מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/פונקציה מעריכית/פונקצית e/הגדרת המספר e: הבדלים בין גרסאות בדף
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
אין תקציר עריכה |
אין תקציר עריכה |
||
שורה 1:
בפרק ה[[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/פונקציה מעריכית/פונקציה מעריכית|קודם]]
[[קובץ:2^x function graph.PNG|שמאל|ממוזער|300px|כאשר מעבירים משיק לפונקציה <math>y=2^x</math> בנקודת החיתוך עם ציר
קובץ:PictureFileName.jpg|כאשר מעבירים משיק לפונקציה <math>y=3^x</math> בנקודת החיתוך עם ציר ה-<math>y</math> (<math>0, 1</math>) הזווית המתקבלת בין [[מתמטיקה תיכונית/הנדסה אנליטית/הזוית בין שני ישרים|שני ישרים נחתכים]], כלומר בין ציר ה-<math>x</math> (ששיפועו שווה אפס) לשיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודה <math>(0, 1)</math> <math>y(0)'=3^x*ln3=3^0*ln3=ln3</math>, לאחר הוצאת טנגנס <math>tan\alpha=\frac{|ln3-0|}{1+ln3*0}=ln3</math>, שווה <math>47.69^\circ = ~ 48^\circ</math>▼
▲[[קובץ:PictureFileName.jpg|שמאל|ממוזער|300px|כאשר מעבירים משיק לפונקציה <math>y=3^x</math> בנקודת החיתוך עם ציר
במילים אחרות, בין הפונקציה <math>2^x</math> ל-<math>3^x</math> קיימת פונקציה המייצרת עם ציר ה-<math>x</math> זווית של <math>45^\circ</math>. ערך הבסיס לפונקציה כזו הינו <math>2.718</math> אותו סימנו בנעלם <math>e</math>.▼
▲במילים אחרות, בין הפונקציה <math>2^x</math> ל- <math>3^x</math> קיימת פונקציה המייצרת עם ציר
===חישוב המספר===
הפעם נציג כיצד בפועל גילו את ערך הנקודה. הרי הנתונים שהיו להם הם משיק העובר דרך גרף הפונקציה <math>a^x</math> בנקודה <math>(0,
נעזר ב[[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/נגזרת - תורת הגבולות|הגדרת הנגזרת]] ונמצא את הנגזרת בין הנקודה <math>(0,
השיפוע בין שתי הנקודות הוא <math>m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{e^x-1}{x-0}</math>
נקבל <math>\lim_{x\
אנו ידועים כי הנגזרת כולה שווה לאחד (כך הגדרנו את <math>e</math>) אזהי <math>\frac{e^x-1}{x}=1</math> ▼
▲אנו ידועים כי הנגזרת כולה שווה
<center><math>B(x,e^x)\to(0,1)\quad\Rightarrow\quad e=\lim_{x\to0}\ (1+x)^{\frac{1}{x}}</math></center>
נהוג לסמן
כך ש- <math>n</math> קובע את דרגת הדיוק של המרחק בין נקודת החיתוך לנקודה
אם נציב <math>n=1,000</math> נקבל <math>e=\left(1+\frac{1}{1,000}\right)^{1,000}=2.7169</math>
[[קטגוריה:חשבון דיפרנציאלי לתיכון]]
|