|
החוק אומר כי אם <math>\lim_{x\to a}f(x)=L_1</math> וכן <math>\lim_{x\to a}g(x)=L_2</math> , אזי <math>\lim_{x\to a}\Big[f(x)\cdot g(x)\Big]=\lim_{x\to a}f(x)\cdot\lim_{x\to a}g(x)=L_1\cdot L_2</math> .
;הוכחה
''הוכחה'': יהי <math>\varepsilon>0</math> . נראה שקיים <math>\delta>0</math> מתאים כך שאם <math>0<|x-a|<\delta</math> , אזי <math>\Biggbigg|f(x)\cdot g(x)-L_1L\cdot L_2M\Biggbigg|<\varepsilon</math> . מתקיים:
<center>
<math>{\ Biggbigg|f(x) \cdot g(x)- L_1L\cdot L_2M\ Biggbigg|=\Bigg|f(x) \cdot g(x)- L_1L\cdot g(x)+ L_1L\cdot g(x)- L_1L\cdot L_2M\Bigg|=\Bigg|g(x)\ Bigbigl(f(x)- L_1L\ Bigbigr)+ L_1L\ Bigbigl(g(x)- L_2M\ Bigbigr)\Bigg| }\ {\color{red}\le }}</math> ▼
<math>\ Biggbigg|g(x)\ Bigbigl(f(x)- L_1L\ Bigbigr)\bigg|+\ Biggbigg| L_1L\ Bigbigl(g(x)- L_2M\ Bigbigr)\ Biggbigg|=\Big|g(x)\Big|\cdot\ biggBig|f(x)- L_1L\ biggBig|+\Big| L_1L\Big|\cdot\ biggBig|g(x)- L_2M\ biggBig|</math> ▼אנחנו רוצים לקבל ביטוי שמכיל את <math>\bigg|f(x)-L_1\bigg|</math> ואת <math>\bigg|g(x)-L_2\bigg|</math> ולכן נעשה את הדבר הבא:
</center>
<math>\lim_{x\to a}g(x)=M</math> , לכן היא חסומה וקיים <math>\delta_1>0</math> כך שמתקיימים בו זמנית המקרים: <math>\Big|g(x)\Big|<A</math> לכל <math>0<|x-a|<\delta_1</math> וגם <math>\Big|L\Big|<A</math> , עבור <math>A>0</math> כלשהו.
<div style="text-align: center;">
▲<math>{\Bigg|f(x)\cdot g(x)-L_1\cdot L_2\Bigg|=\Bigg|f(x)\cdot g(x)-L_1\cdot g(x)+L_1\cdot g(x)-L_1\cdot L_2\Bigg|=\Bigg|g(x)\Big(f(x)-L_1\Big)+L_1\Big(g(x)-L_2\Big)\Bigg|\ {\color{red}\le}}</math>
</div>
<div style="text-align: center;">
▲<math>\Bigg|g(x)\Big(f(x)-L_1\Big)\bigg|+\Bigg|L_1\Big(g(x)-L_2\Big)\Bigg|=\Big|g(x)\Big|\cdot\bigg|f(x)-L_1\bigg|+\Big|L_1\Big|\cdot\bigg|g(x)-L_2\bigg|</math>
</div>
כמו-כן קיים מספר <math>\delta_2>0</math> כך שמתקיים <math>\ biggBig| gf(x)- L_2L\ biggBig|< \frac{\varepsilon }{2A}</math> כאשרלכל <math>0<|x-a|<\delta_2</math> . מכאן:▼
כיון שנתון <math>\lim_{x\to a}f(x)=L_1</math> , קיים מספר <math>\delta_3>0</math> כך שמתקיים <math>\ biggBig| fg(x)- L_1M\ biggBig|<\frac{\varepsilon}{ 2\Big(\varepsilon+\Big|L_2\Big|\Big)2A}</math> כאשרלכל <math>0<|x-a|<\delta_3</math> . ▼במעבר השלישי נעשה שימוש באי-שוויון המשולש. נרצה שכל אחד משני הביטויים שקיבלנו בסוף יהיה קטן מחצי אפסילון. לשם כך, נשתמש בגבולות אשר ידועים לנו.
נקבענבחר <math>\delta=\min\{\delta_1,\delta_2,\delta_3\}</math> . {{ש}}{{ש}} לפיכך,▼כיון שנתון <math>\lim_{x\to a}g(x)=L_2</math> , קיים מספר <math>\delta_1>0</math> כך שמתקיים <math>\bigg|g(x)-L_2\bigg|<\frac{\varepsilon}{2\Big|L_1\Big|}</math> כאשר <math>0<|x-a|<\delta_1</math> .
<center>
<math> {\ Biggbigg|f(x) \cdot g(x)- L_1L\cdot L_2M\ Biggbigg|\ {\color{red}\le}\ \Big|g(x)\Big|\cdot\ biggBig|f(x)- L_1L\ biggBig|+\Big| L_1L\Big|\cdot\ biggBig|g(x)- L_2M\ biggBig|\ {\color{red}<}\ A\cdot\frac{\varepsilon \Big(\varepsilon+\Big|L_2\Big|\Big)}{ 2\Big(\varepsilon+\Big|L_2\Big|\Big)2A}+ A\ frac{\varepsilon\Big|L_1\Big|}{2\Big|L_1\Big|}\ {\color{red}<}\ cdot\frac{\varepsilon}{ 2}+\frac{\varepsilon}{22A}=\varepsilon }</math> ▼▲כמו-כן קיים מספר <math>\delta_2>0</math> כך שמתקיים <math>\bigg|g(x)-L_2\bigg|<\varepsilon</math> כאשר <math>0<|x-a|<\delta_2</math> . מכאן:
</center>
מ.ש.ל. <math>\blacksquare</math> ▼<div style="text-align: center;">
<math>\Big|g(x)\Big|=\bigg|g(x)-L_2+L_2\bigg|\ {\color{red}\le}\ \bigg|g(x)-L_2\bigg|+\Big|L_2\Big|\ {\color{red}<}\ \varepsilon+\Big|L_2\Big|</math>
</div>
▲כיון שנתון <math>\lim_{x\to a}f(x)=L_1</math> , קיים מספר <math>\delta_3>0</math> כך שמתקיים <math>\bigg|f(x)-L_1\bigg|<\frac{\varepsilon}{2\Big(\varepsilon+\Big|L_2\Big|\Big)}</math> כאשר <math>0<|x-a|<\delta_3</math> .
▲נקבע <math>\delta=\min\{\delta_1,\delta_2,\delta_3\}</math> .{{ש}}{{ש}}
אם <math>0<|x-a|<\delta</math> אז מתקיים <math>0<|x-a|<\delta_1</math> וגם <math>0<|x-a|<\delta_2</math> וגם <math>0<|x-a|<\delta_3</math> , לכן מתקיימים שלושת האי-שוויונות שמצאנו לעיל. לפיכך,{{ש}}{{ש}}
<div style="text-align: center;">
▲<math>{\Bigg|f(x)\cdot g(x)-L_1\cdot L_2\Bigg|\ {\color{red}\le}\ \Big|g(x)\Big|\cdot\bigg|f(x)-L_1\bigg|+\Big|L_1\Big|\cdot\bigg|g(x)-L_2\bigg|\ {\color{red}<}\ \frac{\varepsilon\Big(\varepsilon+\Big|L_2\Big|\Big)}{2\Big(\varepsilon+\Big|L_2\Big|\Big)}+\frac{\varepsilon\Big|L_1\Big|}{2\Big|L_1\Big|}\ {\color{red}<}\ \frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon}</math>
</div>
▲מ.ש.ל. <math>\blacksquare</math>
====מנת גבולות====
| 