חשבון אינפיניטסימלי/רציפות: הבדלים בין גרסאות בדף

עפ"י הגדרת הרציפות, <math>f(x)</math> נקראת רציפה בנקודה אם מתקיים <math>\forall\varepsilon>0,\exists\delta>0,\forall x(:|x-x_0|<\delta\to\bigg|f(x)-f(x_0)\bigg|<\varepsilon)</math> .{{ש}}

כלומר, לכל מרחק נתון, קיימת סביבה מספיק קטנה של <math>x_0</math> כך שלכל <math>x</math> בסביבה הזאת, <math>f(x)</math> יהיה רחוק מ- <math>f(x_0)</math> עד כדי המרחק הנתון.

אנחנו רוצים להגדיר משהו יותר חזק מרציפות. <math>f(x)</math> נקראת רציפה במידה שווה (או רציפה במ"ש) בקטע <math>I[a,b]</math> אם לכל מרחק נתון, אני יכול למצוא אורך סביבה מספיק קטן שיתאים לכל <math>x_0</math> בקטע כך שהגדרת גבול הרציפות תתקיים. בעצם זה אומר שלכל שתי נקודות שאקח עם מרחק קטן מאותו אורך סביבה מספיק קטן, המרחק בין הערכיםערכי שלהםהפונקציה על הפונקציהבהן יהיה קטן מהמרחק ההתחלתי הנתון (יש להדגיש שלכל מרחק התחלתי, קיים אורך סביבה מספיק קטן אחר). זאת אומרת:

:<math>\forall\varepsilon>0,\exists\delta>0,\forall x_1,x_2\in I([a,b]:|x_1-x_2|<\delta\to\bigg|f(x_1)-f(x_2)\bigg|<\varepsilon)</math>{{ש}}

*פונקציה היא '''לא''' -רציפה במ"ש בקטע <math>I[a,b]</math> אם ורק אם קיימות 2 סדרות <math>\{x_n\}_{n=1}^\infty</math> ו- <math>\{y_n\}_{n=1}^\infty</math> כך ש- <math>|x_n-y_n| \to 0to0</math> אבל <math>\bigg|f(x_n)-f(y_n)\bigg|\not\to</math>

*נניח <math>f</math> רציפה במ"ש על קטע המכיל את התמונה של פונקציה רציפה במ"ש <math>g</math> . אזי ההרכבה <math>f(g(x))</math> רציפה במ"ש.

*תהי <math>f</math> רציפה על קטע חצי אינסופי מהצורה <math>[a,\infty)</math> , כך שהגבול <math>\lim_{x\to\infty}f(x)=L</math> קיים וסופי, אזי <math>f</math> רציפה במ"ש על הקטע <math>[a,\infty)</math> .

*מסקנה - תנאי מספיק (אבל לא הכרחי) לרציפות במ"ש - גבולות סופיים בקצות הקטע: תהי <math>f</math> פונקציה '''רציפה על קטע''' לאו דווקא סופי, אזי אם הגבולות של הפונקציה בקצות הקטע קיימים וסופיים, הפונקציה רציפה במ"ש בקטע.

:שימו לב: פונקציה נקראת מחזורית אם קיים מספר ממשי <math>p</math> כך שלכל <math>x</math> ממשי מתקיים:

::לדוגמא: הפונקציה <math>f(x)=\sin(x)</math> מחזורית כיווןכיון שמתקיים לכל <math>x</math> ש- <math>\sin(x+2\pi)=\sin(x)</math> (אז <math>p</math> במקרה הזה הוא <math>2\pi</math>). סינוס זה פונקציה רציפה בנוסף להיותה מחזורית ולכן רציפה במ"ש ב- <math>\R</math> (על כל הישר הממשי)