ויקיספר

חשבון אינפיניטסימלי/טורים: הבדלים בין גרסאות בדף

עיון אינטראקטיבי בהיסטוריה
→ העריכה הקודמתהעריכה הבאה ←
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
חזותיקוד ויקי
מאין תקציר עריכה
אין תקציר עריכה
שורה 1:
{{חשבון אינפיניטסימלי|פרק=טורים}}
בפרקים הקודמים דנו בסדרות ובגבולות שלהם. כעת, היינו רוצים לדבר על מושג חשוב לא פחות, על '''טור של סדרה''' ועל גבולו.
 
==מהו טור?==
כולנו מכירים מהבי"ס היסודי את הפעולה האריתמטית של חיבור שני מספרים. באופן טבעי, הכללנו את הפעולה הזו לחיבור של מספר סופי מסוייםמסוים של מספרים ממשיים ובשלב זה של חיינו, כולנו מסוגלים לבצע חישובים מורכבים כמו 1+3+7+1 או 1+2-5+12.67+7 (שימו לב שחיסור הוא בעצם חיבור של מספר שלילי). אבל מה אם יש בידינו מספר אינסופי של מחוברים וברצוננו לדעת מה סכומם? במקרה זה עלינו לפנות לכלים שלמדנו מתורת הגבולות של סדרות כדי לתת משמעות לביטוי "סכום אינסופי".
 
==הגדרת טור של סדרה==
שורה 15 ⟵ 16:
<math>S_n=a_1+a_2+\dots+a_n</math>
 
כלומר, הסדרה <math>\{S_n\}_n^\infty</math> "צוברת" את איבריאברי הסדרה <math>\{a_n\}_n^\infty</math>.
 
{{הגדרה|מספר=1|שם=סדרת הסכומים החלקיים|
תוכן=בהינתן סדרה <math>\{a_n\}_n^\infty</math> הסדרה <math>\{S_n\}_n^\infty</math> המתאימה לה לפי ההגדרה לעיל נקראת '''סדרת הסכומים החלקיים של <math>\{a_n\}_n^\infty</math>'''}}▼
תוכן=
▲בהינתן סדרה <math>\{a_n\}_n^\infty</math> הסדרה <math>\{S_n\}_n^\infty</math> המתאימה לה לפי ההגדרה לעיל נקראת '''סדרת הסכומים החלקיים של <math>\{a_n\}_n^\infty</math>'''}}
 
{{הגדרה|מספר=2|שם=טור של סדרה|תוכן=הטור של הסדרה <math>\{a_n\}_n^\infty</math> היא סדרת הסכומים החלקיים כפי שהוגדרה לעיל והוא יסומן ב- <math>\sum a_n</math>}}
תוכן=הטור של הסדרה <math>\{a_n\}_n^\infty</math> היא סדרת הסכומים החלקיים כפי שהוגדרה לעיל והוא יסומן ב- <math>\sum a_n</math>}}
 
את הטור המתאים לסדרה <math>\{a_n\}_{n=1}^\infty </math> נהוג לסמן ב- <math>\sum_{n=1}^\infty a_n</math> .
 
יש לציין גם שאין שום ייחוד דווקא במספר 1, וייתכן שיהיו טורים שהאינדקס הראשון שלהם הוא כל מספר טבעי אחר, כך לדוגמהלדוגמא, גם הטור: <math>\sum_{n=119}^\infty a_n</math> הוא טור כשר לכל הדעות.
 
לאחר דיוננו בהגדרת הטור ובסימונו, נביא את ההגדרה המרכזית של פרק זה:
{{הגדרה|מספר=2|שם=גבול של טור|
תוכן= הטור <math>\sum_{n=1}^\infty a_n</math> יקרא מתכנס אםםאם"ם הסדרה <math>\{S_n\}_{n=1}^\infty</math> כפי שהוגדרה לעיל, היא סדרה המתכנסת למספר ממשי, גבולה יקרא "הגבול של הטור" או "ערכו של הטור" ויסומן ב- <math>\sum_{n=1}^\infty a_n</math> . וכן, אם הסדרה מתבדרת, נאמר שהטור מתבדר.▼
תוכן= הטור
 
<math>\sum_{n=1}^\infty a_n</math>
באופן אנאלוגי לסדרות, טור יקרא מתכנס במובן הרחב לפלוס או מינוס אינסוף אםםאם"ם <math>\{S_n\}_n^\infty</math> מתכנסת במובן הרחב לפלוס או מינוס אינסוף, בהתאמה.}}▼
▲יקרא מתכנס אםם הסדרה <math>\{S_n\}_{n=1}^\infty</math> כפי שהוגדרה לעיל, היא סדרה המתכנסת למספר ממשי, גבולה יקרא "הגבול של הטור" או "ערכו של הטור" ויסומן ב<math>\sum_{n=1}^\infty a_n</math>. וכן, אם הסדרה מתבדרת, נאמר שהטור מתבדר.
 
▲באופן אנאלוגי לסדרות, טור יקרא מתכנס במובן הרחב לפלוס או מינוס אינסוף אםם
<math>\{S_n\}_n^\infty</math> מתכנסת במובן הרחב לפלוס או מינוס אינסוף, בהתאמה.}}
{{שימו לב|הסימון <math>\sum_{n=1}^\infty a_n</math> משמש גם לסימון הסדרה <math>\{S_n\}_{n=1}^\infty</math> וגם לסימון הגבול של הטור, אין להתבלבל בין השניים ויש לקחת בחשבון שהרישום של הסדרה בצורה הנ"ל לא מבטיח בהכרח את קיומו של גבול הטור.}}
 
=== דוגמאות ===
{{דוגמה|
מספר=1|שם=|תוכן=נסתכל על הטור הבא <math>\sum_{n=1}^\infty n</math> נרצה לדעת האם טור זה הוא טור מתכנס, נסתכל על סדרת הסכומים החלקיים:▼
מספר=1|
שם=|
▲תוכן=נסתכל על הטור הבא <math>\sum_{n=1}^\infty n</math> נרצה לדעת האם טור זה הוא טור מתכנס, נסתכל על סדרת הסכומים החלקיים:
 
<math>S_n=1+2+3+\dotscdots+n = \frac{n(n+1)}{2}</math>
 
ידוע לנו מהפרקים הקודמים שהסדרה <math>\{S_n\}_n^\infty</math> היא סדרה מתבדרת ולכן גם הטור מתבדר}}
 
עכשיו, אחרי שאנחנו יודעים מהו גבול של טור, ניתן ללמוד על אופי סדרה הנדסית יורדת (הערך המוחלט שלה בכל אופן). כאשר מדברים על סדרה הנדסית יורדת מדובר על סדרה הנדסית שבה מנת הסדרה נמצאת בטווח שבין מינוס אחד לאחד (לא כולל), כלומר: <math>-1<q<1</math>. מספר דוגמאות:
כאשר מדברים על סדרה הנדסית יורדת מדובר על סדרה הנדסית שבה מנת הסדרה נמצאת בטווח שבין מינוס אחד לאחד (לא כולל), כלומר: <math>-1 < q < 1</math>. מספר דוגמאות:
 
<math>27, 9, 3, 1 ,\dotsldots</math> שבה האיבר הראשון הוא <math>27</math> והמנה היא <math>\frac{1}{3}</math> .
 
<math>1, -0.5, 0.25, -0.125 ,\dotsldots</math> שבה האיבר הראשון הוא <math>1</math> והמנה היא <math>-0.5</math> .
 
ניתן לראות בקלות כי איבריאברי הסדרה שואפים ל-0 ככל ש- <math>n</math> גדל. דבר זה גורם לכך שלסכום הסדרה ההנדסית נוצר גבול כלשהו אותו לא יוכל לעבור, מספר אשר אליו הסכום ישאף ויתקרב. ניתן לראות בקלות כי <math>n</math> גדול יותר, אך עם זאת, לא יגיע אליו לעולם, אלא באיבר האינסוף (שהוא בעצם 0). בכדי לקבל נוסחהנוסחא לסכום סדרה הנדסית שכזו, פשוט מאוד "נציב" אינסוף במקום <math>n</math> בנוסחהבנוסחא שקיבלנו קודם. קל לראות, שכאשר <math>|q| < 1</math> ,{{כ}} <math>q^n</math> ילך ויקטן עד אינסוף, עד שבאיברשבאבר האינסוף הוא בעצם יגיע ל-0. אם כן, פשוט מאוד ניתן למחוק את התבנית הזו מהנוסחהמהנוסחא שקיבלנו:
 
<math>S=\frac{-a_1}{q-1}</math> , נפשט על-ידי הוצאת המינוס והחלפת המיקום במכנה, ונקבל את סכומה של הסדרה ההנדסית שבה ערכה המוחלט של מנת הסדרה הוא שבר האינסופית:
 
* <math>S=\frac{a_1}{1-q}</math> .
אוחזר מתוך "https://he.wikibooks.org/wiki/חשבון_אינפיניטסימלי/טורים"