חשבון אינפיניטסימלי/גבולות/הוכחות: הבדלים בין גרסאות בדף

תוכן שנמחק תוכן שנוסף
אין תקציר עריכה
שורה 6:
===חוקים בסיסיים===
====הגבול של קבוע====
 
אמרנו כי במידה ו- <math>c</math> הוא מספר קבוע, אז גבול הקבוע שווה לקבוע, כלומר:
{{משפט|שם = הגבול של פונקציה קבועה|תוכן= <math>\lim_{x\to a}c=c</math>}}
תוכן= <math>\lim_{x\to a}c=c</math>
}}
זהו חוק פשוט אך חשוב וקל להוכיחו.
;הוכחה
''הוכחה'': יהי <math>\varepsilon>0</math> . נראה שקיים <math>\delta>0</math> מתאים כך שאםשלכל <math>0 <|x-a|<\delta</math> ,מתקיים אזי<math>\Big|f(x)-c\Big|<\varepsilon</math> .
 
''הוכחה'': יהי <math>\varepsilon>0</math> . נראה שקיים <math>\delta>0</math> מתאים כך שאם <math>0<|x-a|<\delta</math> , אזי <math>\Big|f(x)-c\Big|<\varepsilon</math> . אבל כאן הפונקציה היא הקבוע <math>c</math> , לכן <math>\Big|f(x)-c\Big|=|c-c|=0<\varepsilon</math> שכן <math>\varepsilon</math> מראש גדול מ- <math>0</math> . לכן, החוק מתקיים תמיד, לא משנה איזו <math>\delta</math> נבחר. מ.ש.ל.<math>\blacksquare</math>
 
====הגבול של פונ'פונקציית הזהות====
קבענו כי הגבול של פונקציתפונקציית הזהות <math>I(x)=x</math> שווה ל- <math>a</math>, כאשר <math>a</math> הוא המספר אליו <math>x</math> שואף, כלומר:
{{משפט|שם = הגבול של פונ' הזהות|תוכן= <math>\lim_{x\to a}x=a</math>}}
;הוכחה
תוכן= <math>\lim_{x\to a}x=a</math>
#נתוןיהי <math>\lim_{x\to a}f(x)=L_1varepsilon>0</math> ,. כלומרנראה קייםשקיים <math>\delta_1delta>0</math> מתאים כך שאםשלכל <math>0<|x-a|<\delta_1delta</math> , אזמתקיים <math>\bigg|fI(x)-L_1\bigga|<\frac{\varepsilon}{2}</math> .{{ש}}{{ש}}
}}
 
''הוכחה'': יהי <math>\varepsilon>0</math> . נראה שקיים <math>\delta>0</math> מתאים כך שאם <math>0<|x-a|<\delta</math> , אזי <math>|I(x)-a|<\varepsilon</math>. אבל כאן הפונקציה היא פונקציתפונקציית הזהות <math>I(x)=x</math> , לכן <math>|I(x)-a|=|x-a|</math> . נבחר <math>\delta=\varepsilon</math> ואז <math>|x-a|=|I(x)-a|<\delta=\varepsilon</math> . מ.ש.ל.<math>\blacksquare</math>
 
===אריתמטיקה של גבולות===
{{משפט|שם=אריתמטיקה של גבולות סופיים|
תוכן=
נניח <math>f(x),g(x)</math> פונקציות המוגדרות בסביבת נקודה <math>a</math> ובעלות גבולות סופיים <math>\lim_{x\to a}f(x)=L_1</math>L\ ו-,\ <math>\lim_{x\to a}g(x)=L_2M</math> . אז:
*<math>\lim_{x\to a}\Big[f(x)+\pm g(x)\Big]=L_1+L_2L\pm M</math> .
*לכל קבוע <math>c</math> :{{כ}} <math>\lim_{x\to a}\Big[c\cdot f(x)-g(x)\Big]=L_1-L_2c\cdot L</math> .
*לכל קבוע <math>c</math> :{{כ}} <math>\lim_{x\to a}\Big[cf(x)\cdot fg(x)\Big]=c\lim_{x\to a}f(x)\cdot\lim_{x\to a}g(x)=L\cdot L_1M</math> .
*אם <math>M\ne0</math> אז: <math>\lim_{x \to a}\Big[frac{f(x)}{g(x)}=\cdotfrac{\lim\limits_{x\to ga}f(x)}{\Big]=L_1lim\cdotlimits_{x\to L_2a}g(x)}=\frac{L}{M}</math> .
*אם <math>L_2\ne 0</math> אז: <math>\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{L_1}{L_2}</math> .
}}
נוכיח את המשפט הזה לחלקיו:
 
====סכום והפרש גבולות====
אמרנו כי במידה והגבולות <math>\lim_{x\to a}f(x)</math>=L\ ו-,\ <math>\lim_{x\to a}g(x)=M</math> קיימים וסופיים אז גבול הסכום וההפרש שלהם הוא סכום והפרש הגבולות, כלומר, <math>\lim_{x\to a}\Big[f(x)+g(x)\Big]=\lim_{x\to a}f(x)+\lim_{x\to a}g(x)=L+M</math> .{{ש}}{{ש}}
אם נכתוב <math>\lim_{x\to a}f(x)=L_1</math> ו- <math>\lim_{x\to a}g(x)=L_2</math> , נראה שעלינו להוכיח כי <math>\lim_{x\to a}\Big[f(x)+g(x)\Big]=L_1+L_2</math> .{{ש}}{{ש}}
 
;הוכחה
''הוכחה'': יהי <math>\varepsilon>0</math> . נראה שקיים <math>\delta>0</math> מתאים כך שאם <math>0 <|x-a|<\delta</math> , אזי
יהי <math>\Biggvarepsilon>0</math> . נראה שקיים <math>\delta>0</math> מתאים כך שלכל <math>0 <|x-a|<\Big(delta</math> מתקיים <math>\bigg|f(x)+\pm g(x)\Big)-(L_1+L_2L\pm M)\Biggbigg|<\varepsilon</math> . נסדר מעט אי-שוויון זה ונקבל:{{ש}}{{ש}}
<center><math>{\Biggbigg|\Big(f(x)+\pm g(x)\Big)-(L_1+L_2L\pm M)\Biggbigg|=\Biggbigg|\Big(f(x)-L_1L\Big)+\Big(pm g(x)-L_2\Big)mp M\Biggbigg|\ {\color{red}\le}\ \biggBig|f(x)-L_1L\biggBig|+\biggBig|g(x)-L_2M\biggBig|}</math></center>
<div style="text-align: center;">
<math>{\Bigg|\Big(f(x)+g(x)\Big)-(L_1+L_2)\Bigg|=\Bigg|\Big(f(x)-L_1\Big)+\Big(g(x)-L_2\Big)\Bigg|\ {\color{red}\le}\ \bigg|f(x)-L_1\bigg|+\bigg|g(x)-L_2\bigg|}</math>
</div>{{ש}}{{ש}}
במעבר השני נעשה שימוש באי-שוויון המשולש ( <math>a,b\in\R</math> אז <math>|a+b|\le |a|+|b|</math> ).{{ש}}
אם כל אחד משני הביטויים שקיבלנו בסוף יהיה קטן מ- <math>\frac{\varepsilon}{2}</math> , אז נקבל <math>\bigg|\Big(f(x)+g(x)\Big)-(L+M)\bigg|<\varepsilon</math> כדרוש.{{ש}}
מכיון שנתונים לנו הגבולות של <math>f(x)</math> ו- <math>g(x)</math> , אין זו בעיה להגבילם.{{ש}}{{ש}}
#נתון <math>\lim_{x\to a}f(x)=L_1</math> , כלומר קיים <math>\delta_1</math> מתאים כך שאם <math>0<|x-a|<\delta_1</math> , אז <math>\bigg|f(x)-L_1\bigg|<\frac{\varepsilon}{2}</math> .{{ש}}{{ש}}
#נתון <math>\lim_{x\to a}g(x)=L_2</math> , כלומר קיים <math>\delta_2</math> מתאים כך שאם <math>0<|x-a|<\delta_2</math> , אז <math>\bigg|g(x)-L_2\bigg|<\frac{\varepsilon}{2}</math> .{{ש}}{{ש}}
נבחר <math>\delta=\min\{\delta_1,\delta_2\}</math> ואז אם <math>0<|x-a|<\delta</math> , אז מתקיים <math>0<|x-a|<\delta_1</math> וגם <math>0<|x-a|<\delta_2</math> -
 
במעבר השני נעשה שימוש באי-שוויון המשולש ( <math>a,b\in\R</math> אז <math>|a+b|\le |a|+|b|</math> ).{{ש}}
כך שמתקיים <math>\bigg|f(x)-L_1\bigg|<\frac{\varepsilon}{2}</math> וגם <math>\bigg|g(x)-L_2\bigg|<\frac{\varepsilon}{2}</math> .{{ש}}{{ש}}
לכן מתקיים:
<div style="text-align: center;">
<math>\Bigg|\Big[f(x)+g(x)\Big]-(L_2+L_2)\Bigg|\ {\color{red}\le}\ \bigg|f(x)-L\bigg|+\bigg|g(x)-L_2\bigg|\ {\color{red}<}\ \frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon</math>
</div> .
 
אם כל אחד משני הביטויים שקיבלנו בסוף יהיה קטן מ- <math>\frac{\varepsilon}{2}</math> , אז נקבל <math>\bigg|\Big(f(x)+g(x)\Big)-(L+M)\bigg|<\varepsilon</math> כדרוש.{{ש}}
מצאנו <math>\delta</math> מתאים. לפיכך, החוק מוכח לפי ההגדרה. מ.ש.ל. <math>\blacksquare</math>
 
מכיון שנתונים לנו הגבולות של <math>f(x)</math> ו- <math>g(x)</math> , אין זו בעיה להגבילם.{{ש}}{{ש}}
====מכפלת גבול בקבוע====
אמרנו כי כאשר יש גבול של פונקציה המוכפלת בקבוע, ניתן להוציא את הקבוע אל מחוץ לגבול. כלומר, <math>\lim_{x\to a}\Big[c\cdot f(x)\Big]=c\cdot\lim_{x\to a}f(x)</math> אם קיים הגבול <math>\lim_{x\to a}f(x)</math> .{{ש}}{{ש}}
אם נכתוב <math>\lim_{x\to a}f(x)=L</math> , החוק אומר כי <math>\lim_{x\to a}\Big[c\cdot f(x)\Big]=c\cdot L</math> .
 
''הוכחה'': יהי #<math>\varepsilon>0lim_{x\to a}f(x)=L</math> ., נראהכלומר שקייםקיים <math>\delta>0delta_1</math> מתאים כך שאםשלכל <math>0<|x-a|<\deltadelta_1</math>, אזימתקיים <math>\biggBig|c\cdot f(x)-c\cdot L\biggBig|<\frac{\varepsilon}{2}</math> . נסדר מעט את אי-השוויון ונקבל:{{ש}}
#נתון <math>\lim_{x\to a}g(x)=L_2M</math> , כלומר קיים <math>\delta_2</math> מתאים כך שאםשלכל <math>0<|x-a|<\delta_2</math> , אזמתקיים <math>\biggBig|g(x)-L_2M\biggBig|<\frac{\varepsilon}{2}</math> .{{ש}}{{ש}}
<div style="text-align: center;">
 
<math>\bigg|c\cdot f(x)-c\cdot L\bigg|=\bigg|c\Big(f(x)-L\Big)\bigg|=|c|\cdot\bigg|f(x)-L\bigg|</math>
נבחר <math>\delta=\min\{\delta_1,\delta_2\}</math> ואז, לפיכך אם <math>0<|x-a|<\delta</math> , אז מתקיים <math>0<|x-a|<\delta_1</math> וגם <math>0<|x-a|<\delta_2</math> כך שמתקיים <math>\bigg|f(x)-L_1\bigg|<\frac{\varepsilon}{2}</math> וגם <math>\bigg|g(x)-L_2\bigg|<\frac{\varepsilon}{2}</math> .
</div>{{ש}}
<center>
<math>\Biggbigg|\Big[f(x)+\pm g(x)\Big]-(L_2+L_2L\pm M)\Biggbigg|\ {\color{red}\le}\ \biggBig|f(x)-L\biggBig|+\biggBig|g(x)-L_2M\biggbig|\ {\color{red}<}\ \frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon</math>
</center>
 
מצאנו <math>\delta</math> מתאים. לפיכך, החוק מוכח לפי ההגדרה.הגדרת מ.ש.להגבול. <math>\blacksquare</math>
 
====מכפלת גבול בקבוע====
אםאמרנו נכתובכי אם <math>\lim_{x\to a}f(x)=L</math> קיים, החוקאזי אומרגבול כיהמכפלה בקבוע שווה למכפלת הקבוע בגבול הפונקציה, כלומר <math>\lim_{x\to a}\Big[c\cdot f(x)\Big]=c\cdot L</math> .
 
;הוכחה
כיון שנתון <math>\lim_{x\to a}f(x)=L</math> , קיים <math>\delta_1>0</math> כך שאם <math>0<|x-a|<\delta_1</math> אז <math>\Big|f(x)-L\Big|<\varepsilon_1</math> .{{ש}}
יהי <math>\varepsilon>0</math> .
לכל סביבה אפסילון יש סביבה דלתא המתאימה לה. למטרותינו בהוכחה זו, ניקח <math>\varepsilon_1=\frac{\varepsilon}{|c|}</math> (אפסילון הוא חיובי והביטוי במכנה הוא תחת ערך מוחלט) וקיים <math>\delta_1</math> שמתאים לו.{{ש}}
נבחר <math>\delta=\delta_1</math> ואז מכיון ש- <math>0<|x-a|<\delta</math> אז כמובן <math>0<|x-a|<\delta_1</math> . לפיכך, מתקיים <math>\bigg|f(x)-L\bigg|<\frac{\varepsilon }{|c|}</math> וכתוצאה מכך, נקבל:{{ש}}
<div style="text-align: center;">
<math>\bigg|c\cdot f(x)-c\cdot L\bigg|=|c|\cdot\bigg|f(x)-L\bigg|\ {\color{red}<}\ |c|\cdot\frac{\varepsilon}{|c|}=\varepsilon</math>
</div>{{ש}}
 
אם <math>c=0</math> הטענה מיידית: <math>\bigg|c0\cdot f(x)-c0\cdot L\bigg|=|c|\cdot\bigg|f(x)-L\bigg|0\ {\color{red}<}\ |c|\cdot\frac{\varepsilon}{|c|}=\varepsilon</math>
לפיכך, החוק מוכח לפי הגדרת הגבול. מ.ש.ל. <math>\blacksquare</math>
 
נבחראם <math>c\delta=\delta_1ne0</math> ואזנראה מכיון ש-שקיים <math>0<|x-a|<\delta>0</math> אזכך כמובןשלכל <math>0<|x-a|<\delta_1delta</math> . לפיכך, מתקיים <math>\bigg|c\cdot f(x)-c\cdot L\bigg|<\frac{\varepsilon }{|c|}</math> וכתוצאה מכך, נקבל:{{ש}}.
====הפרש גבולות====
החוק להפרש גבולות אומר כי אם <math>\lim_{x\to a}f(x)=L_1</math> ו- <math>\lim_{x\to a}g(x)=L_2</math> , אז <math>\lim_{x\to a}\Big[f(x)-g(x)\Big]=L_1-L_2</math> .
 
<center><math>\bigg|c\cdot f(x)-c\cdot L\bigg|=\bigg|c\Bigbig(f(x)-L\Bigbig)\bigg|=|c|\cdot\biggBig|f(x)-L\biggBig|</math></center>
במקום להוכיח באמצעות ההגדרה, אנחנו יכולים להשתמש בחוק לסכום גבולות והחוק למכפלה בקבוע ולקבל הוכחה פשוטה.
 
כיון שנתון <math>\lim_{x\to a}f(x)=L</math> , לכן קיים <math>\delta_1delta>0</math> כך שאםשלכל <math>0<|x-a|<\delta_1delta</math> אזמתקיים <math>\Big|f(x)-L\Big|<\varepsilon_1frac{\varepsilon}{|c|}</math> .{{ש}}
<div style="text-align: center;">
<center><math>{\lim_{xbigg|c\tocdot a}\Big[f(x)-g(x)c\Big]cdot L\bigg|=|c|\lim_{x\to a}cdot\Big[|f(x)+(-1)g(x)L\Big]=|\lim_ {x\to acolor{red}<}f(x)+\lim_{x\to a}|c|\Big[(-1)g(x)\Big]=cdot\lim_frac{x\to avarepsilon}f(x)-\lim_{x\to a|c|}g(x)=L_1-L_2}\varepsilon</math></center>
</div>
 
לפיכך, החוק מוכח לפי הגדרת הגבול. מ.ש.ל. <math>\blacksquare</math>
המעבר השני הוא שימוש בחוק לסכום גבולות. המעבר השלישי הוא שימוש בחוק למכפלה בקבוע (1- הועבר אל מחוץ לגבול). מ.ש.ל. <math>\blacksquare</math>
 
====מכפלת גבולות====