חשבון אינפיניטסימלי/אינטגרציה/אינטגרל מוכלל: הבדלים בין גרסאות בדף
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
אין תקציר עריכה |
אין תקציר עריכה |
||
שורה 48:
*אם האינטגרל <math>\int\limits_a^\infty f(x)dx</math> מתכנס, אזי לכל <math>b>a</math> מתקיים <math>\int\limits_a^\infty f(x)dx=\int\limits_a^b f(x)dx+\int\limits_b^\infty f(x)dx</math>
*תהי <math>f:\R\to\R</math> פונקציה אינטגרבילית בכל קטע סגור. אם קיים <math>a</math> כך ש- <math>\int\limits_a^\infty f(x)dx</math> ו- <math>\int\limits_{-\infty}^a f(x)dx</math> מתכנסות, אזי <math>f</math> אינטגרבילית ב- <math>\R</math> ומתקיים <math>\int\limits_{-\infty}^\infty f(x)dx=\int\limits_{-\infty}^a f(x)dx+\int\limits_a^\infty f(x)dx</math>
==אינטגרלים מוכללים של פונקציות לא-חסומות==
תהי <math>f:[a,b)\to\R</math> פונקציה בלתי-חסומה.
נגדיר: אם מתקיים <math>f</math> אינטגרבילית בקטע הסגור <math>[a,t]\subset[a,b)</math> , אזי <math>\int\limits_a^b f(x)dx=\lim_{t\to b^-}\int\limits_a^t f(x)dx</math> בתנאי שהגבול קיים.
עבור המקרה <math>(a,b]</math> נגדיר <math>\int\limits_a^b f(x)dx=\lim_{t\to a^+}\int\limits_t^b f(x)dx</math> בתנאי שהגבול קיים.
אם קיימת נקודה <math>c\in[a,b]</math> בה <math>f</math> לא חסומה, אזי <math>\int\limits_a^b f(x)dx=\lim_{s\to c^-}\int\limits_a^s f(x)dx+\lim_{t\to c^+}\int\limits_t^b f(x)dx</math> בתנאי שגבולות האינטגרלים בצד ימין קיימים.
===דוגמאות===
;דוגמא 1
חשב את האינטגרל של הפונקציה <math>f(x)=\frac{1}{\sqrt x}</math> בקטע <math>(0,1]</math> .
<math>\int\limits_0^1\frac{dx}{\sqrt x}=\lim_{t\to0^+}\int\limits_t^1\frac{dx}{\sqrt x}=\lim_{t\to0^+}2\sqrt x\Bigg|_t^1=\lim_{t\to0^+}\Big[2\sqrt1-2\sqrt{t}\Big]=2</math>
;דוגמא 2
[[קובץ:Improper integral unbounded internally.svg|שמאל|ממוזער|250px|]]
חשב את האינטגרל של הפונקציה <math>f(x)=\frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}</math> בקטע <math>[-1,1]</math> .
הפונקציה לא-חסומה בקטע בסביבת <math>x=0</math> , כלומר עלינו לחשב את האינטגרל בקטע <math>[1,0)\cup(0,1]</math> .
<math>\int\limits_{-1}^1\frac{dx}{\sqrt[3]{x^2}}=\lim_{s\to0^-}\int\limits_{-1}^s\frac{dx}{\sqrt[3]{x^2}}+\lim_{t\to0^+}\int\limits_t^1\frac{dx}{\sqrt[3]{x^2}}=\lim_{s\to0^-}3\sqrt[3]{x}\Bigg|_{-1}^s+\lim_{t\to0^+}3\sqrt[3]{x}\Bigg|_t^1=\lim_{s\to0^-}\Big[3\sqrt[3]{s}-3\sqrt[3]{-1}\Big]+\lim_{t\to0^+}\Big[3\sqrt[3]{1}-3\sqrt[3]{t}\Big]=3+3=6</math>
| |||