מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/חוקי החשבון/חוקי חשבון חזקות: הבדלים בין גרסאות בדף

תוכן שנמחק תוכן שנוסף
אין תקציר עריכה
שורה 13:
*דרך נוספת לסמן חזקות היא באמצעות סימן הגג: ^. למשל 5^3 זה 3 בחמישית, a^b זה a בחזקת b וכו'.
 
===משמעות החזקה עם מעריך טבעי===
אם ה{{מונח/חזקות מעריך}} הוא {{מונח/מספר טבעי}} אזי החזקה היא '''הבסיס כפול עצמו כמספר הפעמים שכתוב במעריך'''.
לדוגמא, כדי לחשב את החזקה <math>\ 3^{4}</math>, עלינו לכפול את 3 בעצמו 4 פעמים על מנת לקבל את הערך של החזקה. כלומר:</br>
<div style="direction: ltr;"><math>\ 3^{4}=3 \times 3 \times 3 \times 3</math></div>
 
באופן כללי ניתן להציג חזקה עם {{מונח/חזקות בסיס}} <math>\ a</math> ו{{מונח/חזקות מעריך}} שהוא {{מונח/מספר טבעי}} <math>\ n</math> בצורה הבאה:
<div style="direction: ltr;"><math>\ a^{n}=\underbrace{a\times{a}\times{a}\cdots\times{a}}_{n\;\;times}</math></div>
 
דוגמה: חשב את החזקה <math>5^3\,</math>
:פתרון: <math>5^3=5\times{5}\times{5}=125 \,</math>
 
דוגמה: חשב את החזקה <math>2^8\,</math>
:פתרון: <math>2^8=\underbrace{2\times{2}\times\cdots\times{2}}_{8\;\;times}=256 \,</math>
 
דוגמה: חשב את החזקה <math>(\frac{1}{2})^2\,</math>
:פתרון: <math>\left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{1\cdot 1}{2\cdot 2}=\frac{1}{4}\,</math>
 
דוגמה: חשב את החזקה <math>(-1)^3\,</math>
:פתרון: <math>(-1)^{3}=(-1)\times(-1)\times(-1)=(-1)\,</math>
 
===פעולות על חזקות===
{| class="wikitable" border="1"
|-
!פעולת החשבון המבוקשת
!פעולה
! המחשה
!חוקיות
!הסבר
! דוגמה
!דוגמה
|-
| כפל חזקות עם אותו בסיס
| שורה 1, תא 1
|<math>{a}^{b}\cdot{a}^{c}=a^{b+c}</math>
| שורה 1, תא 2
|
| שורה 1, תא 3
|-
| שורה 2, תא 1
| שורה 2, תא 2
| שורה 2, תא 3
|}
 
נבדוק כיצד לכפול חזקות עם אותו בסיס:
<div style="direction: ltr;">
<math>
a^b \cdot a^c =
\overbrace{
\underbrace{a \cdot a \cdot a \cdots a}_{b\;\;times} \cdot \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdots a}_{c\;\;times}
}^{b+c\;\;times} =
a^{b+c}
</math>
</div>
 
אם נסתכל על הנוסחה הפוך נבין כיצד לפרש סכום במכנה.
===פעולות על חזקות===
<div style="direction: ltr;">
====חיבור וחיסור מעריכים בחזקות====
כאשר החזקות הן בעלות אותו הבסיס, כפל של שתי חזקות מביא ל'''חיבור/חיסור המעריכים''' כלומר
<center>
<math>
a^{b+c} =
a^{2}\cdot{a}^{4}=a^{2+4}=a^{6}
\overbrace{
\underbrace{a \cdot a \cdot a \cdots a}_{b\;\;times} \cdot \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdots a}_{c\;\;times}
}^{b+c\;\;times} =
a^b \cdot a^c
</math>
</centerdiv>
 
או באופן כללי
על כן כאשר החזקות הן בעלות אותו הבסיס, כפל של שתי חזקות מביא ל'''חיבור/חיסור המעריכים'''.
<center>
|<math>a^{2}\cdot{a}^{4}=a^{2+4}=a^{6}</math>
|-
| חילוק חזקות עם אותו בסיס
| <math>\frac{{a}^{b}}{{a}^{c}}={a}^{b-c}</math>
|
נבדוק כיצד לחלק חזקות עם אותו בסיס: <math>\frac{a^b}{a^c}</math>.
נבחין בשלושה מקרים.
 
מקרה א': b גדול מ- c.
<div style="direction: ltr;">
<math>
\frac{a}^{b}\cdot{a}^{c} =a^{b+c}
\frac{\overbrace {a \cdot a \cdot a \cdots a}^{b\;\;times}}
{\underbrace{a \cdot a \cdot a \cdots a}_{c\;\;times}}
=
</math>
</centerdiv>
c + (b-c) = b
<div style="direction: ltr;">
<math>
\frac{\overbrace {a \cdot a \cdot a \cdots a}^{c\;\;times} \overbrace {a \cdot a \cdot a \cdots a}^{b-c\;\;times}}
{\underbrace{a \cdot a \cdot a \cdots a}_{c\;\;times}} =
</math>
</div>
נצמצם מספר שווה של a במונה ובמכנה.
<div style="direction: ltr;">
<math>
\frac{\overbrace {\not{a} \cdot \not{a} \cdot \not{a} \cdots \not{a}}^{c\;\;times} \overbrace {a \cdot a \cdot a \cdots a}^{b-c\;\;times}}
{\underbrace{\not{a} \cdot \not{a} \cdot \not{a} \cdots \not{a}}_{c\;\;times}} =
</math>
</div>
 
<div style="direction: ltr;">
באופן דומה, חילוק שתי חזקות יביא ל'''חיסור''' המעריכים.
<centermath>
\overbrace {a \cdot a \cdot a \cdots a}^{b-c\;\;times} = a^{b-c}
<math>\frac{{a}^{b}}{{a}^{c}}={a}^{b-c}</math></br>
</centermath>
</div>
 
ניתן להשתמש בנוסחה גם בכיוון ההפוך:
נשים לב שחיסור חזקות יוכל להביא לכך שהמעריך יהיה אפס או מספר שלילי. לכן נראה בהמשך כיצד ניתן להגדיר חזקות עם מעריך שאינו מספר חיובי בצורה שתהיה אחידה עם החוק שהצגנו כאן.
<div style="direction: ltr;">
 
====חזקה של חזקה====
נבדוק מה קורה במקרה של חזקה של חזקה. למשל במקרה של
<center>
<math>
{\left(a^{b-c} = \right)}frac{a^b}{a^c}
</math>
</centerdiv>
 
על מנת לפתור את השאלה, נשתמש ב{{מונח/חוקי חזקות מכפלה}}
דוגמה: חשב את <math>\frac{a^4}{a^2}</math>
שכבר למדנו, לכפל של שתי חזקות עם אותו {{מונח/חזקות בסיס}}.
:פתרון: על פי {{מונח/חוקי חזקות הפרש מעריכים}}: <math>\frac{a^5}{a^3} = a^{5-3} = a^2</math>
<center>
 
<math>
נשים לב שחיסור חזקות יוכל להביא לכך שהמעריך יהיה אפס או מספר שלילי. לכן נראה בהמשך כיצד ניתן להגדיר חזקות עם מעריך שאינו מספר חיובי בצורה שתהיה אחידה עם החוק שהצגנו כאן.
|
|-
|חזקה של חזקה
|<math>
{\left(a^{b}\right)}^{c}=
\underbrace{
שורה 70 ⟵ 128:
a^{\overbrace{b+b+b \cdots b}^{c\;\;times}}
=
a^{b\cdot c} }={\left(a^{c}\right)}^{b
{\left(a^{c}\right)}^{b}
</math>
|נשתמש ב{{מונח/חוקי חזקות מכפלה}} שכבר למדנו, לכפל של שתי חזקות עם אותו {{מונח/חזקות בסיס}}.
</center>
|
|-
|מעריך 0
|<math>\ a^0=1</math> כאשר <math>\ a\ne 0</math>
|נבדוק מה קורה כאשר המעריך שווה ל-0. לצורך כך נשתמש בנוסחה לחילוק חזקות עם אותו בסיס.
נשתמש בעובדה ש <math>b-b = 0</math>
<div style="direction: ltr;">
<math>a^0 = a^{b-b} = \frac{a^b}{a^b} = 1</math>
</div>
לסיכום: כל מספר בחזקת 0 שווה ל-1. <math>a^0 = 1</math>
* יוצא מן הכלל: <math>0^0</math>. הביטוי 0 בחזקת 0 אינו מוגדר..
|
|-
|חזקות עם מעריך שלילי
|<math>
a^{-b}=\frac{1}{a^{b}}
</math>
|נבדוק מה קורה כאשר המעריך שלילי:
<div style="direction: ltr;">
<math>a^{-b} = a^{0-b} = \frac{a^0}{a^b} = \frac{1}{a^b}</math>
</div>
 
דוגמה: חשב את <math>2^{-1}</math>
===חזקות שאינן חיוביות===
:פתרון:<math>2^{-1} = \frac{1}{2^1} = \frac{1}{2}</math>
====חזקות של המעריך 0====
חזקות אלו לפי ההגדרה תמיד שוות 1 לבסיס שונה מ-0. כלומר, לכל <math>\ a\ne 0</math> מתקיים <math>\ a^0=1</math>.
 
* הערה: 0 בחזקת מספר שלילי שוב ייתן חלוקה באפס ולכן אינו מוגדר: <math>0^{-a} = \frac{1}{0^a} = \frac{1}{0}</math>
כדי להבין את המניע להגדרה הזו ניזכר בחוק החיסור של המעריכים. לכל <math>\ a\ne 0</math> ועבור <math>\ n>0</math> כלשהו מתקיים <math>\ \frac{a^n}{a^n}=a^{n-n}=a^{0}</math> והרי <math>\ \frac{a^n}{a^n}=1</math> כי המונה והמכנה שווים.
|
 
בהצדקה הזו לא ניתן להשתמש כאשר הבסיס הוא 0, ואכן לרוב הביטוי <math>\ 0^0</math> נותר בלתי מוגדר. עם זאת נוח במקרים מסויימים להגדיר אותו בתור 1 גם כן. לא נציג כאן מקרים אלו.
 
====חזקות עם מעריך שלילי====
חזקות בעלות מעריך שלילי מוגדרות להיות ההופכי של חזקה דומה עם מעריך חיובי. כלומר</br>
<center>
<math>
a^{-b}=\frac{1}{a^{b}}
</math>
</center></br>
 
|-
למעשה, ההגדרה נכונה לכל מעריך שהוא '''נגדי''' למעריך אחר. כלומר, עבור כל מעריך <math>\ b</math> מתקיים הכלל</br>
|מעריך 1
<center>
|<math>a^1 = a</math>
|כל מספר בחזקת 1 שווה לעצמו זאת בגלל הגדרת החזקה.
a^{-b}=\frac{1}{a^{b}}
|
</math>
|-
</center></br>
|חזקה של 1
|<math>1^a = 1</math>
|1 בחזקת כל מספר שווה ל-1. זאת בגלל שלא משנה כמה נכפול אותו בעצמו, הוא יישאר 1 זאת בגלל הגדרת החזקה.
|
|-
|חזקה של אפס
|<math>0^a = 0</math>
|0 הוא מספר מיוחד בחזקות, והוא אינו מוגדר עבור כל כל מעריך. עם מעריך שהוא {{מונח/מספר טבעי}} ברור לנו שלא משנה כמה פעמים נכפול 0 בעצמו, נקבל 0 עבור a טבעי.
|
|-
|כפל חזקות עם אותו מעריך
|<math>{\displaystyle a^{c}\cdot b^{c}=}{\displaystyle (a\cdot b)^{c}}</math>
|כאשר כופלים חזקות עם אותו מעריך, אפשר להוציא את המעריך מחוץ לסוגריים. הבה נראה זאת:
 
<div style="direction: ltr;"><math>a^c\cdot b^c = </math></div>
<div style="direction: ltr;"><math>\underbrace{a\cdot a \cdot a \cdots a}_{c\;\;times} \cdot \underbrace{b\cdot b \cdot b \cdots b}_{c\;\;times} = </math></div>
על פי {{מונח/חוק החילוף בכפל}}, נסדר אחרת את המשוואה:
<div style="direction: ltr;"><math>\underbrace{\underbrace{a\cdot b} \cdot \underbrace{a \cdot b} \cdot \underbrace{a \cdot b} \cdots \underbrace{a \cdot b}}_{c\;\;times} = </math></div>
על פי {{מונח/חוק הקיבוץ בכפל}} נוסיף סוגריים:
<div style="direction: ltr;"><math>\underbrace{(a\cdot b) \cdot (a \cdot b) \cdot (a \cdot b) \cdots (a \cdot b)}_{c\;\;times} = </math></div>
על פי הגדרת החזקה:
<div style="direction: ltr;"><math>(a\cdot b)^c </math></div>
|
|-
|חילוק חזקות עם אותו מעריך=
|<math>{\displaystyle {\frac {a^{c}}{b^{c}}}=}{\displaystyle \left({\frac {a}{b}}\right)^{c}}</math>
|כאשר מחלקים חזקות עם אותו מעריך, באותו אופן ניתן שוב להוציא את המעריך מחוץ לסוגריים. הבה נראה זאת:
 
<div style="direction: ltr;"><math>\frac{a^c}{b^c} = </math></div>
נפתח את החזקה:
<div style="direction: ltr;"><math>\frac{\overbrace{a\cdot a \cdot a \cdots a}^{c\;\;times}} {\underbrace{b\cdot b \cdot b \cdots b}_{c\;\;times}} = </math></div>
נסדר אחרת את השבר:
<div style="direction: ltr;"><math>\underbrace{\frac{a}{b}\cdot\frac{a}{b}\cdot\frac{a}{b}\cdots\frac{a}{b}}_{c\;\;times}</math></div>
על פי הגדרת החזקה:
<div style="direction: ltr;"><math>\left(\frac{a}{b}\right)^c </math></div>
|
|}
 
 
ההצדקה להגדרה זו נובעת גם היא מחוקי החיסור של חזקות. הרי אם <math>\ a\ne 0</math> אז <math>\ a^{-b}=a^{0-b}=\frac{1}{a^b}</math> על פי הכללים שכבר למדנו.
 
===סיכום===
מכיוון שלא ניתן לחלק באפס, הביטוי <math>\ 0^{-b}</math> עבור <math>\ b>0</math> איננו מוגדר.
<math>a^b\,</math>: a-בסיס, b-מעריך. יש לבטא a בחזקת b.
#<div style="direction: ltr; margin-bottom:6px;"><math>a^1 = a\,</math></div>
#<div style="direction: ltr; margin-bottom:6px;"><math>1^a = 1\,</math></div>
#<div style="direction: ltr; margin-bottom:6px;"><math>0^a = 0, (a > 0)\,</math></div>
#<div style="direction: ltr; margin-bottom:6px;"><math>a^{b+c} = a^b \cdot a^c\,</math></div>
#<div style="direction: ltr; margin-bottom:6px;"><math>a^{b-c} = \frac{a^b}{a^c}\,</math></div>
#<div style="direction: ltr; margin-bottom:6px;"><math>a^0 = 1\,</math></div>
#<div style="direction: ltr; margin-bottom:6px;"><math>a^{-b} = \frac{1}{a^b}\,</math></div>
#<div style="direction: ltr; margin-bottom:6px;"><math>a^{-1} = \frac{1}{a}\,</math></div>
#<div style="direction: ltr; margin-bottom:6px;"><math>(a\cdot b)^c = a^c \cdot b^c\,</math></div>
#<div style="direction: ltr; margin-bottom:6px;"><math>\left(\frac{a}{b}\right)^c = \frac{a^c}{b^c}\,</math></div>
#<div style="direction: ltr; margin-bottom:6px;"><math>\left(a^b\right)^c = a^{b\cdot c}\,</math></div>
 
===סיכום===