ויקיספר

תורת הקבוצות/מכפלה קרטזית: הבדלים בין גרסאות בדף

עיון אינטראקטיבי בהיסטוריה
→ העריכה הקודמתהעריכה הבאה ←
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
חזותיקוד ויקי
שיניתי את העיצוב
אין תקציר עריכה
שורה 2:
<!-- לא החלטתי עדיין עם להמשיך את הקו של שאר הספר מבחינת עיצוב ההגדרות והמשפטים, או לשנות את זה מחדש לעיצוב המתאים לי, כפי שניתן לראות נניח בספר "מבנים אלגבריים". בינתיים אין עיצוב מיוחד, וההחלטה בידי הבאים אחרי -->
 
ראינו כבר בעבר שאין חשיבות לסדר שבו איברים מצויים בקבוצה. כך לדוגמהלדוגמא, <math>\{1,2,3\} = \{3,1,2\}</math> . היינו רוצים מושג שיעזור לנו להגדיר את המושג של "קבוצה סדורה", כפי שאנחנו מבינים אותו. כלומר, "קבוצה" שבה יש חשיבות לסדר. זוהי מטרתו העיקרית של הפרק הזה.
 
==זוג סדור==
הגדרה: בהינתן קבוצות <math>A ו-,B</math> ואיבריםואברים בהם <math>a ו-,b</math> בהתאמה, נגדיר את הזוג הסדור:
<center><math>(a,b)=\big\{\{a\},\{a,b\}\big\}</math></center>
<center>
<math>\left( a ,b\right) = \left\{ \left\{ a\right\} , \left\{ a,b \right\} \right\}</math>
</center>
 
על הקורא לנסות לשכנע את עצמו מדוע ההגדרה הזו "נכונה", מהבחינה האינטואטיבית של "קבוצה בעלת חשיבות לסדר". מבחינה פורמלית, הדבר מוכח בטענה הבאה:
 
{{טענה|
 
מספר=|
שם=|
תוכן=<math>(a, b) = (x, y)</math> אם ורק אם <math>a = x</math> וגם <math>y = b</math>}}▼
 
הוכחה: כיוון ראשון, נניח שמתקיים <math>(x,y)=(a,b)</math> . לכן, יש שוויון בין הקבוצות <math>\big\{\{x\},\{x,y\}\big\}</math> ו- <math>\big\{\{a\},\{a,b\}\big\}</math> . לכן, הקבוצה <math>\{a\}</math> שווה לקבוצה <math>\{x\}</math> או לקבוצה <math>\{x,y\}</math> . כיווןכיון שבאחת יש 2 איבריםאברים (אם לא, אז במקרה ש- <math>x=y</math> , הטענה נכונה בהכרח), <math>x=a</math> בהכרח. מכאן, שהקבוצה <math>\{x,y\}</math> שווה לקבוצה <math>\{a,b\}</math> , ומהשוויון הראשון בהכרח מתקיים <math>y=b</math> . כנדרש.▼
▲תוכן=<math>(a, b) = (x, y)</math> אם ורק אם <math>a = x</math> וגם <math>y = b</math>}}
 
נשים לב שתחת ההגדרה הזו, מתקיים שאם <math>a</math> שונה מ- <math>b</math> , אז בהכרח: <math>(a, b)</math> שונה מ- <math>(b, a)</math> . כלומר, יש חשיבות לסדר.▼
▲הוכחה: כיוון ראשון, נניח שמתקיים (x,y)=(a,b). לכן, יש שוויון בין הקבוצות {{x},{x,y}} ו-{{a},{a,b}}. לכן, הקבוצה {a} שווה לקבוצה {x} או לקבוצה {x,y}. כיוון שבאחת יש 2 איברים (אם לא, אז במקרה ש-x=y, הטענה נכונה בהכרח), x=a בהכרח. מכאן, שהקבוצה {x,y} שווה לקבוצה {a,b}, ומהשוויון הראשון בהכרח מתקיים y=b. כנדרש.
 
▲נשים לב שתחת ההגדרה הזו, מתקיים שאם <math>a</math> שונה מ-<math>b</math>, אז בהכרח: <math>(a, b)</math> שונה מ-<math>(b, a)</math>. כלומר, יש חשיבות לסדר.
 
==המכפלה הקרטזית==
כעת, נשתמש בהגדרה הנ"ל כדי לבנות משתי קבוצות נתונות <math>A ו-,B</math> , קבוצה חדשה, הקבוצה הזו תיקרא המכפלה הקרטזית של <math>A</math> ו- <math>B</math> והיא מסומנת ומוגדרת כלהלן:
<center><math>A\times B=\{(a,b)|a\in A,b\in B\}</math></center>
<center>
<math>
\ A\times B = \left\{ \left( a,b\right) \vert a\in A ,b\in B \right\}
</math>
</center>
 
כלומר, המכפלה הקרטזית היא אוסף כל הזוגות הסדורים, שהאיברשהאבר הראשון שלהם הוא מ- <math>A</math> והאיברוהאבר השני שלהם הוא מ- <math>B</math> .
 
===דוגמאות===
* נסתכל על הקבוצות <math>\ A=\{ 0,1\}\ </math> ו-<math>,\ B=\{ a,b,c\} </math> אזי, נקבל ש:
:: <math>A\times B= \{ (0,a),(0,b) ,(0,c), (1,a), (1,b), (1,c) \}</math>
* כאשר <math>A ו-,B</math> אותן קבוצות מהדוגמהמהדוגמא הקודמת, נקבל ש:
:: <math>B\times A= \{ (a,0),(a,1) ,(b,0), (b,1), (c,0), (c,1) \}</math>
 
==הכללה למספר סופי של קבוצות==
בהינתן קבוצות <math>\ A_1, A_2, \ldots dots, A_n</math> נגדיר את המכפלה הקרטזית שלהן להיות:
<center><math>A_1\times A_2 \times\ldotscdots\times A_n=\{ \left(a_1,a_2,\ldots dots, a_n\right)\vert |a_1\in A_1,\ldotsdots,a_n\in A_n\}</math></center>▼
<center>
כמו כן, כאשר מכפילים קרטזית קבוצה <math>A</math> בעצמה <math>n</math> פעמים, נהוג לסמן זאת באמצעות <math>\ A^n</math> .▼
▲<math>A_1\times A_2 \times\ldots\times A_n=\{ \left(a_1,a_2,\ldots , a_n\right)\vert a_1\in A_1,\ldots,a_n\in A_n\}</math>
</center>
 
▲כמו כן, כאשר מכפילים קרטזית קבוצה <math>A</math> בעצמה <math>n</math> פעמים, נהוג לסמן זאת באמצעות <math>\ A^n</math>.
מאוחר יותר כשנדבר על פונקציות נוכל באמת להכליל את המושג של זוג סדור ושל מכפלה קרטזית בצורה יותר פורמאלית, לאוסף כלשהו (סופי או אינסופי) של קבוצות.▼
 
▲מאוחר יותר כשנדבר על פונקציות נוכל באמת להכליל את המושג של זוג סדור ושל מכפלה קרטזית בצורה יותר פורמאלית, לאוסף כלשהו (סופי או אינסופי) של קבוצות.
 
==תכונות של המכפלה הקרטזית==
כבר בדוגמאות ראינו שבדרך -כלל לא יתקיים ש-<math>A\times B = B\times A</math> כאשר <math>A</math> ו-<math>,B</math> קבוצות כלשהן. חלק מהתכונות להלן מושארות לקורא כתרגיל:
# הקבוצות <math>A\times \left( B\times C)\right)</math> , <math>\ \left( A\times B\right) \times C</math>\ ,\ <math>A\times B\times C</math> שונות זו מזו.
# <math>A\times \left( B\cup C\right) = A\times B \cup A\times C</math>
# <math>A\times \left( B\setminus C\right) = A\times B \setminus (A\times C)</math>
#<math>A\times \left( B \cap C\right)= A\times B\cap A\times C </math>
#<math>A\times \left( B\Delta C\right) = A\times B \Delta A\times C</math>
# <math>(\alpha\subset A) \wedge and(\beta\subset B) \Leftrightarrow iff(\alpha\times\beta)\subset (A\times B)</math>
 
<!-- יש להביא הוכחות לפחות לתכונות הקשות יותר, כמו תכונה 3 ותכונה 6. בנוסף, רצוי להוסיף עוד טענות קטנות בסגנון. -->
אוחזר מתוך "https://he.wikibooks.org/wiki/תורת_הקבוצות/מכפלה_קרטזית"