מבוא למתמטיקה אוניברסיטאית/מבוא לקבוצות: הבדלים בין גרסאות בדף

'''קבוצה''' הינההנה אוסף של איבריםאברים. ב[[תורת הקבוצות]], "איבריםאברים" יכולים להיות מכל סוג שהוא - סוסים, מרצפות, אטבים, שתילים, עגבניות, חייזרים ועוד ועוד כיד בדימיוןבדמיון הטובה עלינו. בקורס זה, "קבוצה" תהיה עבורינועבורנו אוסף של מספרים, ומספרים בלבד.

קבוצה תסומן תמיד באות לטינית גדולה, ואיבריהואבריה יירשמו בתוך סוגריים מסולסלות {}. יש לציין כי סימון קבוצה שקול להגדרתה (כלומר, אם נרצה להגדיר קבוצה מסויימתמסוימת, מספיק לרשום או לסמן אותה באחת מהדרכים שנראה מיד) ישנן כמה דרכים בהן ניתן לכתוב את איבריאברי הקבוצה בתוך הסוגריים. אנו נתבונן בשלוש הנפוצות:

*רשימה מפורשת של כל האיבריםהאברים שבה, מופרדים באמצאותבאמצעות פסיקים. דוגמהדוגמא: נתונה הקבוצה <math>\ A </math>, המכילה את האיבריםהאברים הבאים: <math>\ 3, 4, 5, 7 </math> . אזי נוכל לכתוב את <math>\ A </math> באופן הבא:

:<math>\ A=\begin{Bmatrix} 3,4,5,7 \end{Bmatrix}</math>

*איפיון של איבריאברי הקבוצה: במקרה זה קבוצה זו מכילה את ''כל'' האיבריםהאברים בעולם בעלי איפיון זה. דוגמה: הקבוצה <math>\ B </math> מכילה את כל המספרים הראשונים הקטנים מ- <math>\ 17 </math> . נסמן <math>\ P </math> = כל המספרים הראשוניים, ואז נרשום:

:<math>\ B=\begin{Bmatrix} p \in P | p<17\end{Bmatrix}</math>

**הביטוי <math>\ p \in P</math> פירושו, כזכור, שהאיברשהאבר <math>\ p </math> שייך לקבוצה <math>\ P </math> .

**הביטוי <math>\ |</math> פירושו "כך ש" ולפעמים נכתוב במקומו נקודתיים

**הביטוי <math>\ p<17</math> הוא התנאי, אותו חייב לקיים ''כל איבראבר'' בקבוצה <math>\ B </math> ; במקרה זה כל איבראבר בקבוצה חייב להיות קטן מ-17.

**כמו כן, ''כל'' מספר ראשוני הקטן מ-17 נמצא בקבוצה <math>\ B </math> . כלומר את התנאי שלנו מקיים כל איבראבר בקבוצה <math>\ B </math> , וכל איבראבר בעולם שמקיים את התנאי - נמצא בקבוצה <math>\ B </math> . (משפט זה חשוב מאוד - קראו אותו שוב והיו בטוחים שהבנתם את משמעותו!)

*רשימה מפורשת של איבריםאברים, בדרך מקוצרת. דוגמהדוגמא: נתונה הקבוצה <math>\ G </math> המכילה <math>n</math> איבריםאברים שונים <math>\ x_1, x_2, x_3, ...\ldots,x_n</math> (כלומר האיברים האברים <math>\ x </math> בעלי אינדקס 1, 2 וכוליוכו' עד האינדקס <math>\ n </math> . נוסיף ונציין כי איננו יודעים מהו ערכו של המספר <math>\ n </math> , ולכן לא נוכל לרשום במפורש את כל איבריאברי הקבוצה <math>\ G </math>) אזי, במקום לכתוב במפורש <math>\ G=\begin{Bmatrix} x_1, x_2, x_3, ...\ldots,x_n\end{Bmatrix}</math> נוכל לרשום את הקבוצה באופן הבא:

:<math>\ G=\begin{Bmatrix} x_i x_k\end{Bmatrix}{}_{ik=1}^n</math>

סימונה של קבוצת המספרים הטבעיים הוא <math>\mathbb{N}</math> (מלשון Natural), והיא מכילה את כל המספרים השלמים האי -שליליים, כלומר את המספרים: <math>\ 1, 2, 3, 4 </math> וכן הלאה. מספרים אלה נקראים "טבעיים" משום שעצמים שלמים אי-שליליים מצויים בטבע בשפע - עץ אחד, סוס אחד וכוליוכו'.

*ישנה אסכולה הכוללת גם את המספר אפס <math>\ 0 </math> במספרים הטבעיים. אנחנו, כאמור, נכלול בקבוצה זו את המספרים החיוביים בלבד.

*בסימוני תורת הקבוצות שלמדנו למעלה, נוכל לכתוב את הקבוצה <math>\mathbb{N}</math> באופן הבא:

:<math>\mathbb{N}=\begin{Bmatrix}1,2,3...,\ldots\end{Bmatrix}</math>

סימונה של קבוצת המספרים השלמים הוא <math>\mathbb{Z}</math> (מלשון Zahl - מספר בגרמנית, או Zählend שפירושו בגרמנית ספִירה), והיא מכילה את כל המספרים השלמים, כלומר: את <math>\ 0,1, 2, 3, 4</math> וכוליוכו', אבל גם את <math>\ -1, -2, -3, -4 </math> (וכולי)וכו'. בסימוני תורת הקבוצות שלמדנו למעלה, נוכל לרשום את הקבוצה <math>\mathbb{Z}</math> באופן הבא:

:<math>\mathbb{Z}=\begin{Bmatrix}\cdots -3,-2,-1,0,1\pm1,2\pm2,3\cdotspm3\ldots\end{Bmatrix}</math>

*מאוחר יותר, כשנלמד סימן נוסף, נכיר דרך נוספת בה נוכל לרשום את <math>\mathbb{Z}</math> .

סימונה של קבוצת המספרים הרציונליים הוא <math>\mathbb{Q}</math> (מלשון Quotient - מנה), והיא מכילה את כל השברים מהצורה <math>\frac{p}{q}</math> , כאשר <math>\ p </math> ו- <math>\ ,q </math> הינםהנם מספרים שלמים (כלומר מספרים השייכים לקבוצה <math>\mathbb{Z}</math> ) ו- <math>\ q </math> שונה מ- <math>\ 0 </math> . בסימוני תורת הקבוצות, נוכל לכתוב את הקבוצה <math>\mathbb{Q}</math> באופן הבא:

<math>\mathbb{Q}=\beginleft\{Bmatrix} \frac{p}{q} \bigg| p,q \in \mathbb{Z}, q \ne 0ne0\right\end{Bmatrix}</math>

*במקרה זה, כפי שנאמר למעלה, המספרים <math>\ p </math> ו- <math>\ ,q </math> צריכים למלא שני תנאים: ''גם'' להיות איבריםאברים בקבוצה <math>\mathbb{Z}</math> , ו''גם'' <math>\ q </math> צריך להיות שונה מאפסמ-0. מאוחר יותר, נכיר את הכמת "וגם". כרגע נסתפק בפסיק בין התנאים.

*שמה הלטיני של הקבוצה - Quotient - נובע מהעובדה שכל איבראבר בקבוצה (כלומר, כל מספר בה) הוא תוצאת חילוק, היינו מנה.

סימונה של קבוצת המספרים הממשיים הוא <math>\mathbb{R}</math> (מלשון Real). קשה להגדיר קבוצה זו בצורה פשוטה, אך ניתן לחשוב עליה אינטואיטיבית כקבוצת כל המספרים שנמצאים על הקו הישר שעליו נמצאים כל המספרים השלמים. מאוחר יותר, נראה שהמספרים הממשיים הם למעשה גבולות של כל הסדרות המתכנסות האפשריות שאבריהן הם מספרים רציונליים, מה שנקרא "סדרות קושי". ישנה דרך נוספת להגדיר את המספרים הממשיים, זאת באמצעות עצמים מתמטיים אחרים הנקראים "חתכי דדקינד" ויוצגו בהמשך. כרגע, נקרא להם פשוט "כל המספרים".

סימונה של קבוצת המספרים המרוכבים (מדומים) הוא <math>\mathbb{C}</math> (מלשון ComplexedComplex), ולצורך הגדרתה עלינו להגדיר "מספר" חדש: נסמן: <math>\ i=\sqrt{-1}</math> , ואז נוכל לכתוב את הקבוצה <math>\mathbb{C}</math> באופן הבא:

:<math>\mathbb{C}=\beginBig\{Bmatrix} \alpha a+ bi\beta i Big| \alpha a, \beta b\in \mathbb{R} \end{BmatrixBig\}</math>

*במילים: הקבוצה <math>\C</math> מכילה את כל המספרים מהצורה <math>a+bi</math> , כאשר <math>a,b</math> הנם מספרים ממשיים, כלומר מספרים השייכים לקבוצה <math>\R</math> .
*שמה הלטיני של הקבוצה - ComplexedComplex - כמו גם כינוייהכינויה "קבוצת המרוכבים", נובע מכך שאיברשאבר כללי בה <u>מורכב</u> משני איבריםאברים: אחד שמכילהמכיל את <math>\ i </math> , ואחד שלא מכיל את <math>\ i </math> . השם "מדומים" מגיע מהעובדה שהמספר <math>\sqrt{-1}</math> הוא מספר שאינו קיים במציאות, אלא מספר שאנו נעזרים בו לצורך חישובים בלבד. בקורס זה, לא נתעסק עם מספרים מדומים כלל.

סימונה של הקבוצה הריקה הוא <math>\emptyvarnothing</math> , וכשמה כן היא - ריקה, כלומר אינה מכילה אף איבראבר. למעשה, נוכל לומר שמתקיים: <math>\forall x, x \not\in \emptyvarnothing</math> . כלומר: לכל איבר <math>\ x </math> שהוא, <math>\ x </math> אינו שייך לקבוצה הריקה. בהמשך הקורס נלמד להבין את חשיבותה של קבוצה זו (וכמובן, גם בקורס תורת הקבוצות).

עבור הקבוצה <math> \mathbb{R} </math> מגדירים לפעמים את תת-הקבוצה <math> \mathbb{R}^+ </math> , המכילה את כל המספרים החיוביים ב- <math> \mathbb{R} </math> . כלומר: <math>\mathbb{R}^+ = \leftbig\{ x\in\mathbb{R}|x > 0 \rightbig\}</math>.