ויקיספר

פיזיקה תיכונית/מכניקה/תנועה הרמונית: הבדלים בין גרסאות בדף

עיון אינטראקטיבי בהיסטוריה
→ העריכה הקודמתהעריכה הבאה ←
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
חזותיקוד ויקי
אין תקציר עריכה
אין תקציר עריכה
שורה 6:
:<math>-kx=m\vec a=m\frac{d^2x}{dt^2}</math>
כאשר <math>k,m</math> הנם קבועים לדוגמא, גוף שמחובר לקפיץ אופקי <math>k</math> יהיה קבוע הקפיץ ו- <math>m</math> מסת הגוף.{{ש}}
כמו כן <math>x</math> הינוהנו מיקום הגוף ו- <math>a</math> הינוהנו תאוצת הגוף שהיא הנגזרת השניה של המיקום.
תנועה הרמונית מוגדרת כמערכת המצייתת למשוואה הדיפרנציאלית <math>\frac{d^2x}{dt^2}+\omega^2x=0</math> הביטוי לעיל הנו משוואה דיפרנציאלית מסדר שני שפתרונה הוא מהצורה:
הביטוי לעיל הינו משוואה דיפרנציאלת מסדר שני שפתרונה הוא מהצורה:
:<math>x=A\cos(\omega t+\phi)</math>
כאשר <math>t</math> הנו הזמן, <math>A</math> היא האמפליטודה/המשרעת של הגוף ביחידות של מטרים - ערך המיקום המקסימיליהמקסימלי אליו הגוף מגיע, <math>\phi</math> הינההנה זוויתזוית המופע/פאזה שמקבלים אותה מתנאי התחלהתהתחלה ו- <math>\omega^2=\frac{k}{m}</math> , ערך זה <math>\omega</math> נקרא התדירות הזוויתיתהזויתית, מכיווןמכיון שהתנועה חוזרת על עצמה נוכל לקבל את זמן המחזור של התנועה <math>T</math> :
:<math>T=\frac{2\pi}{\omega}</math> כלומר <math>T=\frac{2\pi}{\sqrt{\frac{k}{m}}}</math>
את מהירות הגוף נקבל אם נגזור את הביטוי למיקום <math>x</math> של הגוף:
שורה 17 ⟵ 16:
ביטויים אלו נכונים אם התנועה ההרמונית מתבצעת בנקודת שיווי המשקל. במידה ונגדיר נקודת ייחוס אחרת נוסיף למיקום הגוף את המרחק בין נקודת שיווי המשקל לנקודת הייחוס.
 
==תרגיל לדוגמהלדוגמא==
גוף שמסתו <math>4kg</math> מונח על משטח אופקי חלק ומחובר לקפיץ אופקי שקבועו <math>100\frac{N}{m}</math> , מסיטים את הגוף מנקודת רפיון הקפיץ <math>2cm</math> ומשחררים את הגוף. מצאו את הגדלים הבאים: התדירות הזוויתיתהזויתית <math>\omega</math> של הגוף, מיקום הגוף לאחר דקה אחת.
 
נתחיל בתיאור התנועה, מכיווןמכיון שעש כוח פרופורציוני למיקום ומנוגד לכיוון התנועה(הכוח שהקפיץ מפעיל, לפי חוק הוק <math>\vec F=kXkx</math>) הגוף ינוע בתנועה הרמונית סביב נקודת רפיון הקפיץ, כעת מציאת ω<math>\omega</math> על -ידי הקשר המתואר לעיל: ω²<math>\omega^2=\frac{k/}{m}</math> כאשר <math>k</math> הינוהנו קבוע הקפיץ, <math>m</math> מסת הגוף נציב בביטוי ונקבל:
<math>\omega=5\left(\frac{1}{s}\right)</math> .
(ω=5(1/sec, כעת נמצא את מיקום הגוף, ידוע שבתנועה הרמונית פשוטה(X=Acos(ωt+φ מצאנו את ω, המשרעת A הינה שיעור התארכות הקפיץ ההתחלתית 0.02m כי הקפיץ לא יתארך יותר מערך זה, נשאר למצוא את φ, נמצא מתנאי התחלה, נציב t=0
בביטוי לאחר שהצבנו את ω, A, ידוע שבזמן זה מיקום הגוף הוא 0.02m כלומר A ונקבל:
0.02=0.02cosφ, לאחר פתירת המשוואה נקבל φ=0,והביטוי למיקום הגוף ידוע, נדרש למצוא מה מיקומו לאחר דקה כלומר שישים שניות, נציב 60 בt ונמצא את המיקום:
(x=0.02*cos(5*60 ונקבל x=0.01m, ביחס לנקודת רפיון הקפיץ.
 
כעת נמצא את מיקום הגוף, ידוע שבתנועה הרמונית פשוטה <math>x=A\cos(\omega t+\phi)</math> מצאנו את <math>\omega</math> , המשרעת <math>A</math> הנה שיעור התארכות הקפיץ ההתחלתית <math>0.02m</math> כי הקפיץ לא יתארך יותר מערך זה, נשאר למצוא את <math>\phi</math> , נמצא מתנאי התחלה, נציב <math>t=0</math> בביטוי לאחר שהצבנו את <math>A,\omega</math> , ידוע שבזמן זה מיקום הגוף הוא <math>0.02m</math> כלומר <math>A</math> ונקבל: <math>0.02=0.02\cos(\phi)</math> , לאחר פתירת המשוואה נקבל <math>\phi=0</math> , והביטוי למיקום הגוף ידוע, נדרש למצוא מה מיקומו לאחר דקה כלומר שישים שניות, נציב 60 ב-t ונמצא את המיקום: <math>x=0.02\cos(5\cdot60)</math> ונקבל <math>x=0.01m</math> , ביחס לנקודת רפיון הקפיץ.
משוואת המיקום יכולה להשתנות מפונקציה טריגונומטרית אחת לפונקציה טריגונומטרית אחרת. כגון בתנועה הרמונית פשוטה של קפיץ משוואת התנועה יכולה להשתנות בהתאם לנתונים ההתחלתיים, דוגמא לכך היא במקרה של קפיץ המתוח שיעור מסויים ברגע t =0כאשר קיים תנאי זה משוואת התנועה מיוצגת באמצעות הפונקציה הטריגונומטרית קוסינוס, לאומת זאת כאשר אין מרחק התחלתי, רואים זאת בבעיות הרתע וההתנגשות הפלסטית או אלסטית משוואת התנועה תהיה פונקציה טריגונומטרית בשם סינוס.▼
 
▲משוואת המיקום יכולה להשתנות מפונקציה טריגונומטרית אחת לפונקציה טריגונומטרית אחרת. כגון בתנועה הרמונית פשוטה של קפיץ משוואת התנועה יכולה להשתנות בהתאם לנתונים ההתחלתיים, דוגמא לכך היא במקרה של קפיץ המתוח שיעור מסוייםמסוים ברגע <math>t =0כאשר0</math> כאשר קיים תנאי זה משוואת התנועה מיוצגת באמצעות הפונקציה הטריגונומטרית קוסינוס<math>\cos</math> , לאומתלעומת זאת כאשר אין מרחק התחלתי, רואים זאת בבעיות הרתע וההתנגשות הפלסטית או אלסטית משוואת התנועה תהיה פונקציה טריגונומטרית בשם<math>\sin</math> סינוס.
אוחזר מתוך "https://he.wikibooks.org/wiki/פיזיקה_תיכונית/מכניקה/תנועה_הרמונית"