ויקיספר

מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/משוואות/משוואות בשני נעלמים או יותר: הבדלים בין גרסאות בדף

עיון אינטראקטיבי בהיסטוריה
→ העריכה הקודמתהעריכה הבאה ←
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
חזותיקוד ויקי
מ הגהה
אין תקציר עריכה
שורה 2:
===שיטות פתרון===
לאחר שלמדנו את נושא המשוואות בנעלם אחד, נותר לנו להכליל את הנושא ולעבור למשוואות ביותר מנעלם אחד. כרגיל במתמטיקה, אנו מעוניינים להגיע למצב שאנו מכירים, במקרה שלנו, מדובר במשוואה בנעלם אחד. על מנת לעשות זאת, יש לנו מספר כללים ושיטות שבהן אנו יכולים להשתמש. שיטות אלו אינן שונות בהרבה מהשיטות של פתרון משוואות בנעלם אחד.
 
<br>
לפני שנתחיל עלינו להגדיר כמה מושגים בסיסיים ולהדגיש את הרעיון הבסיסי של משוואות בכמה נעלמים. נגדיר ראשית ש-'''מערכת משוואות''' היא קבוצה של משוואות אשר כולן '''אמת'''. במילים אחרות מילת הקישור בניהן היא '''וגם'''.<br>
 
מערכת משוואות תקרא '''שקולה''' למערכת אחרת אם לשתיהן יש בדיוק את אותם פתרונות (או אף פתרון) בו זמנית. אם למשל מערכת משוואות <math>\;A</math> שקולה למערכת משוואות <math>\;B</math> זה יסומן כך: <math>A\Leftrightarrow B</math> ונאמר ש-<math>\;A</math> שקולה ל-<math>\;B</math>.
מערכת משוואות תקרא '''שקולה''' למערכת אחרת אם לשתיהן יש בדיוק את אותם פתרונות (או אף פתרון) בו זמנית. אם למשל מערכת משוואות <math>A</math> שקולה למערכת משוואות <math>B</math> זה יסומן כך: <math>A\iff B</math> ונאמר ש- <math>A</math> שקולה ל- <math>B</math> .
 
====שיטת ההצבה====
שיטת ההצבה היא השיטה הבסיסית ביותר והשימושית ביותר. נתחיל בדוגמה:
<center><math>\begin{cases}(I)&2x+4y&=&3\\ (II)&3x-7y&=&-1\end{cases}</math></center>
בשיטת ההצבה עלינו '''לבודד''' את אחד הנעלמים, למשל את <math>x</math> . ננסה לבודד אותו ממשואה <math>(I)</math> . כאשר אנו עובדים על משוואה <math>(I)</math> עלינו להדגיש זאת. ולכן נכתוב:{{ש}}
מתוך <math>(I)</math> מתקבל ש:
<center>
<math>2x+4y=3\quad/-4y</math>
 
<math>2x=3-4y\quad\Big/\cdot\frac12</math>
<math>
\left\{
 
<math>x=\frac{3-4y}{2}</math>
\begin{matrix}\left(I\right) & 2x+4y & = & 3 \\
\left(II\right) & 3x-7y & = & -1 \end{matrix}
\right.
 
</math>
</center>
כעת קיבלנו את <math>x</math> לפי <math>y</math> כלומר קיבלנו קשר מתמטי בין שני הנעלמים. הפעולה שעשינו כרגע נקראת '''בידוד נעלם'''. במקרה זה בודדנו את <math>x</math> . לא סיימנו מכיון שעדיין לא מצאנו מה בדיוק הערך של <math>y</math> . על-מנת לעשות זאת עלינו '''להציב''' את <math>x</math> במשוואה השניה במקום <math>x</math> המקורי. נשים לב שאם נעשה זאת מיד נקבל משוואה חדשה בנעלם אחד <math>y</math> .
בשיטת ההצבה עלינו '''לבודד''' את אחד הנעלמים, למשל את <math>\;x </math>. ננסה לבודד אותו ממשואה <math>\left(I\right)</math>. כאשר אנו עובדים על משוואה <math>\left(I\right)</math> עלינו להדגיש זאת. ולכן נכתוב:<br>
מתוך <math>\left(I\right)</math> מתקבל ש:
<center>
<math>3x-7y=-1</math>
 
2x+4y=3\;\;\;\;/\;-4y
<math>\Downarrow</math>
 
<br>
<math>3\left(\frac{3-4y}{2}\right)-7y=-1</math>
<math>
2x=3-4y\;\;\;\;/\;\cdot \frac{1}{2}
</math>
<br>
<math>
x=\frac{3-4y}{2}
</math>
</center>
המעבר האחרון הוא '''הצבה''' של <math>x</math> במשוואה השניה. כעת ניתן לפתור את המשוואה הזו ללא קושי, כי היא משוואה בנעלם אחד.
כעת קיבלנו את <math>\;x</math> לפי <math>\;y</math> כלומר קיבלנו קשר מתמטי בין שני הנעלמים. הפעולה שעשינו כרגע נקראת '''בידוד נעלם'''. במקרה זה בודדנו את <math>\;x</math>. לא סיימנו מכיוון שעדיין לא מצאנו מה בדיוק הערך של <math>\;y</math>. על מנת לעשות זאת עלינו '''להציב''' את <math>\;x</math> במשוואה השניה במקום <math>\;x</math> המקורי. נשים לב שאם נעשה זאת מיד נקבל משוואה חדשה בנעלם אחד - <math>\;y</math>.
<center>
<math>\frac{3(3-4y)}{2}-7y=-1\quad\Big/\cdot2</math>
<math>
\;3x-7y=-1
 
<math>3(3-4y)-14y=-2</math>
<br>
<math>
\Downarrow
</math>
<br>
 
<math>9-12y-14y=-2\quad/-9</math>
<math>
3\cdot\left(\frac{3-4y}{2}\right)-7y=-1
</math>
 
<math>-26y=-11\quad\Big/\cdot\left(-\frac{1}{26}\right)</math>
 
<math>y=\frac{11}{26}</math>
</center>
וזו התשובה של נעלם אחד, כלומר קיבלנו את הערך של <math>y</math> . כעת נציב במשוואה כלשהי את הערך של <math>y</math> אשר חישבנו ונקבל שוב משוואה בנעלם אחד, רק שהפעם היא עבור <math>x</math> . כיון שכבר בודדנו את <math>x</math> לפי <math>y</math> מספיק להציב בביטוי שקיבלנו <math>y=\frac{11}{26}</math> ונקבל:
המעבר האחרון הוא '''הצבה''' של <math>\;x</math> במשוואה השניה. כעת ניתן לפתור את המשוואה הזו ללא קושי, כי היא משוואה בנעלם אחד.
<center><math>x=\frac{3-4\cdot\frac{11}{26}}{2}</math></center>
<center>
ולאחר חישוב מקבלים <math>x=\frac{17}{26}</math> . על-מנת לבדוק את הנכונות של הפתרון יש להציב את התוצאות במשוואות שלנו. אם מקבלים פסוק אמת בשתיהן, אנו יכולים להיות בטוחים שהתוצאה שקבלנו היא אכן פתרון.
<math>
\frac{3\cdot \left(3-4y\right)}{2}-7y=-1\;\;\;\;/\;\cdot 2
</math>
<br>
<math>
3\cdot \left(3-4y\right)-14y=-2
</math>
<br>
<math>
\;\;9-12y-14y=-2\;\;\;\;/\;\;-9
</math>
<br>
<math>
-26y=-11\;\;\;\;/\;\;\cdot \left(-\frac{1}{26}\right)
</math>
<br>
<math>
y=\frac{11}{26}
</math>
</center>
וזו התשובה של נעלם אחד, כלומר קיבלנו את הערך של <math>\;y</math>. כעת נציב במשוואה כלשהי את הערך של <math>\;y</math> אשר חישבנו ונקבל שוב משוואה בנעלם אחד, רק שהפעם היא עבור <math>\;x</math>. מכיון שכבר בודדנו את <math>\;x</math> לפי <math>\;y</math> מספיק להציב בביטוי שקיבלנו ש <math>y=\frac{11}{26}</math> ונקבל:
<center>
<math>
x=\frac{3-4\cdot\frac{11}{26}}{2}
</math>
</center>
ולאחר חישוב מקבלים ש <math>\;x=\frac{17}{26}</math>. על מנת לבדוק את הנכונות של הפתרון יש להציב את התוצאות במשוואות שלנו. אם מקבלים פסוק אמת בשתיהן, אנו יכולים להיות בטוחים שהתוצאה שקבלנו היא אכן פתרון.
 
====חיבור וחיסור, כפל וחילוק משוואות====
כשמופיעים לנו בשתי משוואות שני אברים דומים כדאי לעיתיםלעתים לחבר או לחסר את המשוואות אחת מהשניה. הפעולה הזו היא פעולה מותרת מכיוון שההנחה הבסיסית של המשוואות היא ששני אגפי המשוואה הם '''אותו מספר''' ולכן פעולה של חיבור או חיסור משוואות שקולה לחיבור או חיסור שני האגפים במספר. לדוגמהלדוגמא:{{ש}}
נחסר <math>(I)-(II)</math> ונקבל
<center>
<math>\begin{cases}(I)&2x+4y&=&3\\(II)&2x-7y&=&-1\end{cases}\quad\Big/(I)-(II)</math>
<math>
 
\left\{
<math>\Updownarrow</math>
\begin{matrix}\left(I\right) & 2x+4y & = & 3 \\
 
\left(II\right) & 2x-7y & = & -1 \end{matrix}
<math>\begin{cases}(I)&2x-2x+4y-(-7y)&=&3-(-1)\\(II)&2x-7y&=&-1\end{cases}</math>
\right.
 
</math>
<math>\Updownarrow</math>
 
<math>\begin{cases}(I)&11y&=&4\\(II)&2x-7y&=&-1\end{cases}</math>
</center>
מכאן ניתן בקלות להמשיך בשיטת ההצבה לאחר שנסיים לבודד את <math>y</math> מתוך המשוואה הראשונה.
נחסר את <math>\left(II\right)</math> מ-<math>\left(I\right)</math> ונקבל
 
<center>
<math>
\left\{
\begin{matrix}\left(I\right) & 2x+4y & = & 3 \\
\left(II\right) & 2x-7y & = & -1 \end{matrix}
\right.
\ \ \ \ /\ \left(I\right)-\left(II\right)
</math>
<br>
<math>
\Updownarrow
</math>
<br>
<math>
\left\{
\begin{matrix}\left(I\right) & 2x-2x+4y-\left(-7y\right) & = & 3-\left(-1\right) \\
\left(II\right) & 2x-7y & = & -1 \end{matrix}
\right.
</math>
<br>
<math>
\Updownarrow
</math>
<br>
<math>
\left\{
\begin{matrix}\left(I\right) & 11y & = & 4 \\
\left(II\right) & 2x-7y & = & -1 \end{matrix}
\right.
</math>
</center>
מכאן ניתן בקלות להמשיך בשיטת ההצבה לאחר שנסיים לבודד את <math>\;y</math> מתוך המשוואה הראשונה. <br>
באותו אופן ניתן לחלק, להכפיל או לחבר משוואות. במקרה של חילוק או כפל, ברור שאסור לבצע פעולות אלו במידה ולא וידאנו ששני האגפים בהם אנו כופלים או מחלקים אינם 0. כידוע, הכפלה של משוואה ב-0 למעשה הופכת אותה לחסרת תוכן, ולכן '''מוסיפה פתרונות'''. במידה ואנו כופלים ב-0 אנו מקבלים יותר פתרונות ולכן מערכת המשוואות החדשה שתתקבל לא תהיה שקולה לקודמת. כך גם לגבי חילוק (אם כי חילוק ב-0 הופך את המשוואה לחסרת משמעות).
 
====פעולת גאוס====
פעולת גאוס ניתנה לה על שם המתמטיקאי הידוע [[w:קרל פרידריך גאוס|גאוס]] אשר המציא אותה כחלק מ[[w:אלגוריתם|אלגוריתם]] לפתרון וחקר של מערכות משוואות לינאריות במספר גדול של נעלמים אשר גם נושא את שמו. אין מניעה, עם זאת, להשתמש בה בכל סוג של מערכת משוואות, כל עוד היא יכולה לעזור להביא אותנו לפתרון. הפעולה טובה לצורך הבאת מערכת גדולה של משוואות לצורה של מערכת קטנה יותר וקלה יותר לפתרון.<br>
 
פעולת גאוס היא פשוט הכפלה של שורה אחת (כלומר משוואה אחת) במספר קבוע, וחיבור עם משוואה אחרת. הפעולה טובה במיוחד כאשר יש לנו משוואה אחת אשר אחד הנעלמים שלה בא עם מקדם של 1 (אם כי ברור שתמיד ניתן להפוך את אחת המשוואות למשוואה שאחד המקדמים הוא 1). נדגים שימוש בפעולת גאוס על מערכת משוואות בת 3 נעלמים ו-3 משוואות.
<center>
<math>\begin{cases}(I)&x-5y+3z&=&4&\quad/\times(-3)+(II)\\(II)&3x-7y-2z&=&-1\\(III)&2x-y-5z&=&1\end{cases}</math>
<math>
\left\{
\begin{matrix}\left(I\right) & x-5y+3z & = & 4 & \;\;\;\;/\;\;
\times \left(-3\right) \;\;+\left(II\right)
\\
\left(II\right) & 3x-7y-2z & = & -1 \\
\left(III\right) & 2x-y-5z & = & 1 \\
\end{matrix}
\right.
</math>
<br>
<math>
\Updownarrow
</math>
<br>
<math>
\left\{
\begin{matrix}\left(I\right) & x-5y+3z & = & 4 & \;\;\;\;/\;\;
\times \left(-2\right) \;\;+\left(III\right)
\\
\left(II\right) & 3x-3x-7y+15y-2z-9z & = & -1-12 & \\
\left(III\right) & 2x-y-5z & = & 1 &\\
\end{matrix}
 
<math>\Updownarrow</math>
\right.
</math>
<br>
<math>
\Updownarrow
</math>
<br>
<math>
\left\{
\begin{matrix}\left(I\right) & x-5y+3z & = & 4
\\
\left(II\right) & 8y-11z & = & -13 \\
\left(III\right) & 2x-2x-y+10y-5z-6z & = & 1-8 \\
\end{matrix}
 
<math>\begin{cases}(I)&x&-5y&+3z&=&4&\quad/\times(-2)+(III)\\(II)&3x-3x&-7y+15y&-2z-9z&=&-1-12\\(III)&2x&-y&-5z&=&1\end{cases}</math>
\right.
</math>
<br>
<math>
\Updownarrow
</math>
<br>
<math>
\left\{
\begin{matrix}\left(I\right) & x-5y+3z & = & 4
\\
\left(II\right) & 8y-11z & = & -13 \\
\left(III\right) & 9y-11z & = & -7 \\
\end{matrix}
 
<math>\Updownarrow</math>
\right.
 
</math>
<math>\begin{cases}(I)&x&-5y&+3z&=&4\\(II)&&8y&-11z&=&-13\\(III)&2x-2x&-y+10y&-5z-6z&=&1-8\end{cases}</math>
 
<math>\Updownarrow</math>
 
<math>\begin{cases}(I)&x&-5y&+3z&=&4\\(II)&&8y&-11z&=&-13\\(III)&&9y&-11z&=&-7\end{cases}</math>
</center>
נשים לב שכעת, המשוואות <math>\left(II\right)</math> ו <math>\left,(III\right) </math> מהוות מערכת משוואות בשני נעלמים. אם נפתור אותה, נוכל להציב את <math>\;y</math> ואת <math>\;,z</math> במשוואה הראשונה ונקבל את הפתרון עבור <math>\;x</math> ובזה נפתור את כל המערכת. כלומר, שיטה זו נועדה לפתור מערכת גדולה של משוואות לינאריות. ניתן כמובן להשתמש בה גם במצבים אחרים.
 
===דוגמאות ומקרים מיוחדים===
כעת נבקש להדגים מספר מצבים מיוחדים ודוגמאות חשובות לפתרון מערכות משוואות.
 
====חוסר פתרון====
לא תמיד קיים פתרון למשוואות בכלל, וכך גם למערכות משוואות. לעיתיםלעתים במהלך פתרון מערכות משוואות אנו מגיעים ל'''סתירה'''. למשל, אנו עשויים להגיע למצב שבו באחת המשוואות מתקבל פסוק כמו-<math>\;1=5</math> אשר בבירור הוא סתירה משום ש-1 הוא איננו 5. מצב זה אומר, שלמערכת המשוואות שלנו '''אין אף פתרון'''. כלומר, אין אף קבוצת מספרים שניתן להציב ב'''כל''' הנעלמים ולקבל שכל המשוואות הן פסוק אמת.
=====דוגמה=====
הבא נתבונן במערכת המשוואות הבאה:
אוחזר מתוך "https://he.wikibooks.org/wiki/מתמטיקה_תיכונית/אלגברה_תיכונית/משוואות/משוואות_בשני_נעלמים_או_יותר"