|
==הסתברות המאורע הריק==
הראה כי הסתברות המאורע הריק היא 0, כלומר
<math>\mathbb{P}(\emptysetvarnothing) = 0</math>.
{{מוסתר|ta2 = right|הפתרון|2=
עבור מאורע <math>A</math> כלשהו, <math>\mathbb{P}(A) = \mathbb{P}(\ emptyset varnothing\cup A) = \mathbb{P}(\ emptysetvarnothing) + \mathbb{P}(A)</math> , ▼
עבור מאורע <math>A</math> כלשהו,
▲<math>\mathbb{P}(A) = \mathbb{P}(\emptyset \cup A) = \mathbb{P}(\emptyset) + \mathbb{P}(A)</math>,
וזאת משום שהמאורע הריק זר למאורע <math>A</math> ולכן אפשר להפעיל את אקסיומה 3.
==פונקציית ההסתברות של קבוצת כדורים בעלי הסתברות הנדסית דועכת==
נניח קבוצה אינסופית ([[w:קבוצה בת מניה|בת מניה]]) של כדורים בעלי מספרים <math>0,1, 2, \ ldotsdots</math> , בה הסיכוי שייבחר הכדור ה- <math>k</math> הוא <math>\mathbb{P}(k) = p qpq^k</math> . ▼
# מה צריכים לקיים <math>p</math> ו- <math>q</math> כדי שההסתברות תהיה תקינה? ▼▲נניח קבוצה אינסופית ([[w:קבוצה בת מניה|בת מניה]]) של כדורים בעלי מספרים <math>0,1, 2, \ldots</math>, בה הסיכוי שייבחר הכדור ה-<math>k</math> הוא <math>\mathbb{P}(k) = p q^k</math>.
# מה הסיכוי להגרלת כדור זוגי? ▼
{{מוסתר|ta2 = right|הפתרון|2= ▼▲# מה צריכים לקיים <math>p</math> ו-<math>q</math> כדי שההסתברות תהיה תקינה?
▲# מה הסיכוי להגרלת כדור זוגי?
▲{{מוסתר|ta2 = right|הפתרון|2=
מאקסיומת ההסתברות הראשונה נקבל את הדרישה
<center><math>\forall_kforall k:0 \leqle p q^k \leq 1le1</math></center>
ומהשניה
<center><math>\sum_k 0 \leqle p qpq^k = 1</math></center>
מהדרישה הראשונה נוכל להסיק
<center><math>p, q \geq 0ge0</math></center>
ומהשניה, בעזרת פיתוח [[w:טור הנדסי|טור הנדסי]],
<center><math>\frac{p}{1 - q} = 1 \Rightarrow p = 1 - q</math></center>
אלו התנאים הנדרשים לכך שפונקציית ההסתברות תהיה חוקית.
על -מנת לקבל את ההסתברות להגרלת כדור זוגי, נחשב את הטור המתאים: ▼
<center><math>\sum_k \left[ p qpq^{2k} \right] = \frac{p}{1 - q^2}</math></center> ▼▲על מנת לקבל את ההסתברות להגרלת כדור זוגי, נחשב את הטור המתאים:
▲<center><math>\sum_k \left[ p q^{2k} \right] = \frac{p}{1 - q^2}</math></center>
}}
==בחירת אנשים מקבוצת גברים ונשים==
{{בעבודה}}
דוגמהדוגמא זו ממחישה כי כאשר מדובר בבחירה מקרית ובמרחב מדגם סימטרי, ההסתברות מתנהגת כמו פרופורציה. נניח כי בקבוצה <math>G</math> של אנשים יש <math>M = 9</math> גברים ו- <math>W = 11</math> נשים. מכאן, אחוז הגברים בקבוצה הוא <math>\ frac{M\over }{M+W}=0.45=45%</math> ולכן הסיכוי לבחור מיקריתמקרית גבר מן הקבוצה הוא 45%. באופן דומה, אחוז הנשים הוא 55%. במקרה הנידון:
<math>\ \Omega=\{W_1,W_2,...\dots,W_{11},M_1,M_2...,\dots,M_9\}\ ,\ |\Omega|=20</math> כך שההסתברות לבחור אדם ספציפי מן הקבוצה היא <math>\ frac{1\over }{20}</math> .
נבחן כעת דוגמהדוגמא אחרת: בוחרים באופן מקרי 3 אנשים מתוך הקבוצה. הבחירה היא ללא חזרות וללא חשיבות לסדר, כי מדובר בבני אדם. נרצה לדעת כמה אפשרויות (צירופים) כאלה קיימות. במקרה זה:
:<math>\ \Omega=\{ (W_1,W_2,W_3), (W_1,W_2,W_4), (W_1,W_2,W_5)...,\dots,(W_1,W_2,M_1), (W_1,W_2,M_2)...,\dots</math>
:<math>\ (M_1,M_2,M_3), (M_1,M_2,M_4)...,\dots,(M_7,M_8,M_9) \}</math>
או בקיצור:
:<math>\ {20\choose 3choose3}=\frac{20!\over }{3!17!}=1140\ ,\ |\Omega|=1140</math>
# מה הסיכוי ששלושתם גברים?<br />{{ש}}מספר האפשרויות לבחור 3 גברים: <math>\ {9\choose 3choose3}=84</math> ולכן <math>\ \mathbb{P}(A_{M=3})=\frac{84\over }{1140}=\frac{7\over }{95}\approx 7%</math> .<br />{{ש}}או בקיצור: <math>\ \mathbb{P}(A_{M=3})={\frac{9\choose 3choose3}\over{20\choose 3}choose3}=\frac{7\over }{95}</math> .
# מה הסיכוי שייבחר אדם ספציפי מתוך ה-3?<br />{{ש}}בכך קבענו מראש את אחד האנשים ולכן יש לבחור עוד 2. מספר האפשרויות לבחור 2 אנשים מתוך 20-1=19 הוא <math>\ {19\choose 2choose2}=171</math> ולכן <math>\ \mathbb{P}(A_i)=\frac{171\over }{1140}=0.15</math>.<br />.{{ש}}דרך אחרת: <math>\ \mathbb{P}(A_i)=\frac{1\over }{20}+\frac{19\over }{20}\cdot\frac{1\over }{19}+\frac{19\over }{20}\cdot\frac{18\over }{19}\cdot\frac{1\over }{18}=\frac{3\over }{20}=0.15</math> .
{{הסתברות|מוגבל}}
| 