מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/פונקצית השורש: הבדלים בין גרסאות בדף

תוכן שנמחק תוכן שנוסף
אין תקציר עריכה
אין תקציר עריכה
שורה 7:
|-
! תבנית
|colspan="4"|
<math>y=\sqrt\frac{f(x)}{g(x)}</math>
<small>(הדוגמה המסובכת ביותר בבגרות לפונקצית שורש)</small>
שורה 13:
!
[[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/תחום הגדרה|תחום הגדרה]] ותנאים מקדמים
|colspan="4"|
#<math>\sqrt{f(x)\ge 0ge0}.</math>
# פונקצית שורש עם כללי גזירה : חשוב לוודא את תחום ההגדרה של כלל הפונקציות. לדוגמה כאשר הפונקציה היא <math>y=\sqrt\frac{f(x)}{g(x)}</math> , יש לבדוק <math>g(x)>0</math> .
|-
!rowspan="3"| [[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/נקודות חיתוך עם הצירים|חיתוך עם הצירים]]
|rowspan="2"|חיתוך עם ציר <math>x</math>
|-
| נציב <math>y=0</math> ונפתור (לפחות) [[מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/משוואות/משוואות עם שורשים|משוואה עם שורשים]].
|
נציב <math>y=0</math> ונפתור (לפחות) [[מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/משוואות/משוואות עם שורשים|משוואה עם שורשים]].
|-
!חיתוך עם ציר <math>y</math>
|colspan="2"|
# הצבה <math>x=0</math>.
# פתירת המשוואה - קיימים 2 מצבים:
#* חיתוך עם ציר <math>y</math> - פתרון יחיד.
#* אין חיתוך עם ציר <math>y</math> - משוואה לא-הגיונית, כמו למשל <math>2=0</math>.
|-
![[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/נקודות קיצון מקומיות|נקודת הקיצון]]
|colspan="2"|
# גזירת הפונקציה על-פי [[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/רשימת נגזרות והוכחתן/שורש ריבועי|נגזרת של פונקצית שורש]], כלל הגזירה של פונקציה המוכפלת במספר קבוע, כלל הגזירה מנה של פונקציות : <math>\sqrt{f(x)}'}=\frac{f'(x)'}{2\sqrt{f(x)}}</math>
# '''מציאת ערכי <math>x</math> של הנקודות -''' השוואה לאפס (<math>f'(x) = 0</math>).
# '''מציאת ערכי <math>y</math> של הנקודות -''' את ערכי ה-<math>y</math> נמצא על-ידי הצבת ערכי ה- <math>x</math> במשוואה הפונקציה המקורית.
|-
!rowspan="2"| [[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/נקודות פיתול|נקודות פיתול]]
|colspan="1"| מציאת נקודות פיתול באמצעות טבלה
|
השלבים למציאת נקודת פיתול זהים לשלבים של מציאת נקודת קיצון, כלומר :
# נבצע גזירה. נגזרת של פונקצית שורש: <math>\sqrt{f(x)'}'=\frac{f'(x)'}{2\sqrt{f(x)}}</math>
# נשווה נגזרת לאפס.
# נפתור את המשוואה.
# נגלה את סוג הנקודה באמצעות טבלה - בניגוד ל[[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/נקודות קיצון מקומיות|נקודת קיצון]] (שיש עליה וירידה או להפך), עבור נקודת פיתול, הפונקציה "תעלה ותעלה" או "תרד ותרד".
|-
|מציאת נקודות פיתול באמצעות נגזרת שנייהשניה
|{{להשלים}}
|-
!rowspan="3"| [[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/אסימפטוטות|אסימפטוטות]]
|-
! אנכית
!rowspan="1"|אסימפטוטה אנכית לציר <math>x</math>
|
אם יש לנו ערך המאפס את המכנה תמיד נבנה טבלה ונבחן האם מדובר בחור או באסימפטוטה:
# בטבלה יהיו שבעה ערכים כשהמרכזי הוא ערך הנקודה החשודה.
# יש להציב שישה ערכי <math>x</math> קרובים לתוצאה אותה קיבלנו לפני ואחרי הנקודה.
# לחשב את ערך ה-<math>y</math> של ה-<math>x</math> באמצעות הצבה בטבלה.
# לבחון את התנהגות הפונקציה:
#* אם ערך ה-<math>y</math> גדל ככל שמתקרבים לנקודה סימן שמדובר באסימפטוטה.
#* אם ערך ה-<math>y</math> קטן (כלומר מתכנס לנקודה) ככל שמתקרבים לנקודה סימן שמדובר בחור.
|-
!rowspan="1"|אסימפטוטה אופקית
|פתרון אפשרי באמצעות הדרך הארוכהארוכה בלבדהבלבד. נדגים באמצעות הפונקציה <math>y=2+\frac{4x}{\sqrt{x^2-9}}</math>
|colspan="1"|
# נמצא את הערכים בהם <math>\sqrt{f(x)} > 0</math> דהינוכלומר <math>x^2-9 > 0</math> באמצעות פתירת [[מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/אי שיויונות-שוויונות/אי שיויונות-שוויונות ממעלה שנייהשניה|אי שיוויון-שוויון ממעלה שניה]] (הפתרון <math>x>3 ; x<-3</math>)
פתרון אפשרי באמצעות הדרך הארוכ בלבדה. נדגים באמצעות הפונקציה <math>y=2+\frac{4x}{\sqrt{x^2-9}}</math>
# נמצא את הערכים בהם <math>\sqrt{f(x)} > 0</math> דהינו <math>x^2-9 > 0</math> באמצעות פתירת [[מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/אי שיויונות/אי שיויונות ממעלה שנייה|אי שיוויון ממעלה שניה]] (הפתרון <math>x>3 ; x<-3</math>)
# נחלק את הפונקציה בנעלם עם החזקה הגדולה <math>y=2+\frac{\frac{4x}{x}}{\frac{\sqrt{x^2-9}}{x}}</math>
#נבדוק עבור התחום <math>x>3</math> (בהם ערכי ה-<math>x</math> חיובים כלומר נציב <math>lim_{x \rightarrow \infty}</math>)