|
==הגדרה==
[[תורת הקבוצות/יחסים|יחס]] <math>R\subseteq A\times B</math> ייקרא '''פונקציה''' אם מהוא מקיים שתי תכונות:
#קיום: לכל <math>a\in A</math> קיים <math>b\in B</math> כך ש- <math>aRb</math> .
#יחידות: אם <math>aRb_1</math> ו- <math>aRb_2</math> אז <math>b_1 = b_2</math> .
במקרה כזה <math>A</math> ייקרא '''התחום''' של הפונקציה ואילו <math>B</math> ייקרא '''הטווח''' של הפונקציה ומסמנים זאת כך: <math>R: A\to B</math> . אם ל- <math>a\in A</math> מתקיים <math>f(a) = b</math> אז <math>b</math> ייקרא '''התמונה''' של <math>a</math> ואילו <math>a</math> ייקרא '''המקור''' של <math>b</math> .
===דוגמאות===
* היחס <math>f\subseteq \mathbb{R}^2</math> המוגדר על -ידי <math>f(x) = x + 1</math> הוא פונקציה.
* היחס <math>g\subseteq \left\{ 1,2 \right\}\times \left\{ 3,5,10 \right\}</math> המוגדר על -ידי <math>g(1) =10\ 10</math>,<math>\ g(2) = 3</math> הוא פונקציה, אף על -פי שאינה מוגדרת על -ידי שום נוסחהנוסחא.
*היחס <math>s\subseteq \mathbb{N}\times \mathbb{R}</math> המוגדר על -ידי <math>s(x) = \pm \sqrt{x}</math> אינו פונקציה מכיווןמכיון שלכל מספר טבעי היחס מחזיר שני מספרים (למשל 2<math>\pm2</math> ו2ל- ל44).
*היחס <math>p\subseteq \mathbb{N}\times \mathbb{N}</math> המוגדר באמצעות <math>p(1) = 0</math> אינו פונקציה מכיווןמכיון שאינו מוגדר על כל הטבעיים.
===הרכבה של פונקציות===
אם <math>f: A\to B</math> ו- <math>g: B\to C</math> הן פונקציות אז '''ההרכבה''' שלהן <math>g \circ f: A\to C</math> מוגדרת בתור <math>(g \circ f)(x) = g(f(x))</math> .
===פונקציית זהות===
אם <math>A</math> היא קבוצה אז הפונקציה <math>\mbox{id}_{A}_A: A\to A</math> המוגדרת באמצעות <math>\mbox{id}_{A}_A(x) = x</math> לכל <math>x\in A</math> תיקרא '''פונקציית הזהות'''. נשים לב כי לא מתקיים בהכרח <math>\mbox{id}_{A} _A= \mbox{id}_{B}_B</math> : למשל הפונקציה <math>f(x) = \left| x \right|</math> היא <math>\mbox{id}_{\mathbb{N}}</math> אבל לא <math>\mbox{id}_{\mathbb{Z}}</math> .
==סוגי פונקציות==
פונקציה חח״ע: פונקציה <math>f: A\to B</math> תיקרא '''חח״ע''' או '''חד -חד -ערכית''' אם <math>f(a_1) = f(a_2)</math> גורר <math>a_1 = a_2</math> .
פונקציה על: פונקציה <math>f: A\to B</math> תיקרא '''על''' אם לכל <math>b\in B</math> קיים <math>a\in A</math> כך ש- <math>f(a) = b</math> .
פונקציה חח״ע ועל: פונקציה <math>f: A\to B</math> תיקרא '''חח״ע ועל''' או '''חד -חד -ערכית ועל''' אם היא חד -חד -ערכית וגם על.
פונקציה הופכית: אם <math>f: A\to B</math> היא פונקציה אז '''הפונקציה ההופכית''', אם קיימת, של <math>f</math> , <math>f^{-1}:B\to A</math> היא פונקציה המוגדרת בתור <math>f^{-1}=\{b,a)|f(a)=b\}</math> , כלומר אם <math>f(a)=b</math> אז <math>f^{-1}(b)=a</math> . בניסוח שקול, <math>f^{-1}</math> היא פונקציה אשר מקיימת <math>f\circ f^{-1}=\mbox{id}_B</math> ו- <math>f^{-1}\circ f=\mbox{id}_A</math> . הגדרה זו דומה למדי ליחס ההפוך אך לפונקציה לא בהכרח קיימת הופכית שהיא גם פונקציה. למעשה לפונקציה קיימת הופכית אם ורק אם הפונקציה חח״ע ועל:
<math>f^{-1}: B\to A</math> היא פונקציה אשר מוגדרת בתור <math>f^{-1} = \left\{b, a) | f(a) = b \right\}</math>, כלומר אם <math>f(a) = b</math> אז <math>f^{-1}(b) = a</math>. בניסוח שקול, <math>f^{-1}</math> היא פונקציה אשר מקיימת <math>f\circ f^{-1} = \mbox{id}_{B}</math> ו-<math>f^{-1}\circ f = \mbox{id}_{A}</math>. הגדרה זו דומה למדי ליחס ההפוך אך לפונקציה לא בהכרח קיימת הופכית שהיא גם פונקציה. למעשה לפונקציה קיימת הופכית אם ורק אם הפונקציה חח״ע ועל:
{{טענה|
מספר=|
שם=|
תוכן=היחס <math>f^{-1}</math> הוא פונקציה אם ורק אם <math>f</math> חח״ע ועל.}}
{{הוכחה| נניח תחילה כי <math>f</math> חח״ע ועל. נגדיר את <math>f^{-1}</math> להיות <math>f^{-1}(x)=y</math> , כאשר <math>y</math> הוא האבר המקיים <math>f(y)=x</math> . (האבר קיים ויחיד מהחח״ע ועל של <math>f</math>){{ש}}
{{הוכחה| נניח תחילהכעת כי <math>f</math> חח״ע ועלהפיכה. נגדיריהי אתשני אברים <math>a,b</math> כך ש- <math>f^{(a)=f(b)</math> , אז מכיון ש-1} <math>f</math> להיותהפיכה אפשר להפעיל את <math>f^{-1}(x)</math> על שני הצדדים ולקבל <math>a=yb</math> . כעת, כאשריהי <math>y</math> הואכלשהו. האיבר אשר מקייםנבחר <math>x=f^{-1}(y)=x</math>. (האיבר קיים, ויחיד מהחח״ע ועל שלאז <math>f(x)=(f\circ f^{-1})(y)=y</math>) .}}
<br>נניחאם כעתישנה כיפונקציה <math>f</math>חח״ע הפיכה.ועל יהי שני איבריםמ- <math>a, bA</math> כך של- <math>f(a)=f(b)B</math>, אז מכיווןאפשר ש-<math>f</math>לחשוב הפיכהעל אפשרהפונקציה להפעילכ"משנה את השמות" של האברים ב- <math>f^{-1}A</math> עללאברים שני הצדדים ולקבלב- <math>a=bB</math>. כעת, יהיכלומר שאברי <math>yB</math> כלשהו.הם נבחראברי <math>x=f^{-1}(y)A</math>, אזעם <math>f(x)=\left("שמות f\circשונים". f^{-1}על \right)(y)=y</math>.}}בסיס הגיון זה נגדיר:
אם ישנה פונקציה חח״ע ועל מ-<math>A</math> ל-<math>B</math> אז אפשר לחשוב על הפונקציה כ״משנה את השמות״ של האברים ב-<math>A</math>, לאיברים ב-<math>B</math>, כלומר שאיברי <math>B</math> הם איברים <math>A</math> עם ״שמות שונים״. על בסיס הגיון זה נגדיר:
{{הגדרה|
מספר=1.6|
שם=קבוצות שקולות|
תוכן=נגדיר קבוצות <math>A </math> ו<math>,B</math> כ'''שקולות''', ונסמן <math>A\sim B</math> , אם קיימת פונקציה <math>f: A\to B</math> שהיא חח״ע ועל. יש לשים לב כי אם <math>A\subset B</math> אז לא בהכרח <math>A\not\sim B</math> : כך למשל <math>\mathbb{A}= \left\{ 2, 4, 6, \dots \right\}\subset \ mathbb{N }</math> אך <math>\mathbb{A}\sim \ mathbb{N }</math> , עם הפונקציה <math>f(n)=2n</math> .}} ▼
קיימים סוגים נוספים של שקילות אך לא נדון בהם בפרק הזה, מכיוון שעצם הגדרתם דורש מושגים נוספים. {{ש}}▼▲תוכן=נגדיר קבוצות <math>A</math> ו<math>B</math> כ'''שקולות''', ונסמן <math>A\sim B</math>, אם קיימת פונקציה <math>f: A\to B</math> שהיא חח״ע ועל. יש לשים לב כי אם <math>A\subset B</math> אז לא בהכרח <math>A\not\sim B</math>: כך למשל <math>\mathbb{A}=\left\{ 2, 4, 6, \dots \right\}\subset \mathbb{N}</math> אך <math>\mathbb{A}\sim \mathbb{N}</math>, עם הפונקציה <math>f(n)=2n</math>.}}
<br>כזכור, הגדרנו פונקציות באמצעות מכפלה קרטזית של שתי קבוצות. כעת נוכל להגדיר מכפלה קרטזית כללית וחזקות של קבוצות באמצעות פונקציות: ▼▲קיימים סוגים נוספים של שקילות אך לא נדון בהם בפרק הזה, מכיוון שעצם הגדרתם דורש מושגים נוספים.
▲<br>כזכור, הגדרנו פונקציות באמצעות מכפלה קרטזית של שתי קבוצות. כעת נוכל להגדיר מכפלה קרטזית כללית וחזקות של קבוצות באמצעות פונקציות:
{{הגדרה|
מספר=1.7|
שם=מכפלה קרטזית|
תוכן=תהי <math>\Lambda</math> קבוצה כלשהי ו- <math>\mathcal{F}</math> משפחה של קבוצות כך ש- <math>\Lambda\sim\mathcal{F}</math> . נסמן את הקבוצה <math>A</math> שמותאמת לאבר <math>\lambda</math> בתור <math>A_\lambda</math> . כעת המכפלה הקרטזית <math>\prod_{\lambda\in\Lambda}A_\lambda</math> מוגדרת להיות <math>\prod_{\lambda\in\Lambda}A_\lambda=\left\{f:\Lambda\to\bigcup\mathcal{F}\Big|\forall\lambda\in\Lambda:f(\lambda)\in A_\lambda\right\}</math> .}}
תוכן=יהיההגיון מאחורי ההגדרה ה"מוזרה" הוא כזה: המכפלה <math>\prod_{\lambda\in\Lambda} A_\lambda</math> קבוצההיא כלשהיעל-פי וההגדרה קבוצת כל הסדרות של אברים, כך שהמקום ה- <math>\mathcal{F}lambda</math> משפחהבסדרה שלהוא קבוצותאבר כךבקבוצה ש-<math>A_\Lambda\sim \mathcal{F}lambda</math> . נסמןמצד אתשני, הקבוצהנחשוב על כל סדרה בתור פונקציה <math>Af</math> שמותאמתשמקבלת לאיבראבר <math>\lambda</math> בתורומוציאה כפלט את האבר שנמצא במקום ה- <math>A_{\lambda}</math>. כעתבסדרה המכפלה(שהוא הקרטזיתאבר ב- <math>\prod_{\lambda\in \Lambda} A_{\lambda}</math>). מוגדרתעל להיותכן, המכפלה הקרטזית <math>\prod_{\lambda\in \Lambda} A_{\lambda}=\{f:</math> \Lambda\toהיא \bigcupבעצם \mathcal{F}|\forall\lambda\inאוסף הפונקציות \Lambda:f(שמקבלות מספר ב- <math>\lambda)\in</math> ומוציאות מספר ב- <math>A_{\lambda}\}</math> , אבל זה שקול להגדרה למעלה.}}
ההיגיון מאחורי ההגדרה ה״מוזרה״ הוא כזה: המכפלה <math>\prod_{\lambda\in \Lambda} A_{\lambda}</math> היא על פי ההגדרה קבוצת כל הסדרות של איברים, כך שהמקום ה-<math>\lambda</math> בסדרה הוא איבר בקבוצה <math>A_{\lambda}</math>. מצד שני, נחשוב על כל סדרה בתור פונקציה <math>f</math> שמקבלת איבר <math>\lambda</math> ומוציאה כפלט את האיבר שנמצא במקום ה-<math>\lambda</math> בסדרה (שהוא איבר ב-<math>A_\lambda</math>). על כן, המכפלה הקרטזית <math>\prod_{\lambda\in \Lambda} A_\lambda</math> היא בעצם אוסף הפונקציות שמקבלות מספר ב-<math>\lambda</math> ומוציאות מספר ב-<math>A_\lambda</math>, אבל זה שקול להגדרה למעלה.
{{הגדרה|
מספר=1.8|
שם=חזקת קבוצות|
תוכן=אם <math>A </math> וז-<math>,B</math> הן קבוצות אז נגדיר את <math>B^A= \left\{f: A\to B \right\}</math> . כלומר: אוסף כל הפונקציות מ - <math>A</math> ל- ל<math>B</math> . כעת נבהיר את הסימון מאחורי <math>2^A</math> בתור קבוצת החזקה: אפשר לחשוב על כל תת -קבוצה <math>X</math> בתור פונקציה <math>f: A\to 2</math> המוגדרת בתור <math>f(x) = \left\{\begin{matrix} 0 & x\ not \innotin B \\ 1 & x\in B\end{matrix}\right.</math> ולכן קבוצת החזקה היא קבוצת כל הפונקציות מ - <math>A</math> ל - <math>2</math> , וזוהי ההגדרה של <math>2^A</math> .}} ▼
גם כאן, ההגדרה נראית ״מוזרה״"מוזרה". אך גם לה יש הגיון רב: <math>B^A</math> הוא על -פי הגדרה של חזקות <math>\prod_{a\in A} B</math> , אשר שווה על -פי הגדרה 1.7 ל- <math>\{f: A\to B|\forall a\in A:f(a)\in B\}= \left\{ f: A\to B \right\}</math> , כאשר הצעד האחרון נובע מההגדרה של פונקציות. ▼▲תוכן=אם <math>A</math> וז-<math>B</math> הן קבוצות אז נגדיר את <math>B^A=\left\{f: A\to B \right\}</math>.כלומר: אוסף כל הפונקציות מ<math>A</math> ל<math>B</math>. כעת נבהיר את הסימון מאחורי <math>2^A</math> בתור קבוצת החזקה: אפשר לחשוב על כל תת קבוצה <math>X</math> בתור פונקציה <math>f: A\to 2</math> המוגדרת בתור <math>f(x) = \left\{\begin{matrix} 0 & x\not \in B \\ 1 & x\in B\end{matrix}\right.</math> ולכן קבוצת החזקה היא קבוצת כל הפונקציות מ<math>A</math> ל<math>2</math>, וזוהי ההגדרה של <math>2^A</math>.}}
▲גם כאן, ההגדרה נראית ״מוזרה״. אך גם לה יש הגיון רב: <math>B^A</math> הוא על פי הגדרה של חזקות <math>\prod_{a\in A} B</math>, אשר שווה על פי הגדרה 1.7 ל-<math>\{f: A\to B|\forall a\in A:f(a)\in B\}=\left\{ f: A\to B \right\}</math>, כאשר הצעד האחרון נובע מההגדרה של פונקציות.
==משפטי עזר==
{{משפט|
מספר=2.1|
שם=|
תוכן=אם <math>f:A\to B</math> ו- <math>g: B\to C</math> הן פונקציות חח״ע ועל אז גם ההרכבה <math>g\circ f: A\to B</math> היא חח״ע ועל.}} ▼
▲תוכן=אם <math>f:A\to B</math> ו-<math>g: B\to C</math> הן פונקציות חח״ע ועל אז גם ההרכבה <math>g\circ f: A\to B</math> היא חח״ע ועל.}}
{{הוכחה|
חח״ע: יהי <math>a_1,a_2\in A</math> כך ש- <math>(g\circ f)(a_1)=(g\circ f)(a_2)</math>. מכיון ש- <math>g</math> חח״ע <math>f(a_1)=f(a_2)</math> . מכיון ש- <math>f</math> חח״ע <math>a_1=a_2</math> .
חח״עעל: יהי <math>a_1,a_2c\in AC</math> כך. מכיון ש- <math>(g\circ</math> f)(a_1)על =קיים (g<math>b\circin f)(a_2)B</math>. מכיווןכך ש- <math>g(b)=c</math> חח״ע. מכיון ש- <math>f(a_1)</math> =על קיים f(a_2)<math>a\in A</math>. מכיווןכך ש-<math>f(a)=b</math> חח״ע. כעת <math>a_1(g\circ f)(a)= a_2g(b)=c</math> .}}
על:יהי <math>c\in C</math>. מכיוון ש-<math>g</math> על קיים <math>b\in B</math> כך ש-<math>g(b) = c</math>. מכיוון ש-<math>f</math> על קיים <math>a\in A</math> כך ש-<math>f(a) = b</math>. כעת <math>(g\circ f)(a) = g(b) = c</math>.}} ▼
{{משפט|
מספר=2.2|
שם=|
תוכן= לכל <math>A</math> , לא קיימת פונקציה על מ- <math>A</math> ל- <math>2^A</math> .}} ▼
{{הוכחה|נניח בשלילה שקיימת פונקציה <math>f</math> שהיא על. ניצור תת -קבוצה <math>Z = \left\{x | x\ not \innotin f(x) \right\}</math> . מכיווןמכיון ש - <math>f</math> על קיים <math>z</math> כך ש - <math>f(z) = Z</math> . כעת, האם <math>z\in Z</math> ? אם כן, אז על פי הגדרת <math>Z</math> מתקיים <math>z\ not \innotin Z</math> בסתירה לכך ש - <math>z\in Z</math> . אם <math>z\ not \innotin Z</math> אז <math>z\ not \innotin f(z)</math> ולכן <math>z\in Z</math> .}} ▼▲תוכן= לכל <math>A</math>, לא קיימת פונקציה על מ-<math>A</math> ל-<math>2^A</math>}}
▲{{הוכחה|נניח בשלילה שקיימת פונקציה <math>f</math> שהיא על. ניצור תת קבוצה <math>Z = \left\{x | x\not \in f(x) \right\}</math>. מכיוון ש<math>f</math> על קיים <math>z</math> כך ש<math>f(z) = Z</math>. כעת, האם <math>z\in Z</math>? אם כן, אז על פי הגדרת <math>Z</math> מתקיים <math>z\not \in Z</math> בסתירה לכך ש<math>z\in Z</math>. אם <math>z\not \in Z</math> אז <math>z\not \in f(z)</math> ולכן <math>z\in Z</math>.}}
{{משפט|
מספר=2.3|
שם=|
▲על:יהיתוכן=תהי <math> cf:A\ into CB</math> . מכיווןאם ש-<math> gf</math> עלחח״ע, קייםקיימת פונקציה <math> bg:A\ into B</math> כך ש- <math>g (b)\circ f= c\mbox{id}_A</math> . מכיווןאם ש-<math>f</math> על , קייםאז קיימת פונקציה <math> a\in Ag</math> כך ש- <math>f (a) = b</math>. כעת <math>(g\circ f)(a) = g (b) = c\mbox{id}_B</math> .}}
תוכן={{הוכחה|נניח יהיכי <math>f:</math> Aחח״ע. יהי <math>a\toin BA</math>. (אם <math>fA=\varnothing</math> חח״עהמשפט טריוויאלי), קיימתכעת נגדיר פונקציהאת <math>g</math> בתור <math>g(x)=\left\{\begin{matrix}x&\exists y\in A:f(y)=x\\a&\forall y\in A:f(y)\tonot=x\end{matrix}\right.</math> B. נגדיר <math>f(x)=y</math> כך, אז ש-<math>(g\circ f )(x)= \mbox{id}_{A}g(f(x))=g(y)=x</math> .{{ש}}
אםכעת נניח כי <math>f</math> על,. אזלכל <math>y\in B</math> קיימת פונקציהקבוצה לא-ריקה <math>f_y=\{x|f(x)=y\}</math> , ולכל קבוצה כזו נבחר "נציג" <math>x_0</math> ונגדיר <math>g(y)=x_0</math> כך. כעת ש-<math>(f\circ g )(y)= \mbox{id}_{B}f(g(y))=f(x_0)=y</math> .}}
{{הוכחה|נניח כי <math>f</math> חח״ע. יהי <math>a\in A</math>(אם <math>A = \emptyset</math> המשפט טריוויאלי), כעת נגדיר את <math>g</math> בתור <math>g(x) = \left\{\begin{matrix} x & \exists y\in A: f(y) = x \\ a & \forall y\in A: f(y) \not = x\end{matrix}\right.</math>. נגדיר <math>f(x) = y</math>, אז <math>(g\circ f)(x) = g(f(x)) = g(y) = x</math>.
כעת נניח כי <math>f</math> על. לכל <math>y\in B</math> קיימת קבוצה לא ריקה <math>f_y = \left\{x | f(x) = y \right\}</math>, ולכל קבוצה כזו נבחר ״נציג״ <math>x_0</math> ונגדיר <math>g(y) = x_0</math>. כעת <math>(f\circ g)(y) = f(g(y)) = f(x_0) = y</math>.}}
{{משפט|
מספר=2.4|
שם=|
תוכן=לכל <math>A,B</math> קיימת פונקציה חח״ע מ- <math>A</math> ל- <math>B</math> אם ורק אם קיימת פונקציה על מ- <math>B</math> ל- <math>A</math> .}}
תוכן=לכל{{הוכחה|נניח <math>A</math> ו<math>B</math>, קיימתשקיימת פונקציה חח״ע מ-<math>f:A</math>\to ל-<math>B</math> אם. ורקממשפט אם2.3 קיימת פונקציה על מ-<math>g:B\to A</math> לכך ש- <math>Ag\circ f=\mbox{id}_A</math> .}} יהי
<math>a\in A</math> , אז <math>g(f(a)=a</math> ולכן <math>f(a)</math> הוא מקור ל<math>a</math> .{{ש}}
{{הוכחה|כעת נניח שקיימת פונקציה חח״עעל <math>f: A\to B</math> . ממשפט 2.3 קיימת פונקציה <math>g: BA\to AB</math> כך ש- <math>gf\circ f g= \mbox{id}_{A}_A</math> . יהינניח ש- <math>g(a_1)=g(a_2)</math> , אז <math>a_1=f(g(a_1))=f(g(a_2))=a_2</math> .}}
<math>a\in A</math>, אז <math>g(f(a) = a</math>, ולכן <math>f(a)</math> הוא מקור ל<math>a</math>. כעת נניח שקיימת פונקציה על <math>f: A\to B</math>. ממשפט 2.3 קיימת <math>g: A\to B</math> כך ש<math>f\circ g = \mbox{id}_{A}</math>. נניח ש<math>g(a_1) = g(a_2)</math>, אז <math>a_1 = f(g(a_1)) = f(g(a_2)) = a_2</math>.}}
{{תורת הקבוצות|מוגבל}}
[[קטגוריה:תורת הקבוצות|פונקציות]]
| 