ויקיספר

מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/משיק: הבדלים בין גרסאות בדף

עיון אינטראקטיבי בהיסטוריה
→ העריכה הקודמתהעריכה הבאה ←
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
חזותיקוד ויקי
מ שוחזר מעריכות של 46.19.86.89 (שיחה) לעריכה האחרונה של Illuyanka
אין תקציר עריכה
שורה 1:
{{הארה| נרענן ונזכיר :
# מציאת שיפוע ישר :
#* באמצעות נוסחא <math>m = \frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}</math>.
#* באמצעות מקדם m.
# משוואת הישר :
#* '''הנוסחא :''' <math>y-y_1=m(x-x_1)</math>
#* '''דרישות :''' שתי נקודות או נקודה ושיפוע.
}}
 
=<span style="color: BLUE;">הקדמה - מושגי יסוד</span>=
[[קובץ:Tangent to a curve.svg|left|thumb|150px|# משיק לעקומה - הקו האדום<br />{{ש}}# נקודת ההשקה - הנקודה האדומה]]
 
[[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/הנגזרת של פונקציה|נגזרת]] הפונקציה עוזרת לנו לגלות ולחקור את הפונקציה. אחד משימושיה הוא מציאת השיפוע של המשיק לגרף הפונקציה. תחילה נגדיר מושגים בסיסים :
#'''משיק -''' [[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/פונקציה ישרה|ישר]] העובר דרך נקודה כלשהי על העקומה וכיוונו זהה לכיוון העקומה באותה נקודה. המשיק הינו קו ישר הנוגע ("נושק") לפונקציה בנקודה, אך לא חותך אותה שנית באותו איזור. המשיק הוא כאמור קו ישר, ולכן יש לו שיפוע מוגדר. שיפועו של המשיק בנקודה מסוימת נקרא [[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/הנגזרת של פונקציה|נגזרת]] הפונקציה בנקודה.
# '''נקודת ההשקה -''' הנקודה הנמצאת על גרף הפונקציה ודרכה עובר המשיק.{{-}}
<br /><br /><br /><br /><br /><br />
 
=<span style="color: BLUE;">שיפוע המשיק (m) המשיק</span>=
שיפוע המשיק הוא '''נגזרת הפונקציה בנקודת ההשקה'''.
 
'''מכאן, שיש לנו 3 גורמים המעורבים בנוסחא :'''
# הפונקציה.
# נקודת ההשקה - נזכיר : נקודת ההשקה היא נקודה על הפונקציה ועל המשיק ([[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/הגדרת הפונקציה|מקיימת את שתי המשוואות]]).
# שיפוע המשיק = נגזרת הפונקציה בנקודת ההשקה.
 
'''דרך פעולה למציאת שיפוע המשיק :'''
# מציאת נגזרת הפונקציה.
# מציאת ערך X<math>x</math> של נקודת ההשקה - הצבת הנתון Y<math>y</math> של נקודת ההשקה בפונקציה/משוואת הישר ומציאת ערך X<math>x</math> .
# מציאת נגזרת הפונקציה בנקודת ההשקה : הצבת שיעור X<math>x</math> של נקודת ההשקה בנגזרת הפונקציה.
 
==דוגמאות==
==''נקודת ההשקה חסרה - פונקציה ושיפוע משיק''==
===;שאלה===
* נתונה הפונקציה : <math>y=x^2</math>.
* שיפוע המשיק : <math>2x.</math>
* מהי נקודת ההשקה?
 
===;פתרון===
* נגזרת הפונקציה : <math>y'=2x</math> .
* נגזרת הפונקציה בנקודת ההשקה : 2.
* מציאת ערך X<math>x</math> של נקודת ההשקה (השוואה בין שתי נגזרות שוות למציאת נעלם): <math>2x=2</math> . כלומר, <math>x=1.</math>
* מציאת ערך Y<math>y</math> של נקודת ההשקה (הצבה בפונקציה) - נקודת ההשקה נמצאת על גרף הפונקציה ולכן היא חייבת לקיים את המשוואה : <math>y(1)=1^2=1</math>
* נקודת ההשקה : <math>(1,1).</math>
 
==''שיפוע משיק חסר - פונקציה ונקודת השקה''==
===;שאלה===
* נתונה הפונקציה : <math>y=x^2</math>.
* נקודת ההשקה היא : <math>(3,9)</math>
* מהו שיפוע המשיק?
 
===;פתרון===
נמצא את שיפוע המשיק. ידוע כי שיפוע המשיק שווה ל'''נגזרת הפונקציה בנקודת ההשקה'''. מכאן :
* נגזרת הפונקציה : <math>y'=2x.</math>
* נקודת ההשקה : <math>(3,9)</math>
* נגזרת הפונקציה בנקודת ההשקה = '''שיפוע המשיק''' : <math>y'(3) = 2*3 \cdot3=6</math>
(שיפוע המשיק לפונקציה בנקודת ההשקה הינוהנו אפס0. בכדי לגלות את שיפוע המשיק יש להציב את X<math>x</math> של נקודת ההשקה בנגזרת)
 
=<span style="color:BLUE;">משוואת המשיק</span>=
כאמור המשיק הוא [[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/פונקציה ישרה| פונקציה ישרה]], ולכן, ניתן לגלותו על -פי הנוסחא : <math>y-y_1=m(x-x_1)</math>
 
==משוואת ישר ע"פ 2 נקודות / נקודה ושיפוע==
בניגוד לישר רגיל, קו הישר שלנו; המשיק, בעל קשר ישיר אל הפונקציה ולכן, הנתונים המוצבים בנוסחא יהיו בעלי קשר ישיר אל הפונקציה. כלומר, נוכל להעזר בנוסחא כאשר יש לנו '''2 נקודות''', אך לא סתם נקודות :
# '''נקודת ההשקה - ''' מקיימת את שתי המשוואתהמשוואות; ישר ופונקציה.
# נ'''קודהנקודה על הישר -''' מקיימת רק את משוואת הישר.
שמהן ניתן לגלות את שיפוע הישר (או נגזרת של הפונקציה בנקודת ההשקה).
 
===''דוגמא : שיפוע משיק חסר - מציאת משוואת המשיק על -פי נקודה שעל הגרף (דוגמא לעיל)''===
====;שאלה====▼
* נתונה הפונקציה : <math>y=x^2</math>.▼
** נקודת ההשקה : <math>(3,9).</math>▼
* מהי משוואת המשיק? ▼
 
====;פתרון====▼
▲====שאלה====
גורמי משיק משיק :▼
▲* נתונה הפונקציה : <math>y=x^2</math>.
*'''נקודה שנמצאת על הישר'''; על המשיק (נקודת ההשקה היא) : <math>(3,9)</math>
*'''שיפוע -''' נמצא את שיפוע המשיק. ידוע כי שיפוע המשיק שווה ל'''נגזרת הפונקציה בנקודת ההשקה'''. מכאן :▼
▲* מהי משוואת המשיק?
** נגזרת הפונקציה : <math>y'=2x.</math>▼
 
**נקודת ההשקה: <math>(3,9)</math>
▲====פתרון====
** נגזרת הפונקציה בנקודת ההשקה : <math>y'(3) = 2*3 \cdot3=6.</math>▼
▲גורמי משיק משיק :
* '''נקודה שנמצאת על הישר'''; על המשיק (נקודת ההשקה) : (3,9).
▲*'''שיפוע -''' נמצא את שיפוע המשיק. ידוע כי שיפוע המשיק שווה ל'''נגזרת הפונקציה בנקודת ההשקה'''. מכאן :
▲** נגזרת הפונקציה : y'=2x.
▲** נקודת ההשקה : (3,9).
▲** נגזרת הפונקציה בנקודת ההשקה : y'(3) = 2*3 =6.
'''שימוש בנוסחא :''' <math>y - y_1 = m(x - x_1)</math> <br />
 
'''הצבה :''' <math>y - 9 = 6(x - 3). <br /math>
'''משוואת המשיק :''' y = 6x - 9▼
 
▲'''משוואת המשיק :''' <math>y = 6x - 9</math>
 
== משוואת משיק בנקודה שאינה על גרף הפונקציה==
'''נתונים :'''
# פונקציה.
# נקודה דרך עובר המשיק.
# צ"ל : משוואת המשיק.
 
'''דרך ;פתרון :'''
# ביטוי נקודת ההשקה :
#* X של נקודת ההשקה = t
#* ביטוי Y - הצבה בפונקציה המקשרת בין X ו-Y.
אוחזר מתוך "https://he.wikibooks.org/wiki/מתמטיקה_תיכונית/חשבון_דיפרנציאלי/משיק"