חשבון אינפיניטסימלי/גבולות/הגדרת הגבול: הבדלים בין גרסאות בדף

מספר ממשי <math>L</math> ייקרא הגבול של סדרה <math>a_n</math> אם בכל סביבה של <math>L</math> נמצאים כל אברי הסדרה פרט למספר סופי של איבריםאברים

ומסומן <math>\lim_{n \to \infty}a_n = L</math> או <math>a_n \to L</math>

אם הגבול <math>L</math> קיים וסופי נאמר שהסדרה <math>a_n</math> מתכנסת לגבול <math>L</math> , אם לא קיים מספר <math>L</math> סופי כזה נאמר שהסדרה '''מתבדרת'''

הגדרת הגבול אכן פורמלית למדי, אך היא מבוססת על הגיון מתמטי - ואינה סתומה כפי שהיא אולי נראית בתחילה.

ראשית ניזכר בהגדרה של סביבה, סביבה היא קטע פתוח סימטרי סביב נקודה מסוימת. למשל - סביבה בגודל <math>\varepsilon</math> של <math>L</math> מוגדרת על-ידי הקטע <math>(L-\varepsilon,L+\varepsilon)</math> , כלומר קבוצת כל המספרים שההפרש בינם לבין <math>L</math> קטן מ- <math>\varepsilon</math> . ההגדרה מדברת על כל סביבה של <math>L</math> , ומכיון שלא מוגדרת סביבה בגודל אפס הרי שהכוונה היא לכל סביבה כך ש- <math>\varepsilon > 0</math> . ההגדרה דורשת כי בכל סביבה כזו יהיו מרוכזים כל אברי הסדרה, אך מתירה לנו להשאיר מספר איבריםאברים '''סופי''' מחוץ לסביבה, תנאי זה מבטיח שהסדרה אכן מתקרבת ל- <math>L</math> - אבל מדוע? כדי לענות על שאלה זו נסתכל על מספר סדרות שאינן מתכנסות -

* <math>1,2,3,\dots</math> - ניתן לראות בבירור שהסדרה הזו איננה מתקרבת למספר מסוים, אלא הולכת וגדלה בקצב קבוע. אך לצורך הדוגמא נניח כי אנחנו חושבים שהסדרה מתכנסת למספר גדול, נניח - <math>1000000</math> , עכשיו נבחן את הסדרה על-פי ההגדרה - האם בכל סביבה של <math>1000000</math> נמצאים כל אברי הסדרה פרט למספר סופי של איבריםאברים? נתחיל מסביבה בגודל <math>1</math> , כלומר טווח המספרים בין <math>999999</math> ל- <math>1000001</math> . נראה שכל האיבריםהאברים עד האיברהאבר ה- <math>1000000</math> נמצאים מחוץ לסביבה שבחרנו, אבל זה עדיין לא מפריע לנו, כי מדובר בסך הכל ב- <math>999999</math> איבריםאברים - וזהו מספר סופי, האיברהאבר המיליון, <math>a_{1000000}</math> שווה בדיוק <math>1000000</math> והוא נמצא בסביבה, אך כל המספרים הבאים אחריו כבר גדולים מדי - ולא נמצאים בסביבה, וכיון שאחרי המספר <math>1000000</math> קיימים עוד אינסוף איבריםאברים בסדרה.

:קיימת סביבה של <math>1000000</math> שמחוץ לה נמצאים אינסוף מאברי הסדרה - ולכן הסדרה לא מתכנסת למיליון. הדוגמא הזו אמנם נראית טפשית - אך חשוב להבין אותה ואת הלוגיקה שבה פעלנו כדי להוכיח ש- <math>1000000</math> אינו הגבול של הסדרה, כיווןכיון שאותה הלוגיקה תשמש אותנו בהמשך לדוגמאות מסובכות בהרבה. באותה צורה ניתן לבחור במקום <math>1000000</math> כל מספר ממשי שנרצה, ולבצע את אותה ההוכחה - לכן הסדרה שלפנינו אינה מתכנסת (למעשה היא מתכנסת לאינסוף, אך טרם הגדרנו גבול אינסופי).

* <math>1,0,1,0,\dots</math> בסדרה זו כל איבראבר אי-זוגי הוא <math>1</math>, וכל איבראבר זוגי הוא 0. כיון שבסדרה יש אינסוף מספרים זוגיים לכאורה ניתן לומר כי על-פי ההגדרה הסדרה מתכנסת לאפסל-0, שכן בכל סביבה של 0 קיימים אינסוף מאברי הסדרה (<math>a_2 = a_4 = \dots = a_{2n} = 0</math>) אבל! זו היא לא ההגדרה - ההגדרה דורשת שלכל סביבה של 0 כל אברי הסדרה, פרט למספר סופי של איבריםאברים יהיו בתוך הסביבה. אבל אם ניקח סביבה בגודל <math>\ 1/2frac12</math> , כלומר טווח המספרים שבין <math>\frac{1}{2}frac12</math> ל- <math>-\frac{1}{2}frac12</math> , נראה שקיימים אינסוף מאברי הסדרה מחוץ לסביבה - כל האיברים האי-זוגיים שערכם <math>1</math>. .

:הסדרה לא מתכנסת לאפסל-0 - אך אולי היא מתכנסת למספר אחר? בהינתן מספר <math>L \ne 0ne0</math> ניקח סביבה בגודל <math>\frac{L}{2}</math> , זו היא הסביבה

<math>\left(\frac{L}{2} , \frac{3L}{2}\right) </math> ויש אינסוף איבריםאברים (כל האיבריםהאברים האי-זוגיים, אלו שערכם אפס0) שנמצאים מחוץ לסביבה זו - כלומר הסדרה לא מתכנסת לאפסל-0, אך גם לא מתכנסת לאף מספר השונה מאפסמ-0 - ולכן ניתן לומר שהסדרה <math>1,0,1,0,\dots</math> אינה מתכנסת.

הגבול של סדרה, <math>L = \lim_{n \to \infty}a_n</math> קיים אם לכל <math>\varepsilon > 0</math> קיים מספר <math>k</math> ממשי, כך שלכל <math>n > k</math> מתקיים - <math>|a_n - L| < \varepsilon</math>

הגדרה זו שקולה להגדרת הגבול. בהגדרה המקורית נדרש כי לכל סביבה של <math>L</math> יהיו כל אברי הסדרה, פרט למספר סופי של איבריםאברים. בהגדרה זו הסביבה מוגדרת במפורש על -ידי <math>\varepsilon</math> , ונדרש שהחל מ-<math>k</math> מסוים כל אברי הסדרה יהיו בסביבה זו. לכן קיימים לכל היותר <math>k</math> איבריםאברים שאינם נמצאים בסביבה הרצויה, ומכיווןומכיון שההגדרה דורשת קיומו של <math>k</math> כזה מספרם הוא סופי. נראה כי הדרישה כי <math>a_n</math> יהיה בסביבה <math>\varepsilon</math> של <math>L</math> זהה לדרישה כי <math>|a_n - L| < \varepsilon</math>

<math>L -\varepsilon < a_n < L + \varepsilon</math>{{ש}}

<math>-\varepsilon < |a_n - L |< \varepsilon</math>

* <math>0,0,0,\dots</math> - זו היא סדרה שבה <math>a_n = 0</math> ללא תלות ב- <math>n</math> , כלומר סדרה שבה יש אינסוף אפסים. זה בהחלט נראה מובן מאליו שהסדרה הזו שאופת לאפסל-0, אך אנחנו עדיין צריכים להוכיח. נוכיח שגבול הסדרה הוא <math>0</math> - לכל <math>\varepsilon > 0</math> קיים <math>k = 0</math> כך שלכל <math>n > k</math> יתקיים -

* <math>1,\frac{1}{2}frac12,\frac{1}{3}frac13,\dots</math> . זוהי הסדרה עם האיברהאבר הכללי <math>a_n=\frac{1}{n}</math>

:כפי שכבר ציינו בתחילת הפרק גם הסדרה הזו מתכנסת לאפסל-0, וגם זה כנראה ברור באופן אינטואיטיבי - אך ההוכחה כאן מתקדמת צעד אחד קדימה. לכל <math>\varepsilon > 0</math> קיים <math>k = \frac{1}{\varepsilon}</math> כך שלכל <math>n > k</math> יתקיים -

:הרעיוןאילו החדשההגדרה בהוכחההיתה זומנוסחת היא הצורה שבה בחרנו את"'''קיים''' <math>k</math> - שימו לבכך ש-<math>k</math>'''לכל''' תלוי ב-<math>\varepsilon</math> (כלומר..." <math>k</math>היה הואעלינו '''פונקציה של'''להגדיר <math>\varepsilonk</math>, ולכןשאינו לעתיםתלוי מסומןב- <math>k_{\varepsilon}</math>).}}

בעמוד זה הצגנו את מושג הגבול באופן כללי, הגדרנו את הגבול באופן פורמלי והצגנו דוגמאות בסיסיות לסדרות מתבדרות ומתכנסות. כפי שציינו בתחילת הפרק ההגדרה של מושג הגבול אינה אינטואיטיבית ופעמים רבות מהווה מכשול בלימודי החשבון האינפיניטסימלי, מומלץ לעבור שוב על ההגדרה, הדוגמאות ובמיוחד על האופן שבו השתמשנו בהם לפני שממשיכים לתת הפרק הבא, שכן הוא מבוסס על ההגדרה וייתןויתן לנו כלים נוספים לנתח התכנסות של סדרות.

סדרה <math>\{a_n\}</math> מתכנסת לגבול סופי אם ורק אם לכל <math>\varepsilon > 0</math> קיים <math>k</math> כך שלכל <math>m,n > k</math> יתקיים - <math>\biggBig|a_m-a_n\biggBig| < \varepsilon</math>

::נתון - <math>\lim_{n \to \infty}a_n = L</math>

::צ"ל - לכל <math>\varepsilon > 0</math> קיים <math>k</math> כך שלכל <math>m,n > k</math> יתקיים - <math>\biggBig|a_m-a_n\biggBig| < \varepsilon</math>

<math>\lim_{n \to \infty}a_n = L</math> אזי לכל <math>\varepsilon' > 0</math> , ובפרט עבור <math>\varepsilon' = \frac{\varepsilon}{2}</math> קיים <math>k</math> כך שלכל <math>n > k</math> מתקיים <math>\biggBig|a_n - L\biggBig| < \varepsilon'</math> . אזי לכל <math>n_1,n_2>k</math> מתקיים