הבדלים בין גרסאות בדף "מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/הנגזרת של פונקציה"

אין תקציר עריכה
מ (קישורים פנימיים)
'''נגזרת''' היא '''שיפוע''' ל[[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/הגדרת הפונקציה|פונקציה]] שאינה דווקא [[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/פונקציה ישרה|פונקציה ישרה/לינארית]] (<math>y=mx+n</math>) . מסומנת <math>f'(x)</math> .{{ש}}
 
חשיבות הנגזרת : מסייעת לנו לחקור פונקציה נתונה ולמצוא [[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/תחומי עליה וירידה|תחומי עלייה וירידה]] של הפונקציה, [[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/נקודות קיצון מקומיות|נקודות קיצון]] ועוד.{{ש}}
'''[[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/משיק|משיק]] -''' ישר העובר דרך נקודה כלשהי על העקומה וכיוונו זהה לכיוון העקומה באותה נקודה. המשיק הינו קו ישר הנוגע ("נושק") לפונקציה בנקודה, אך הוא לא חותך אותה שנית באותו איזור. המשיק הוא כאמור קו ישר, ולכן יש לו שיפוע מוגדר.{{ש}}
 
'''נקודת ההשקה -''' נקודה קבועה על הפונקציה ממנה מעבירים את המשיק. במהלך הפרק נסמן אותה כ- (a,b).
'''[[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/משיק|משיק]] -''' ישר העובר דרך נקודה כלשהי על העקומה וכיוונו זהה לכיוון העקומה באותה נקודה. המשיק הינו קו ישר הנוגע ("נושק") לפונקציה בנקודה, אך הוא לא חותך אותה שנית באותו איזור. המשיק הוא כאמור קו ישר, ולכן יש לו שיפוע מוגדר.{{ש}}
 
'''נקודת ההשקה -''' נקודה קבועה על הפונקציה ממנה מעבירים את המשיק. במהלך הפרק נסמן אותה כ- <math>(a,b)</math> .
 
=ה"בעיה" במציאת נגזרת=
[[קובץ:Linear function.JPG|right|thumb|100px| עבור אותה נקודת השקה,נקבל את אותו שיפוע מכל נקודה שקיימת על הפונקציה]]
[[קובץ:Tangent as Secant Limit.svg|left|thumb|200px|בפרבולה ניתן להעביר מספר משיקים]]
בניגוד לפונקציה לינארית (קו ישר), לה יש שיפוע שאינו משתנה מנקודה לנקודה, אצל שאר הפונקציות ניתן להעביר מספר מיתרים מנקודת ההשקה ולקבל ערך שיפוע שונה. במילים אחרות, בפונקציה לינארית, ניתן להעביר מיתר בין כל שתי נקודות על הפונקציה ולקבל את אותו השיפוע.
במילים אחרות, בפונקציה לינארית, ניתן להעביר מיתר בין כל שתי נקודות על הפונקציה ולקבל את אותו השיפוע.
 
לעומת זאת, בשאר הפונקציות המצב שונה. כל שתי נקודות "מגדירות" שיפוע שונה. לכן, החליטו כי שיפוע יקבע על -פי המיתר הקצר ביותר (= '''ישר גבולי''') שניתן להעביר בין נקודת ההשקה לנקודה הקרובה ביותר אליה. כיון ש''ככל שהנקודות יותר קרובות זו לזו, ההערכה של ערך השיפוע, יותר מדויק''. מיתר גבולי זה יקרא משיק.
 
==דוגמא==
'''הפונקציה :''' <math>y=x^2</math>
 
'''<math>A</math> '''- נקודת ההשקה:''' <math>(a,b)</math> . נניח כי נקודת ההשקה שלנו היא <math>(1,1)</math> .
 
'''<math>B</math> '''- נקודה שניה:''' <math>(x,y)</math> - יכולה להיות כל הנקודות הקיימות על הפנקציההפונקציה (פרט מנקודת ההשקה). ה''<span style="color: BLUE;">שאיפה</span>'' שלנו היא שהנקודה תהיה הנקודה הקרובה ביותר לנקודת ההשקה בכדי שערך השיפוע יהיה המדוייקהמדויק ביותר. במקרה שלנו (הצבה בפונקציה למציאת הקשר בין <math>x</math> ל- <math>y</math>) , הנקודה היא <math>(x,x^2)</math> .
 
'''השיפוע : ''' <math>m=\frac{x^2-1}{x-1}</math>
 
===מציאת הנגזרת===
*'''מימין או משמאל? -''' נזכיר כי הנקודה <math>B</math> יכולה להיות מימין ל- <math>A</math> או משמאלה.
**אם הנקודה <math>B</math> מימין ל- <math>A</math> ערכי <math>x</math> שלה גדולים מ-1 (מערך <math>x_A</math>) .
**אם הנקודה <math>B</math> משמאל ל- <math>A</math> ערכי <math>x</math> שלה קטנים מ-1 (מערך <math>x_A</math>) .
*נזכיר: ''ככל שהנקודה תהיה קרובה יותר לנקודת ההשקה, כך ערך השיפוע יהיה מדויק יותר''.
 
<math>x</math> מימין :
{| class="wikitable" border="1"
| 0.9
| 0.8
| 0.7
! <math>x</math>
|'''x'''
|-
| 1.9
| 1.8
| 1.7
|! <math>m =\frac {x^2-1}{x-1}</math>
|}
ככל שמתקרבים אל 1 (ערך <math>x</math> של נקודת ההשקה), כך ערך השיפוע קרב אל ערכו המדויק (2).
 
<math>x</math> משמאל :
{| class="wikitable" border="1"
| 1.1
| 1.2
| 1.3
! <math>x</math>
|'''x'''
|-
| 2.1
| 2.2
| 2.3
|! <math>m=\frac{x^2-1}{x-1}</math>
|}
 
שוב, מגיעים אל אותה מסקנה - ככל שמתקרבים אל 1 (ערך <math>x</math> של נקודת ההשקה), כך ערך השיפוע קרב אל ערכו המדויק (2) כיון ש''ככל שהנקודות יותר קרובות זו לזו, ההערכה של ערך השיפוע, יותר מדויק''
 
==טבלה==
אם נביט בטבלה, נוכל לראות שוב כי ככל שערכי ה-<math>x</math> מתקרבים לערך של אחד1, כך, מגיעים אל ערך השיפוע המדויק יותר.
 
<center>
<table cellpadding=5 border="1" align="center">
{| class="wikitable" border="1" style="text-align:center"
<tr><td align="center">'''x'''</td><td align="center">'''y'''</td><td align="center">'''הנקודה'''</td><td align="center">'''שיפוע הישר'''</td></tr>
!width=20px| <math>x</math>
<tr><td align="center">5</td><td align="center">25</td><td align="center">(5,25)</td><td align="center"><math>\frac{25-1}{5-1}=6</math></td></tr>
!width=20px| <math>y</math>
<tr><td align="center">4</td><td align="center">16</td><td align="center">(4,16)</td><td align="center"><math>\frac{16-1}{4-1}=5</math></td></tr>
! הנקודה
<tr><td align="center">3</td><td align="center">9</td><td align="center">(3,9)</td><td align="center"><math>\frac{9-1}{3-1}=4</math></td></tr>
! שיפוע הישר
<tr><td align="center">2</td><td align="center">4</td><td align="center">(2,4)</td><td align="center"><math>\frac{4-1}{2-1}=3</math></td></tr>
|-
<tr><td align="center">1.5</td><td align="center">2.25</td><td align="center">(1.5,2.25)</td><td align="center"><math>\frac{2.25-1}{1.5-1}=2.5</math></td></tr>
| 5
<tr><td align="center">1.3</td><td align="center">1.69</td><td align="center">(1.3,1.69)</td><td align="center"><math>\frac{1.69-1}{1.3-1}=2.3</math></td></tr>
| 25
<tr><td align="center">1.1</td><td align="center">1.21</td><td align="center">(1.1,1.21)</td><td align="center"><math>\frac{1.21-1}{1.1-1}=2.1</math></td></tr>
| <math>(5,25)</math>
<tr><td align="center">1.05</td><td align="center">1.1025</td><td align="center">(1.05,1.1025)</td><td align="center"><math>\frac{1.1025-1}{1.05-1}=2.05</math></td></tr>
| <math>\frac{25-1}{5-1}=6</math>
<tr><td align="center">1.01</td><td align="center">1.0201</td><td align="center">(1.01,1.0201)</td><td align="center"><math>\frac{1.0201-1}{1.01-1}=2.01</math></td></tr>
|-
</table>
| 4
| 16
| <math>(4,16)</math>
| <math>\frac{16-1}{4-1}=5</math>
|-
| 3
| 9
| <math>(3,9)</math>
| <math>\frac{9-1}{3-1}=4</math>
|-
| 2
| 4
| <math>(2,4)</math>
| <math>\frac{4-1}{2-1}=3</math>
|-
| 1.5
| 2.25
| <math>(1.5,2.25)</math>
| <math>\frac{2.25-1}{1.5-1}=2.5</math>
|-
| 1.3
| 1.69
| <math>(1.3,1.69)</math>
| <math>\frac{1.69-1}{1.3-1}=2.3</math>
|-
| 1.1
| 1.21
| <math>(1.1,1.21)</math>
| <math>\frac{1.21-1}{1.1-1}=2.1</math>
|-
| 1.05
| 1.025
| <math>(1.05,1.025)</math>
| <math>\frac{1.025-1}{1.05-1}=2.05</math>
|-
| 1.01
| 1.0201
| <math>(1.01,1.0201)</math>
| <math>\frac{1.0201-1}{1.01-1}=2.01</math>
|}
</center>
 
=גבול (lim)=