מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/הקשר בין גרף פונקציה וגרף נגזרת: הבדלים בין גרסאות בדף

נושא זה דן בקשר שבין גרף של פונקציה לגרף של הנגזרת שלה או של הנגזרת השנייההשניה שלה. עד כה נתנו לנו שאלות שבהן קיבלנו נתונים. בשאלות מסוג "התנהגות פונקציה", נקבל גרף שממנו עלינו להוציא נתונים שבעזרתם נבנה גרף חדש. כאשר מקבלים גרף יש ליצור טבלה. הטבלה תיראהתראה כך:

| הצבת <math>x</math> של הנקודות הנתונות

| פונקציה עולה/יורדת על -פי ההסברים שיופיעו בהמשך

! <math>y'</math> – אם מדובר על הקשר שלו לפונקציה

! <math>y''</math> – אם מדובר על הקשר שלו לפונקציה

# כשהנגזרת שלילית (הנקודה נמצאת מתחת ציר <math>x</math>) – הפונקציה יורדת.

# כשהנגזרת שווה אפס – נקודת קיצון או נקודת פיתול; תלוי בשיפוע: עלייה לעלייה או ירידה לירידה – פיתול (יראה בגרף הנגזרת כנקודת קיצון שלה), ירידה לעליה או עליה לירידה – נקודת קיצון (של הפונקציה).

# כשנגזרת חיובית (הנקודה נמצאת מעל ציר <math>x</math>) – פונקציה עולה.

# נקודות החיתוך של הנגזרת עם ציר ה-X<math>x</math> הן נקודות הקיצון של הפונקציה

==קשר בין פונקציה לנגזרתה השנייההשניה==

# כשהנגזרת שלילית (הנקודה מתחת ציר <math>x</math>) – הפונקציה יורדת (השיפוע שלילי).

# כשהנגזרת השנייה שווה אפס – נקודת קיצון (מעבר בין עלייהעליה לירידה או ירידה לעלייהלעליה) או פיתול (נגזרת ראשונה ושנייהושניה שוות לאפסל-0 או מעבר מעלייהמעליה לעלייהלעליה או מירידה לירידה).

# כשהנגזרת חיובית (נקודת נמצאת מעל ציר <math>x</math>) – הפונקציה עולה (השיפוע חיובי).

==קשר בין נגזרת ראשונה לנגזרת שנייהשניה==

נגזרת שנייהשניה היא נגזרת ראשונה של נגזרת הפונקציה. לכן, חלים עליה אותם כללים של נגזרת:

# כשהנגזרת (השנייההשניה) שלילית – הפונקציה (נגזרת ראשונה) יורדת.

# כשהנגזרת (השנייההשניה) שווה אפס0 – זו נקודת קיצון או נקודת פיתול (עבור נגזרת ראשונה!); תלוי בשיפוע (עלייהעליה לעלייהלעליה או ירידה לירידה – פיתול, ירידה לעלייהלעליה או עלייהעליה לירידה – נקודת קיצון).

# כשהנגזרת (השנייההשניה) חיובית – הפונקציה (נגזרת ראשונה) עולה.

{{הארה| נקודת קיצון של נגזרת ראשונה מתבטאת במעבר מירידה לעלייהלעליה או מעלייהמעליה לירידה. אין די נתונים בשאלות כאלה, ולכן, בדרך כלל, נהוג לצייר את הגרף של נגזרת שנייה באמצעות פונקציה ליניאריתלינארית (עולה או יורדת), אף על פי שאין זה מחייב שהפונקציה תיראהתראה כך}}

# סידור ה-<math>x</math> בטבלה על -פי הסדר שמתואר.

# רשימת Y באופן הבא: הנתונים שיופיעו בטבלה יהיו על -פי '''Y'''<math>y</math> של הנקודה כאשר בסוגריים נכתוב:

#* עלייהעליה/ירידה.

#* נקודה מעל/מתחת ציר <math>x</math> .

===דוגמהדוגמא===

[[קטגוריה : מתמטיקה לתיכון]]