|
;הוכחה
יש להראות כי לכל <math>\varepsilon>0</math> קיים <math>\delta>0</math> כך שלכל <math>0<|x-a|<\delta</math> מתקיים <math>\left|\frac{f(x)}{g(x)}-\frac{L}{M}\right|<\varepsilon</math> . על-ידי מכנה משותף נקבל:
ראשית נראה כי <math>\lim_{x\to a}\frac1{g(x)}=\frac1{M}</math> (אם נראה זאת, שימוש ב[[הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/גבולות, סדרות ורציפות/גבולות/גבול של מכפלה|חוק למכפלת גבולות]] יסיים את העבודה).
<center>
<math>\left|\frac{f(x)}{g(x)}-\frac{L}{M}\right|=\left|\frac{f(x)}{g(x)}-\frac{L}{g(x)}+\frac{L}{g(x)}-\frac{L}{M}\right|\ {\color{red}\le}\ \left|\frac{f(x)}{g(x)}-\frac{L}{g(x)}\right|+\left|\frac{L}{g(x)}-\frac{L}{M}\right|=\frac{|M|\cdot\Big|f(x)-L\Big|+|L|\cdot\Big|g(x)-M\Big|}{|M|\cdot\Big|g(x)\Big|}</math>
</center>
עלינו להראות כי לכל <math>\varepsilon>0</math> קיים <math>\deltaA>0</math> מתאיםכלשהו כך שלכלשמתקיימים המקרים <math>0<|x-aL|<\deltaA</math> מתקייםוגם <math>\left|\frac{1}{g(x)}-\frac1{M}\right|<\varepsilonA</math> . על-ידי מכנה משותף נקבל:
<center>
<math>\left|\frac{1f(x)}{g(x)}-\frac{1L}{M}\right|=\left| {\color{red}\le}\ \frac{|M|\cdot\Big|f(x)-L\Big|+|L|\cdot\Big|g(x)-M\Big|}{|M|\cdot\Big|g(x)\cdotBig|}\ M{\color{red}<}\right \frac{A}{|=M|}\cdot\frac{\Big|gf(x)-ML\Big|}{+\Big|g(x)-M\Big|\cdot}{\Big|Mg(x)\Big|}</math>
</center>
*קיים <math>\delta_1>0</math> כך שלכל <math>0<|x-a|<\delta_1</math> מתקיים <math>\Big|g(x)-M\Big|<\frac{|M|}{2}</math> . מכאן:
<center>
<math>\Big|M\Big|=\bigg|M-g(x)+g(x)\bigg|\ {\color{red}\le}\ \Big|g(x)-M\Big|+\Big|g(x)\Big|\ {\color{red}<}\ \frac{|M|}{2}+\Big|Mg(x)\Big|\quad\implies\quad\Big|g(x)\Big|\ {\color{red}>}\ |M|-\frac{|M|}{2}+=\frac{|M|}{2}\quad\implies\quad\frac{1}{\Big|g(x)\Big|}<\frac{2}{|M|}</math>
</center>
*קיים <math>\delta_2>0</math> כך שלכל <math>0<|x-a|<\delta_2</math> מתקיים <math>\Big|g(x)-M\Big|<\tfrac{M^2}{4A}\varepsilon</math> .
לכן,*קיים <math>\bigg|g(x)\bigg|delta_3>|M|-\frac{|M|}{2}=\frac{|M|}{2}0</math> כאשרכך שלכל <math>0<|x-a|<\delta_1delta_3</math> . לכן, עבור ערכים אלו שלמתקיים <math>\Big|g(x)-M\Big|<\tfrac{M^2}{4A}\varepsilon</math> מתקיים:.
נבחר <math>\delta=\min\{\delta_1,\delta_2,\delta_3\}</math> . לפיכך,
<div style="direction: ltr;">
<center>
<math>\frac1{\bigg|M\cdot g(x)\bigg|}=\frac1{|M|\cdot\bigg|g(x)\bigg|}<\frac1{|M|}\cdot\frac2{|M|}=\frac2{M^2}</math>
<math>\left|\frac{f(x)}{g(x)}-\frac{L}{M}\right|\ {\color{red}\le}\ \frac{|M|\cdot\Big|f(x)-L\Big|+|L|\cdot\Big|g(x)-M\Big|}{|M|\cdot\Big|g(x)\Big|}\ {\color{red}<}\ \frac{A}{|M|}\cdot\frac{\Big|f(x)-L\Big|+\Big|g(x)-M\Big|}{\Big|g(x)\Big|}\ {\color{red}<}\ \frac{A}{|M|}\cdot\frac{2}{|M|}\cdot\left(\tfrac{M^2}{4A}\varepsilon+\tfrac{M^2}{4A}\varepsilon\right)=\varepsilon</math>
</div>
</center>
<math>\blacksquare</math>
כמו-כן, קיים מספר <math>\delta_2>0</math> כך שמתקיים <math>\bigg|g(x)-M\bigg|<\frac{M^2}{2}\cdot\varepsilon</math> כאשר <math>0<|x-a|<\delta_2</math> .{{ש}}
נבחר <math>\delta=\min\{\delta_1,\delta_2\}</math> ואז אם <math>0<|x-a|<\delta</math> אז <math>0<|x-a|<\delta_1</math> וגם <math>0<|x-a|<\delta_2</math> , לפיכך מתקיים:
<div style="direction: ltr;">
<math>\left|\frac1{g(x)}-\frac1{M}\right|=\frac{\bigg|g(x)-M\bigg|}{\bigg|M\cdot g(x)\bigg|}<\frac2{M^2}\frac{M^2}{2}\cdot\varepsilon=\varepsilon</math>
</div>
הוכחנו <math>\lim_{x\to a}\frac1{g(x)}=\frac1{M}</math> . כעת נשתמש בחוק למכפלת גבולות ונקבל:
<div style="direction: ltr;">
<math>\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\left[f(x)\cdot\frac1{g(x)}\right]=\lim_{x\to a}f(x)\cdot\lim_{x\to a}\frac1{g(x)}=L\cdot\frac1{M}=\frac{L}{M}</math>
</div>
מ.ש.ל
[[קטגוריה:הוכחות מתמטיות (ספר)]]
| 