חשבון אינפיניטסימלי/אינטגרציה/אינטגרל מוכלל: הבדלים בין גרסאות בדף
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
יצירת דף עם התוכן "'''אינטגרל מוכלל''' (או '''אינטגרל לא-אמיתי''') הנו הכללה של האינטגרל המסוים (רימאן) לקטעים לא-..." |
אין תקציר עריכה |
||
שורה 12:
טעינו בכמה דברים. הפונקציה לא-רציפה בקטע <math>[-1,1]</math> וגם הגבול <math>\lim_{x\to0}\frac{1}{x^2}</math> לא קיים, כלומר הפונקציה אינה חסומה.
==אינטגרלים מוכללים בקטעים לא-חסומים==
תהי <math>f:[a,\infty)\to\R</math> פונקציה המקיימת אינטגרביליות בקטע <math>[a,M]</math> לכל <math>M>a</math> .
נגדיר: <math>\int\limits_a^\infty f(x)dx=\lim_{M\to\infty}\int\limits_a^M f(x)dx</math> בתנאי שהגבול קיים (וסופי). אם הגבול אינו קיים אזי האינטגרל מתבדר.
באופן דומה נגדיר: <math>\int\limits_{-\infty}^a f(x)dx=\lim_{M\to\infty}\int\limits_{-M}^a f(x)dx=\lim_{M\to-\infty}\int\limits_M^a f(x)dx</math>
===דוגמאות===
שורה 42 ⟵ 44:
אך הגבול באינסוף לא קיים, ולכן האינטגרל מתבדר.
*אם האינטגרל <math>\int\limits_a^\infty f(x)dx</math> מתכנס, אזי לכל <math>b>a</math> מתקיים <math>\int\limits_a^\infty f(x)dx=\int\limits_a^b f(x)dx+\int\limits_b^\infty f(x)dx</math>
*תהי <math>f:\R\to\R</math> פונקציה אינטגרבילית בכל קטע סגור. אם קיים <math>a</math> כך ש- <math>\int\limits_a^\infty f(x)dx</math> ו- <math>\int\limits_{-\infty}^a f(x)dx</math> מתכנסות, אזי <math>f</math> אינטגרבילית ב- <math>\R</math> ומתקיים <math>\int\limits_{-\infty}^\infty f(x)dx=\int\limits_{-\infty}^a f(x)dx+\int\limits_a^\infty f(x)dx</math>
| |||