכל שני מאורעות <math>
▲<math>\ \mathbb{P}(A\cup B)=\mathbb{P}(A)+ \mathbb{P}(B)- \mathbb{P}(A\cap B)</math>
}}
{{הוכחה|1=
נתבונן במאורעות <math>A\setminus B\ ,\ B\setminus A\ ,\ A\cap B</math> .
לפי ההגדרה, הם זרים. לכן, לפי האקסיומה השלישית,
<center><math>\mathbb{P}(A)
▲<math>\mathbb{P}(A) = \mathbb{P}\left(\left(A \setminus B\right) \cup \left(A \cap B\right)\right) = \mathbb{P}\left(A \setminus B\right) + \mathbb{P}\left(A \cap B\right)</math>,</center>
<center><math>\mathbb{P}(B)
▲ובאותו אופן,
▲<math>\mathbb{P}(B) = \mathbb{P}\left(B \setminus A\right) + \mathbb{P}\left(A \cap B\right)</math>.
לכן,
<center><math>\mathbb{P}(A)
היות ששלושת המאורעות האחרונים זרים, סכום ההסתברויות שלהן הוא בדיוק הסתברות איחודן, דהיינו <math>\mathbb{P}(A\cup B)</math> .▼
▲<math>\mathbb{P}(A) + \mathbb{P}(B) - \mathbb{P}(A \cap B)= \mathbb{P}\left(A \setminus B\right) + \mathbb{P}\left(B \setminus A\right) + \mathbb{P}\left(A \cap B\right)</math>.
▲היות ששלושת המאורעות האחרונים זרים, סכום ההסתברויות שלהן הוא בדיוק הסתברות איחודן, דהיינו
}}
אם מחברים למשפט:איחוד מאורעות לא-בהכרח זרים, את האקסיומה השניה, נקבל את התוצאה הבאה:
{{משפט|שם=הסתברות איחוד שני מאורעות אינה יותר גדולה מסכום הסתברויותיהן|תוכן=
<math>
}}
אפשר להכליל את משפט:איחוד מאורעות לא-בהכרח זרים, למשפט הבא:
{{משפט|שם=עקרון ההכלה וההפרדה (לשלושה מאורעות)|תוכן=
<math>
}}
שורה 202 ⟵ 166:
{{משפט|שם=הסתברות איחוד מאורעות אינה יותר גדולה מסכום הסתברויותיהן
|תוכן=
<math>
}}
שורה 210 ⟵ 174:
|יישור=}}
{{משפט|שם=הסתברות מאורע חלקי|תוכן=
<math>
}}
{{משפט|שם=הסתברות מאורע משלים|תוכן=
לכל מאורע <math>A</math> ומשלימו <math>A^c=\Omega\setminus A</math> , נקבל תכונת המשלים: <math>\mathbb{P}(A^c)= 1-\mathbb{P}(A)</math>
}}
|