חשבון אינפיניטסימלי/רציפות: הבדלים בין גרסאות בדף

תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מאין תקציר עריכה
אין תקציר עריכה
שורה 1:
באופן אינטואיטיבי, פונקציה נקראת '''רציפה''' אם ניתן לצייר אותה בקטע בלי להרים את העט. לדוגמה, הפונקציה <math>f(x)=\frac{1}{x}</math> לא רציפה בקטע <math>[-1,1]</math> כי נצטרך להרים את העט במעבר בין השליליים לחיוביים. עוד דוגמה לפונקציה לא רציפה היא <math>f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}</math> והיא לא רציפה על כל הישר הממשי כיוון שנצטרך להרים את העט לקראת ההגעה שלנו ל- <math>x=2</math> ואז לחזור ולכתוב בצד השני של ה"חור" הזה.{{ש}}
 
ההגדרה הזאת של "להרים את העט" ממש לא-פורמלית ולא קבילה, ולכן ננסה להגדיר רציפות של פונקציה בקטע בתור רציפות שלה בכל נקודה ונקודה. איך נגדיר רציפות של פונקציה בנקודה? אם הפונקציה מתקרבת יותר ויותר לערך שהיא בסופו של דבר מקבלת, ככל שהיא מתקרבת לנקודה מסוימת.
 
==הגדרה==
פונקציה <math>f(x)</math> נקראת '''רציפה''' בנקודה <math>x_0</math> אם מתקיים <math>\lim_{x \to x_0}f(x)=f(x_0)</math> .{{ש}}
פונקציה נקראת רציפה בקטע <math>[a,b]</math> אם לכל <math>x_0</math> בקטע, הפונקציה רציפה ב- <math>x_0</math> .{{ש}}
 
נסתכל על <math>f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}</math> . נראה כי <math>\lim_{x \to 2to2}f(x)=4</math> אבל <math>f(2)</math> לא מוגדר. לכן הפונקציה לא רציפה בנקודה, ובפרט בכל הישר הממשי.
 
==מיון נקודות אי-רציפות==
תהי פונקציה שלא רציפה ב-<math>x_0</math>. נחלק ל-3 מקרים שונים שיכול להיות אז:
*נק' אי-רציפות '''סליקה''' (או מסוג <math>0</math>) - אם קיים (במובן הצר, כלומר, לא אינסופי) <math>\lim_{x\to x_0}f(x)</math> אך הוא שונה מ-<math>f(x_0)</math> . דוגמא לכך זה אותה פונקציה <math>f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}</math> שבה <math>x=2</math> נק' אי-רציפות סליקה.
 
*נק' אי-רציפות '''סליקה''' (או מסוג <math>0</math>)ראשון - אם קייםקיימים (במובן הצר, כלומר,) לא אינסופי)הגבולות <math>\lim_{x \to x_0^+} f(xx_0)</math>\ אך,\ הוא\lim_{x\to שונה מx_0^-<math>}f(x_0)</math> אך שונים זה מזה. דוגמא לכך זההיא אותהפונקציית פונקציההסימן, <math>f\sgn(x)=\fracbegin{x^2-4cases}1&\text{ if }&>0\\0&\text{ if }x=0\\-21&\text{ if }x<0\end{cases}</math> שבה. הנקודה <math>x=20</math> היא נק' אי-רציפות סליקהמסוג ראשון כיון שהגבול החד-צדדי מהצד השלילי הוא 1- אבל הגבול החד-צדדי מהצד החיובי הוא <math>\lim_{x\to0^+}\sgn(x)=1</math> והרי 1 ו- 1- שונים.
*נק' אי-רציפות מסוג ראשון - אם קיימים (במובן הצר) הגבולות <math>\lim_{x \to x_0^+}f(x_0) , \lim_{x\to x_0^-}f(x_0)</math> אך שונים זה מזה. דוגמא לכך היא פונקציית הסימן, <math>\sgn(x)=\begin{cases}1 & \text{ if } x>0\\ 0 & \text{ if } x=0 \\ -1 & \text{ if } x<0 \end{cases}</math>. הנקודה <math>x=0</math> היא נק' אי-רציפות מסוג ראשון כיוון שהגבול החד-צדדי מהצד השלילי הוא 1- אבל הגבול החד-צדדי מהצד החיובי הוא <math>\lim_{x\to 0^+}\sgn(x)=1</math> והרי 1 ו- 1- שונים.
*נק' אי-רציפות מסוג שני - כל מקרה אחר. כלומר, לפחות אחד הגבולות החד-צדדיים לא קיים במובן הצר.
 
==רציפות במידה שווה==
עפ"י הגדרת הרציפות, <math>f(x)</math> נקראת רציפה בנקודה אם מתקיים <math>\forall \varepsilon>0, \exists \delta>0, \forall x(|x-x_0|<\delta \to \bigg|f(x)-f(x_0)\bigg| < \varepsilon)</math> .{{ש}}
כלומר, לכל מרחק נתון, קיימת סביבה מספיק קטנה של <math>x_0</math> כך שלכל x בסביבה הזאת, <math>f(x)</math> יהיה רחוק מ- <math>f(x_0)</math> עד כדי המרחק הנתון.
 
אנחנו רוצים להגדיר משהו יותר חזק מרציפות. <math>f(x)</math> נקראת רציפה במידה שווה (או רציפה במ"ש) בקטע <math>I</math> אם לכל מרחק נתון, אני יכול למצוא אורך סביבה מספיק קטן שיתאים לכל <math>x_0</math> בקטע כך שהגדרת גבול הרציפות תתקיים. בעצם זה אומר שלכל שתי נקודות שאקח עם מרחק קטן מאותו אורך סביבה מספיק קטן, המרחק בין הערכים שלהם על הפונקציה יהיה קטן מהמרחק ההתחלתי הנתון (יש להדגיש שלכל מרחק התחלתי, קיים אורך סביבה מספיק קטן אחר). זאת אומרת:
:<math>\forall \varepsilon>0, \exists \delta>0, \forall x_1,x_2 \in I(|x_1-x_2|<\delta \rightarrow to\bigg|f(x_1)-f(x_2)\bigg| < \varepsilon)</math>{{ש}}
רציפות במ"ש היא לא תכונה מאוד שימושית, אך היא עוזרת להוכיח שכל פונקציה רציפה בקטע סגור הנה אינטגרביליתאינטגראבילית.{{ש}}
 
===קריטריונים לרציפות במ"ש===
*תנאי הכרחי אך לא -מספיק - פונקציה רציפה במ"ש הנה רציפה. (לא עובד בכיוון ההפוך. כלומר פונקציה רציפה אינה בהכרח רציפה במ"ש){{ש}}
*סכום רציפות במ"ש הוא רציף במ"ש. כפל סקלר ברציפה במ"ש רציף במ"ש. נשים לב שכפל פונקציות רציפות במ"ש לא בהכרח רציף במ"ש. לדוגמהלדוגמא: <math>f(x)=x</math> רציף במ"ש ב- <math>[0,\infty)</math> אך <math>x\cdot x=x^2</math> לא.
*פונקציה היא '''לא''' רציפה במ"ש בקטע <math>I</math> אם ורק אם קיימות 2 סדרות <math>\{x_n\}_{n=1}^\infty</math> ו- <math>\{y_n\}_{n=1}^\infty</math> כך ש- <math>|x_n-y_n| \to 0</math> אבל <math>\bigg|f(x_n)-f(y_n)\bigg|\not\to</math>
*תנאי הכרחי אך לא מספיק - פונקציה רציפה במ"ש בקטע '''סופי''' חסומה שם.
*משפט קנטור - פונקציה רציפה בקטע סגור חסומה שם.
*נניח f רציפה במ"ש על קטע המכיל את התמונה של פונקציה רציפה במ"ש g. אזי ההרכבה <math>f(g(x))</math> רציפה במ"ש.
*אם <math>f</math> רציפה במ"ש על הקטעים <math>(a,b],[b,c)</math> (לאו דווקא קצות סופיים), אזי היא רציפה במ"ש באיחוד <math>(a,c)</math> .
*תהי f רציפה על קטע חצי אינסופי מהצורה <math>[a,\infty)</math> , כך שהגבול <math>\lim_{x\to\infty}f(x)=L</math> קיים וסופי, אזי f רציפה במ"ש על הקטע <math>[a,\infty)</math> .
::<math>\lim_{x \to \infty}f(x)=L</math>
 
קיים וסופי, אזי f רציפה במ"ש על הקטע <math>[a,\infty)</math>.
*מסקנה - תנאי מספיק (אבל לא הכרחי) לרציפות במ"ש - גבולות סופיים בקצות הקטע: תהי f פונקציה '''רציפה על קטע''' לאו דווקא סופי, אזי אם הגבולות של הפונקציה בקצות הקטע קיימים וסופיים, הפונקציה רציפה במ"ש בקטע.
*תנאי מספיק (אבל לא הכרחי) - נגזרת חסומה: פונקציה גזירה שנגזרתה חסומה בקטע, רציפה שם במ"ש.
שורה 39 ⟵ 37:
:שימו לב: פונקציה נקראת מחזורית אם קיים מספר ממשי p כך שלכל x ממשי מתקיים:
::<math>f(x+p)=f(x)</math>
::לדוגמהלדוגמא: הפונקציה <math>f(x)=\sin(x)</math> מחזורית כיוון שמתקיים לכל x ש- <math>\sin(x+2\pi)=\sin(x)</math> (אז p במקרה הזה הוא <math>2\pi</math>). סינוס זה פונקציה רציפה בנוסף להיותה מחזורית ולכן רציפה במ"ש ב- <math>\mathbb{R}</math> (על כל הישר הממשי)
 
[[קטגוריה:חשבון אינפיניטסימלי (ספר)]]