|
==משיק למעגל מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה==
[[תמונה:Tangent1.png|left]]
'''נתונים''' - מעגל וישר lL כלשהו שמשיק לו. (אפשר לשרטט לבד - ההוכחה לא דורשת בניות עזר מיוחדות).
'''הוכחה''' - נתבונן על סדרת המרחקים ממרכז המעגל לנקודה כלשהי על הישר. נתעלם לרגע מקיומו של המעגל ונתייחס למרכז המעגל כאל נקודה רגילה. אם כך, המרחק הקצר ביותר מאותה נקודה לישר הוא אורך האנך שיורד מהנקודה אל הישר. משום שהמשיק עובר דרך המעגל, גודלו של המרחק הזה הוא רדיוס המעגל - כלומר, קיבלנו שהרדיוס מאונך למשיק בנקודת ההשקה. מש"ל.
אם כך, המרחק הקצר ביותר מאותה נקודה לישר הוא אורך האנך שיורד מהנקודה אל הישר.
משום שהמשיק עובר דרך המעגל, גודלו של המרחק הזה הוא רדיוס המעגל- כלומר, קיבלנו שהרדיוס מאונך למשיק בנקודת ההשקה. מש"ל.
==ישר המאונך לרדיוס בקצהו משיק למעגל==
''';נתונים''' -
1) AO רדיוס
2) A נקודת החיבור של הרדיוס עם הישר l.
3) lL מאונך ל-AO.
4) נניח בדרך השלילה: l אינו משיק למעגל.
6) ב.ע. BO רדיוס לנקודת החיתוך הנוספת.
7) <math>\ BO=AO</math> (כל הרדיוסים שווים במעגל, לפי 1,6)
8) <math>\!\, \anglemeasuredangle OBA=\anglemeasuredangle OAB=90^\circ</math> (זווית הבסיס שוות במשולש שווה שוקיים, לפי 3,7)
9) קיבלנו סתירה (סכום הזווית במשולש ABO גדול מ-180, לפי 8).
==שני משיקים למעגל היוצאים מאותה נקודה שווים זה לזה עד לנקודת ההשקה==
1) AB, AC משיקים למעגל שמרכזו O
2) ב.ע. OB, OC רדיוסים לנקודות ההשקה.
3) ב.ע. OA ישר העובר במרכז המעגל ובנקודת חיתוך המשיקים
4) <math>\!\, \anglemeasuredangle OBA=\anglemeasuredangle OCA=90</math> (משיק למעגל מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה)
5) <math>\!\, OA=OA</math> (שוויון הינו [[רפלקסיביות|רפלקסיבי]] - כל דבר שווה לעצמו)
6) <math>\!\, OB=OC</math> (כל הרדיוסים שווים במעגל)
7) <math>\!\, \Deltatriangle OCA\cong\Deltatriangle OBA</math> (מ1מ-1,3,4 משפט חפיפה רביעי - צ.צ.ז)
8) <math>\!\, AB=AC</math> (צלעות מתאימות במשולשים חופפים - נובע מ7)
==קטע העובר במרכז המעגל ובנקודת חיתוך שני משיקים חוצה את הזוויתהזוית שביניהם==
''';נתונים''' -
1) AB, AC משיקים למעגל שמרכזו O ▼
▲1) AB, AC משיקים למעגל שמרכזו O
;הוכחה
2) ב.ע. OB, OC רדיוסים לנקודות ההשקה.
3) <math>\!\, OA=OA</math> (שוויון הינו [[רפלקסיביות|רפלקסיבי]] - כל דבר שווה לעצמו)
4) <math>\!\, OB=OC</math> (כל הרדיוסים שווים במעגל)
5) <math>\!\, AB=AC</math> (כתוצאה מהמשפט הקודם)
6) <math>\!\, \Deltatriangle OCA\cong\Deltatriangle OBA</math> (מ3מ-3,4,5 משפט חפיפה ראשון - צ.צ.צ)
7) <math>\!\, \anglemeasuredangle OAB=\angle OAC</math> (זוויותזויות מתאימות במשולשים חופפים - נובע מ6)
==הזוויתהזוית בין משיק למיתר הנחתכים בנקודת ההשקה שווה לזווית ההיקפית הנשענת על המיתר מצידו השני==
''';נתונים''' -
שרטט מעגל שמרכזו בנקודה O.
שרטט מיתר כלשהו במעגל; נקרא לו AB .
נשלים שרטוט של דלתון OACB. רצוי גם לחתוך אותו בקו OC.
צריך להוכיח:
זוויתזוית ABC שווה לזווית AOC (כי זווית AOB כפולה ממנה, וזווית היקפית הנשענת על AB היא, מצד אחד, שוה לזווית AOC, ומצד שני- ל-משלימה ל-180).
''';הוכחה''' -
ההוכחה מתבססת על "זווית שבין רדיוס למשיק הינה זווית ישרה".
יש לנו 2 זויות כאלה - למשל: OAC .
| 