חשבון אינפיניטסימלי/מושגים בסיסיים בתורת הקבוצות/קבוצות חסומות: הבדלים בין גרסאות בדף

אין תקציר עריכה
אין תקציר עריכה
אין תקציר עריכה
{{חשבון אינפיניטסימלי|פרק=מושגים בסיסיים בתורת הקבוצות}}
==הגדרות ודוגמאות==
<u>הגדרה</u>: תהא <math>A\subset\R</math> . נגיד שהקבוצה <math>A</math> ''חסומה מלעיל'' (''Bounded above'') אם קיים מספר <math>M</math> כך שלכל <math>x\in A</math> , מתקיים: <math>x\le M</math> .
[[תמונה:P4fst.jpg|כאן, M הנו חסם מלעיל כלשהו לקבוצה A, כלומר הקבוצה A חסומה מלעיל ע"י M.]]
קל לראות, על-פי ההגדרה, ש- <math>M</math> אינו יחיד (כי: יהא <math>M</math> מספר המקיים את התנאי. אז כל מספר הגדול מ- <math>M</math> יקיים את התנאי אף הוא). כל <math>M</math> המקיים את התנאי הנ"ל נקרא ''חסם מלעיל'' (''upper bound'').{{ש}}
 
<u>הגדרה</u>: תהא <math>A\subset\R</math> . נגיד שהקבוצה <math>A</math> ''חסומה מלרע'' (''Bounded below'') אם קיים מספר <math>m</math> כך שלכל <math>x\in A</math> , מתקיים: <math>x\ge m</math> .
ושוב קל לראות, על-פי ההגדרה, ש- <math>m</math> אינו יחיד.{{ש}}
2) אין חסם מלעיל אחר של <math>A</math> שקטן ממש מ- <math>M</math> . (במילים אחרות, אם <math>M_1</math> חסם מלעיל של <math>A</math> אף הוא, אז מתקיים: <math>M_1\ge M</math>).{{ש}}
ניסוח אחר: <math>\forall M_2<M,\ \exists x\in A|x>M_2 </math> .{{ש}}
<u>סימון</u>: <math>M=\sup\{ A\}</math> .{{ש}}
דוגמא: <math>A=(0,1]\ ,\ B=[0,1)</math> . בשני המקרים, <math>M=1</math> הוא החסם העליון.{{ש}}
 
1) <math>m</math> חסם מלרע של <math>A</math> .{{ש}}
2) אין חסם מלרע של <math>A</math> הגדול מ- <math>m</math> .{{ש}}
<u>סימון</u>: <math>m=\inf\{ A\}</math> .
*הערה: ניתן להגדיר אינפימום ע"י סופרמום, באופן הבא: <math>\inf\{ A\}=-\sup\{(-A\})</math>, כאשר מגדירים: <math>-A=\{-x|x\in A\}</math> .
<u>הגדרה</u>:
#נתונה קבוצה <math>A</math> החסומה מלעיל ע"י <math>M</math> , כלומר <math>M=\sup\{ A\} </math> . אם <math>M\in A</math> , אז נגיד ש- ''<math>M</math> הוא המקסימום של <math>A</math>'' , ונכתוב: <math>M=\max\{ A\}</math> .
#נתונה קבוצה <math>B</math> החסומה מלרע ע"י <math>m</math> , כלומר <math>m=\inf\{ B\}</math> . אם <math>m\in B</math> , נגיד ש- ''<math>m</math> הוא המינימום של <math>B</math>'' , ונכתוב: <math>m=\min\{ B\}</math> .
 
*הערה: אם יש ל- <math>A</math> מספר סופי של אברים, אז יש לה הן מקסימום והן מינימום.