הוכחות מתמטיות/שונות/תחום הגדרת שורש טבעי למספר טבעי: הבדלים בין גרסאות בדף
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
העכביש הסגול~ (שיחה | תרומות) מ הסרת קישור לא מתאים |
אין תקציר עריכה |
||
שורה 1:
<math>\sqrt[n]{a}</math> הוא מספר שלם או אי-רציונאלי לכל <math>a,n\in\N_{>1}</math> .
;הוכחה
▲:1. [[w:הוכחה בדרך השלילה|נניח בשלילה]] כי קיימים <math>a,b,c,n</math> טבעיים כאשר <math>c</math> ו- <math>b > 1</math> זרים זה לזה, כך ש- <math>\sqrt[n]{a}= \frac{c}{b}</math>.
▲:*מספרים <math>b,c</math> זרים [[w:|אם ורק אם]] [[w:מחלק משותף מקסימלי|מחלקם המשותף המקסימל]] הוא <math>\gcd(b,c) = 1</math>.
▲::א. במשוואה <math>,a b^n = c^n</math> לפי [[w:המשפט היסודי של האריתמטיקה|המשפט היסודי]] קיים [[w:מספר ראשוני|ראשוני]] <math>p</math> כך ש- <math> p|b^n</math>.
::ב. לפי [[w:הלמה של אוקלידס|לֵמַת אוקלידס]] אם ראשוני מחלק מכפלה, בהכרח הוא מחלק '''לפחות אחד מגורמיה''', כך <math>\iff p|a_1a_2 \cdots a_n</math> {{כ}} <math>p|a_1</math> או <math>p|a_2</math> או <math>\cdots</math> או <math>p|a_n</math>.▼
:::לפיכך <math>.p|b \iff p|\overbrace{b\cdot b\cdots b}^n</math>▼
:4. אך מן השוויון <math>a b^n = c^n</math> נובעת גרירה <math>p|c^n \iff p|a b^n</math>. מלֵמַת אוקלידס הנ"ל נקבל גם את הגרירה <math>p|c \iff p|\overbrace{c\cdot c\cdots c}^n</math>.▼
▲
:5. קיבלנו ש- <math>p|b</math> וגם <math>p|c</math>, כך שהמחלק המשותף המקסימל שלהם הוא עתה <math>\gcd(b,c) = p</math> אף כי הנחנו תחילה שהם זרים. '''''סתירה'''''.▼
לכן לא קיים שוויון כזה. '''מ.ש.ל'''. ■▼
▲
▲
[[קטגוריה:הוכחות מתמטיות (ספר)]]
| |||