ויקיספר

חשבון אינפיניטסימלי/אינטגרציה/אינטגרל מוכלל: הבדלים בין גרסאות בדף

עיון אינטראקטיבי בהיסטוריה
→ העריכה הקודמתהעריכה הבאה ←
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
חזותיקוד ויקי
אין תקציר עריכה
שורה 50:
 
==אינטגרלים מוכללים של פונקציות לא-חסומות==
תהי <math>f:[a,b)\to\R</math> פונקציה בלתילא-חסומה.
 
נגדיר: אם מתקיים <math>f</math> אינטגרבילית בקטע הסגור <math>[a,t]\subset[a,b)</math> , אזי <math>\int\limits_a^b f(x)dx=\lim_{t\to b^-}\int\limits_a^t f(x)dx</math> בתנאי שהגבול קיים.
שורה 56:
עבור המקרה <math>(a,b]</math> נגדיר <math>\int\limits_a^b f(x)dx=\lim_{t\to a^+}\int\limits_t^b f(x)dx</math> בתנאי שהגבול קיים.
 
אם קיימת נקודה <math>c\in[a,b]</math> בה <math>f</math> לא חסומה, אזי <math>\int\limits_a^b f(x)dx=\lim_{st_1\to c^-}\int\limits_a^s {t_1}f(x)dx+\lim_{tt_2\to c^+}\int\limits_tlimits_{t_2}^b f(x)dx</math> בתנאי שגבולות האינטגרלים בצד ימין קיימים.
 
===דוגמאות===
שורה 72:
<center>
<math>\begin{align}
\int\limits_{-1}^1\frac{dx}{\sqrt[3]{x^2}}&
=\lim_{st_1\to0^-}\int\limits_{-1}^s{t_1}\frac{dx}{\sqrt[3]{x^2}}+\lim_{tt_2\to0^+}\int\limits_tlimits_{t_2}^1\frac{dx}{\sqrt[3]{x^2}}\\
&=\lim_{st_1\to0^-}3\sqrt[3]{x}\Bigg|_{-1}^s{t_1}+\lim_{tt_2\to0^+}3\sqrt[3]{x}\Bigg|_t_{t_2}^1\\
&=\lim_{st_1\to0^-}\Big[3\sqrt[3]{st_1}-3\sqrt[3]{-1}\Big]+\lim_{tt_2\to0^+}\Big[3\sqrt[3]{1}-3\sqrt[3]{tt_2}\Big]=3+3=6
\end{align}</math>
</center>
אוחזר מתוך "https://he.wikibooks.org/wiki/חשבון_אינפיניטסימלי/אינטגרציה/אינטגרל_מוכלל"