מתמטיקה תיכונית/גיאומטריה אוקלידית/משיק למעגל: הבדלים בין גרסאות בדף

תוכן שנמחק תוכן שנוסף
אין תקציר עריכה
אין תקציר עריכה
שורה 2:
 
==משיק למעגל מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה==
[[תמונה:Tangent1.png|leftשמאל]]
;נתונים
'''נתונים''' - מעגל וישר <math>L</math> כלשהו שמשיק לו. (אפשר לשרטט לבד - ההוכחה לא דורשת בניות עזר מיוחדות).
 
;הוכחה
שורה 10 ⟵ 11:
==ישר המאונך לרדיוס בקצהו משיק למעגל==
;נתונים
1) <math>AO</math> רדיוס
 
2) <math>A</math> נקודת החיבור של הרדיוס עם הישר l.<math>L</math>
 
3) <math>L\perp AO</math>
3) L מאונך ל-AO.
 
;הוכחה
4) נניח בדרךבשלילה השלילה: l<math>L</math> אינו משיק למעגל.
 
5) l<math>L</math> חותך את המעגל בנקודה נוספת <math>B</math> . (ישר החותך את המעגל ואינו משיק לו חותך אותו בשתי נקודות, לפי 2,4)
 
6) ב.ע. <math>BO</math> רדיוס לנקודת החיתוך הנוספת.
 
7) <math>BO=AO</math> (כל הרדיוסים שווים במעגל, לפי 1,6)
שורה 27 ⟵ 28:
8) <math>\measuredangle OBA=\measuredangle OAB=90^\circ</math> (זווית הבסיס שוות במשולש שווה שוקיים, לפי 3,7)
 
9) קיבלנו סתירה (סכום הזוויתהזויות במשולשב- <math>\triangle ABO</math> גדול מ-180, לפי 8).
 
==שני משיקים למעגל היוצאים מאותה נקודה שווים זה לזה עד לנקודת ההשקה==
;נתונים
1) <math>AB, AC</math> משיקים למעגל שמרכזו <math>O</math>
 
;הוכחה
2) ב.ע. <math>OB, OC</math> רדיוסים לנקודות ההשקה.
 
3) ב.ע. <math>OA</math> ישר העובר במרכז המעגל ובנקודת חיתוך המשיקים
 
4) <math>\measuredangle OBA=\measuredangle OCA=90</math> (משיק למעגל מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה)
שורה 50 ⟵ 51:
==קטע העובר במרכז המעגל ובנקודת חיתוך שני משיקים חוצה את הזוית שביניהם==
;נתונים
1) <math>AB, AC</math> משיקים למעגל שמרכזו O
 
;הוכחה
שורה 63 ⟵ 64:
6) <math>\triangle OCA\cong\triangle OBA</math> (מ-3,4,5 משפט חפיפה ראשון - צ.צ.צ)
 
7) <math>\measuredangle OAB=\angle OAC</math> (זויות מתאימות במשולשים חופפים - נובע מ6מ-6)
 
==הזויתזוית בין משיק למיתר הנחתכים בנקודת ההשקה שווה לזוויתלזוית ההיקפיתההקפית הנשענת על המיתר מצידומצדו השני==
[[תמונה:Circumcircle Angles 1.svg|שמאל|ממוזער|200px]]
;נתונים
:שרטט מעגל שמרכזו בנקודה <math>O</math> .
:שרטט מיתר כלשהו<math>AB</math> במעגל; נקרא לו AB .
:נמשוך משיקים מנקודות <math>A,B</math> שייפגשו בנקודה <math>AC</math> .
גם מנקודה A וגם מנקודה B - נמשוך משיקים; אלה ייפגשו בנקודה C .
:נשלים שרטוט של דלתון <math>OACB</math> . רצוי גם לחתוך אותו בקו <math>OC</math> .
:<u>צ"ל:</u>
צריך להוכיח:
:<math>\measuredangle ABC=\measuredangle AOC</math>
זוית ABC שווה לזווית AOC (כי זווית AOB כפולה ממנה, וזווית היקפית הנשענת על AB היא, מצד אחד, שוה לזווית AOC, ומצד שני- ל-משלימה ל-180).
 
;הוכחה