מבוא למתמטיקה אוניברסיטאית/ניסוחים במתמטיקה והסבר להם: הבדלים בין גרסאות בדף

כפי שנכתב בפרק הקודם, התשתית של כל תורה מתמטית מבוסס על הגדרות ומשפטים. אלו מנוסחים בשפת היום יום ובצירוף סימנים מתמטיים מוכרים. עם זאת ישנם מספר מינוחים היחודיים לשפה המתמטית בהם משתמשים בניסוח כל הגדרה ומשפט, וחשוב מאוד להבין את המשמעות המדוייקתהמדויקת של מילים מסויימותמסוימות. בפרק זה נסקור מילים חשובות וביטויים חשובים בהם משתמשים מתמטיקאים.

נאמר '''לכל''' ונסמן <math>\forall</math> , אם עובדה מסוימת מתקיימת תמיד עבור כל איבר מקבוצת ערכים מסוימת. אם לא מצוינת קבוצה, בד"כ הכוונה לקבוצת המספרים.{{ש}}

לדוגמא: "'''לכל''' מספר טבעי <math>n</math> קיים מספר טבעי העוקב לו". את הביטוי "לכל <math>n</math> טבעי" ניתן לכתוב כ- <math>\forall n \in \N</math> .

נאמר '''קיים''' ונסמן <math>\exist</math> , אם עובדה מסויימת מתרחשת עבור עצם אחד בעולם לפחות (כלומר יכולים להיות יותר מאחד). לדוגמא:

*"לכל מספר טבעי <math>n</math> '''קיים''' מספר טבעי העוקב לו" - כאן קיים בדיוק אחד כזה.

*"לכל מספר טבעי <math>n</math> '''קיים''' מספר טבעי הגדול ממנו" - כאן קיימים אינסוף מספרים כאלו.

נאמר שטענה א' מתקיימת '''בפרט''' אם הוכחנו כבר טענה ב' שמכילה בתוכה את טענה א'. לדוגמא:{{ש}}

נאמר שטענה א' מתקיימת '''רק עבור''' קבוצה ב' אם אינה מתקיימת עבור כל העצמים שאינם בקבוצה ב' וכן מתקיימת עבור עצמים בקבוצה ב'.{{ש}}

נאמר שטענה א' מתקיימת '''פרט ל-'''קבוצה ב' אם היא מתקיימת לכל עצם אחר מלבד קבוצת עצמים ב' המקיימת תנאי מסוים, ואינה מתקיימת לאף איבראבר ב-ב'.{{ש}}

נאמר שטענה א' מתקיימת '''פרט אולי ל-'''קבוצה ב' אם היא מתקיימת לכל עצם אחר מלבד קבוצת עצמים ב' המקיימת תנאי מסוים, למרות שלא מן הנמנע שהיא כן מתקיימת לחלק מהעצמים ב-ב'. בד"כ משתמשים בטענה מסוג '''פרט אולי ל-''' כאשר יש כמה מקרי קצה שאינם מקיימים את הטענה המרכזית, אך עצם קיומם לא יפריע להלך הרוח הכללי. לדוגמא: "הפונקציה <math>f(x)=\frac1frac{1}{x}</math> היא פונקציה רציפה, פרט אולי לנקודה אחת".

משתמשים במונח טענה א' '''אִם''' טענה ב', כאשר טענה ב' גוררת אחריה את טענה א' באופן מוחלט. ומסמנים: ב' <math>\Leftarrow</math> א'.{{ש}}

משתמשים במונח טענה א' אם ורק אם טענה ב' (ראשי תיבות אמ"ם או אם"ם) ומסמנים "א' <math>\iff</math> ב'" כאשר כל אחת משתי הטענות גוררת אחריה את רעותה ולמעשה הטענות שקולות.{{ש}}

במתמטיקה, נהוג לומר על טענה כי היא מתקיימת '''באופן ריק''' (אין סימון מיוחד לכך) אם נכונותה אינה עומדת כלל למבחן, בשל העובדה שהיא מדברת על אובייקטים שאינם קיימים. דוגמא לטענה המתקיימת באופן ריק היא זו

לדוגמא: "כל מספר ראשוני המתחלק ב-6 מסתיים בספרה 9". מכיון שלא קיים מספר ראשוני שמתחלק ב-6, הטענה נכונה באופן ריק.

נכונותו הפורמלית של השימוש ב"באופן ריק" נובעת מתכונתו של קשר הגרירה בלוגיקה. קשר הגרירה <math>A\to B</math> , שפירושו "אם A אז B" מקבל ערך "שקר" אך ורק כאשר A אמת ואילו B הוא שקר. למשל, הטענה "אם אתמול היה יום שני אז היום יום רביעי" היא שקר אך ורק אם טענה A: "אתמול היה יום שני" היא אמת, אך טענה B, "היום יום רביעי" היא שקר. אם נאמר את הטענה ביום חמישי, למשל, היא תהיה נכונה, שכן אתמול לא היה יום שני.

לעיתיםלעתים קרובות נדרש לבצע היפוך ניסוח לטענה, למשל כאשר רוצים להפריך אותה (להוכיח שאינה נכונה). לסטודנט הלא -מנוסה עשוייהעשויה להיות לעיתיםלעתים קרובות בעייהבעיה בהיפוך נכון של טענות, דבר שנראה קל. הכללים הבאים חייבים להישמר על -מנת להפוך טענה בצורה נכונה:

*יש להחליף בין המילים "לכל" ו"קיים" (ולהפך). לדוגמא: "'''לכל''' מספר טבעי <math>n</math> מתקיים..." יהפוך ל: "'''קיים''' מספר טבעי <math>n</math> כך שלא מתקיים...".