הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/גבולות, סדרות ורציפות/גבולות/גבול של מנה: הבדלים בין גרסאות בדף

'''משפט''': אם <math>\lim_{x\to a}f(x)=L</math>\ ו-,\ <math>\lim_{x\to a}g(x)=M\ne 0</math> , אז <math>\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim\limits_{x\to a}f(x)}{\lim\limits_{x\to a}g(x)}=\frac{L}{M}</math> .

'';הוכחה'':{{ש}}

ראשית נראה כי <math>\lim_{x\to a}\frac1{g(x)}=\frac1{M}</math> (אם נראה זאת, שימוש ב[[הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/גבולות, סדרות ורציפות/גבולות/גבול של מכפלה|חוק למכפלת גבולות]] יסיים את העבודה). כדי לעשות זאת, עלינו להראות כי בהינתן <math>\varepsilon>0</math> קיים <math>\delta>0</math> מתאים כך שלכל <math>0<|x-a|<\delta</math> מתקיים <math>\left|\frac{1}{g(x)}-\frac1{M}\right|<\varepsilon</math> . על-ידי מכנה משותף, נקבל:

<math>\left|\frac1frac{1}{g(x)}-\frac1frac{1}{M}\right|=\left|\frac{M-g(x)}{M\cdot g(x)\cdot M}\right|=\frac{\biggBig|M-g(x)-M\biggBig|}{\biggBig|M\cdot g(x)\biggBig|}=\frac{cdot\biggBig|g(x)-M\bigg|}{\bigg|M\cdot g(x)\biggBig|}</math>

מכיון שנתון <math>\lim_{x\to a}g(x)=M</math> ו- <math>M\ne 0</math> , קיים מספר <math>\delta_1>0</math> כך שאםשלכל <math>0<|x-a|<\delta_1</math> אזמתקיים <math>\biggBig|g(x)-M\biggBig|<\frac{|M|}{2}</math> . מכאן: