הסתברות/מבוא/נוסחת בייס: הבדלים בין גרסאות בדף

תוכן שנמחק תוכן שנוסף
אין תקציר עריכה
אין תקציר עריכה
 
שורה 1:
{{הסתברות}}
 
'''חוק בייס''' הוא תוצאה בתורת ההסתברות המאפשרת לחשב הסתברות מותנית של מאורע כאשר יודעים דווקא את ההסתברויות המותנות ההפוכות.
 
שורה 6 ⟵ 5:
נוסחת בייס (Bayes) נובעת משימוש כפול בנוסחת ההסתברות המותנה:
{{משפט|שם=בייס|תוכן=
 
עבור שני מאורעות <math>A,B</math> , כך ש- <math>\mathbb{P}(B)\ne0</math> ,
<center><math>\mathbb{P}(A|B)=\mathbb{P}(B|A)\cdot\frac{\mathbb{P}(A)}{\mathbb{P}(B)}</math></center>
}}
 
נשים לב שלפי [[הסתברות/מבוא/הסתברות מותנית|הגדרת ההסתברות המותנית]],
<center><math>\mathbb{P}(B | A) \cdot\mathbb{P}(A) = \mathbb{P}(A | B) \cdot\mathbb{P}(B) = \mathbb{P}(A \cap B)</math></center>.
חוק בייס נובע מחלוקת כל האגפים ב- <math>\mathbb{P}(B)</math> .
 
כעת נניח שיש לנו מאורעות זרים <math>A_1,\ldotsdots,A_n</math> , אשר איחודם הוא מרחב המדגם, דהיינו <math>\cup_ibigcup_k A_iA_k=\Omega</math> . נשים לב שבמקרה זה, <math>\mathbb{P}(A)=\cup_ibigcup_k\mathbb{P}(A_iA_k)</math> , ולפי [[הסתברות/מבוא/נוסחת ההסתברות השלמה|נוסחת ההסתברות השלמה]] נוכל לכתוב
<center><math>\mathbb{P}(B)=\sum_isum_k\mathbb{P}(B|A_iA_k)P(A_iA_k)</math></center>
הדבר מוביל למשפט בייס בניסוח אחר.
{{משפט|שם=בייס (בניסוח של הסתברות שלמה)|תוכן=
:<math>\mathbb{P}(A_iA_k|B)=\frac{\mathbb{P}(B|A_iA_k)\cdot\mathbb{P}(A_iA_k)}{\sumdisplaystyle\limits_sum_{j=1}\mathbb{P}(B|A_j)\mathbb{P}(A_j)}</math>
כאשר:
*המאורעות A<submath>iA_k</submath> הם זרים, ו- <math>\Omega=\bigcup_ibigcup_k A_iA_k</math> .
}}
 
שורה 38 ⟵ 36:
<math>\mathbb{P}(R|H^c)=\frac25</math> כי אם יצא פלי סיכוי של 2 מתוך 5 לאדום.{{ש}}
ועכשיו ע"פ נוסחת בייס להסתברות שלמה:{{ש}}
<math>\mathbb{P}(H|R)=\frac{\mathbb{P}(R|H)\cdot\mathbb{P}(H)}{\mathbb{P}(R|H)\cdot\mathbb{P}(H)+\mathbb{P}(R|H^c)\cdot\mathbb{P}(H^c)}=\frac{\frac35\cdot\frac12}{\frac35\cdot\frac12+\frac25\cdot\frac12}=\frac35</math>
 
===דוגמא ב'===
נמלה צועדת על ציר המספרים, כך שבכל צעד היא מתקדמת יחידה אחת ימינה בהסתברות p, ויחידה אחד שמאלה בהסתברות q, הכל באופן בלתי-תלוי.
מהי ההסתברות שהנמלה תחזור לראשית בפעם הראשונה כעבור 6 צעדים?
 
 
'''פתרון:''' אחרי שבחרנו כיוון הליכה (לכיוון החיובי או השלילי), אין אנו יכולים לחזור לראשית לפני הצעד השישי, ולכן נבחן רק מקרה אחד. אם כן, נניח שהצעד הראשון הוא בכיוון החיובי. לכן גם הצעד השני חייב להיות בכיוון החיובי, אחרת חזרנו לראשית. כלומר כבר יש לנו בוודאות את הצירוף "pp". הצעדים היחידים שיביאו אותנו לראשונה לראשית כעבור 6 מהלכים הם שני הצירופים "pqqq", "qpqq". ולכן:
שורה 57 ⟵ 54:
 
'''פתרון:''' על-פי נוסחת בייס:
:<math>\mathbb{P}(M_5=1|M_8=0)=\frac{\mathbb{P}(M_8=0|M_5=1)\cdot\mathbb{P}(M_5=1)}{\mathbb{P}(M_8=0)}</math>
האפשרויות להגיע בצעד החמישי ל-1 הן כל הסידורים האפשריים של {pppqq}. יש כאן 5 עצמים מ-2 סוגים שונים (2 מסוג q ו-3 מסוג p), ולכן סך כל הצירופים האפשריים הוא: <math>\frac{5!}{3!2!}=10</math> ולכן:
:<math>\mathbb{P}(M_5=1)=10p^3q^2</math>
שורה 65 ⟵ 62:
:<math>\mathbb{P}(M_8=0|M_5=1)=3pq^2</math>
לסיכום:
:<math>\mathbb{P}(M_5=1|M_8=0)=\frac{\mathbb{P}(M_8=0|M_5=1)\cdot\mathbb{P}(M_5=1)}{\mathbb{P}(M_8=0)}=\frac{3pq^2\cdot 10p^3q^2}{70p^4q^4}=\frac37</math>
שימו לב כי ההסתברות אינה תלויה בערכי p,q!!