מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/אינדוקציה מתמטית/אינדוקציה על סכומים: הבדלים בין גרסאות בדף

תוכן שנמחק תוכן שנוסף
אין תקציר עריכה
אין תקציר עריכה
שורה 2:
בהוכחות מסוג זה, צריך להראות שסכום של סדרה מסויימת שווה לביטוי כלשהו.
===דוגמא===
{{טענה|תוכן=לכל <math>n</math> , סכומם של כל המספרים הטבעיים עד <math>n</math> נתון באמצעות הנוסחא: <math>\frac{n(n+1)}{2}</math>}}
{{טענה|תוכן=
לכל <math>n</math> , סכומם של כל המספרים הטבעיים עד <math>n</math> נתון באמצעות הנוסחא: <math>\frac{n(n+1)}{2}</math>}}
כלומר, מדובר על סכום המספרים הטבעיים מ- <math>1</math> עד <math>n</math> .
מספרים על המתמטיקאי הדגול [[w:קרל פרידריך גאוס|גאוס]] שעוד בילדותו מצא נוסחא זו בעודו בבית הספר, אך לא כאן המקום לדון בכך. פרטים על נוסחא זו תוכלו למצוא במאמר "[[w:קרל פרידריך גאוס|גאוס]]" בויקיפדיה.
 
{{הוכחה|
עלינו להוכיח שמתקיים: <math>1+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}</math> .
<math>1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}</math> .
*שלב א: בסיס האינדוקציה: נבדוק את נכונות הטענה עבור <math>n=1</math> :
:<math>1=\frac{1(1+1)}{2}=\frac{2}{2}=1</math> , כלומר קיבלנו <math>1=1</math> לכן הטענה נכונה עבור <math>n=1</math> .
*שלב ב: הנחת האינדוקציה: נניח את נכונות הטענה עבור <math>n=k</math> , כלומר נניח שמתקיים
:<math>1+\cdots+k=\frac{k(k+1)}{2}</math> עד ל- <math>k</math> מסוים.
שורה 18 ⟵ 16:
כעת: ניעזר בהנחת האינדוקציה, ונכתוב: <math>1+\cdots+k+(k+1)=\frac{k(k+1)}{2}+(k+1)</math> , כלומר למעשה עלינו להוכיח שמתקיים:
:<math>\ \star\ \frac{k(k+1)}{2}+(k+1)=\frac{(k+1)(k+2)}{2}</math>
אם <math>\star</math> , הרי שמתקיים גם: <math>\ \star\star\ k(k+1)+2(k+1)=(k+1)(k+2)</math>
 
וכן נשים לב שמתקיים: <math>(k+1)(k+2)=k(k+1)+2(k+1)</math> , לכן מ- <math>\ \star\star</math> נקבל: <math>k(k+1)+2(k+1)=k(k+1)+2(k+1)</math> .
וקיבלנו שוויון.
 
מכאן, על -פי משפט ההוכחה באינדוקציה, הטענה נכונה לכל מספר טבעי}}
 
הוכחנו טענה בסיסית שתעזור לנו בהוכחות יותר מורכבות, שבהן נוכל להתמש בה בלי לנמק איך הגענו אליה.
שורה 33 ⟵ 31:
 
{{תוכן|
| הפרק הקודם=[[מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/אינדוקציה מתמטית/אינדוקציה של טענה כללית|אינדוקציה של טענה כללית]]
| הפרק הנוכחי=אינדוקציה על סכומים
| תרגילים=[[/תרגילים/|תרגילים]]
| הפרק הבא=[[מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/אינדוקציה מתמטית/אינדוקציה על אי שיויונות-שוויונות|אינדוקציה על אי שיויונות-שוויונות]]
}}
[[קטגוריה:אלגברה תיכונית]]