מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/חוקי החשבון/חוקי חשבון חזקות: הבדלים בין גרסאות בדף
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
אין תקציר עריכה |
|||
שורה 13:
*דרך נוספת לסמן חזקות היא באמצעות סימן הגג: ^. למשל 5^3 זה 3 בחמישית, a^b זה a בחזקת b וכו'.
===משמעות החזקה עם מעריך טבעי===
אם ה{{מונח/חזקות מעריך}} הוא {{מונח/מספר טבעי}} אזי החזקה היא '''הבסיס כפול עצמו כמספר הפעמים שכתוב במעריך'''.
לדוגמא, כדי לחשב את החזקה <math>\ 3^{4}</math>, עלינו לכפול את 3 בעצמו 4 פעמים על מנת לקבל את הערך של החזקה. כלומר:</br>
<div style="direction: ltr;"><math>\ 3^{4}=3 \times 3 \times 3 \times 3</math></div>
באופן כללי ניתן להציג חזקה עם {{מונח/חזקות בסיס}} <math>\ a</math> ו{{מונח/חזקות מעריך}} שהוא {{מונח/מספר טבעי}} <math>\ n</math> בצורה הבאה:
<div style="direction: ltr;"><math>\ a^{n}=\underbrace{a\times{a}\times{a}\cdots\times{a}}_{n\;\;times}</math></div>
דוגמה: חשב את החזקה <math>5^3\,</math>
:פתרון: <math>5^3=5\times{5}\times{5}=125 \,</math>
דוגמה: חשב את החזקה <math>2^8\,</math>
:פתרון: <math>2^8=\underbrace{2\times{2}\times\cdots\times{2}}_{8\;\;times}=256 \,</math>
דוגמה: חשב את החזקה <math>(\frac{1}{2})^2\,</math>
:פתרון: <math>\left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{1\cdot 1}{2\cdot 2}=\frac{1}{4}\,</math>
דוגמה: חשב את החזקה <math>(-1)^3\,</math>
:פתרון: <math>(-1)^{3}=(-1)\times(-1)\times(-1)=(-1)\,</math>
===פעולות על חזקות===
{| class="wikitable" border="1"
|-
!פעולת החשבון המבוקשת
! המחשה
!הסבר
!דוגמה
|-
| כפל חזקות עם אותו בסיס
|<math>{a}^{b}\cdot{a}^{c}=a^{b+c}</math>
|
נבדוק כיצד לכפול חזקות עם אותו בסיס:
<div style="direction: ltr;">
<math>
a^b \cdot a^c =
\overbrace{
\underbrace{a \cdot a \cdot a \cdots a}_{b\;\;times} \cdot \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdots a}_{c\;\;times}
}^{b+c\;\;times} =
a^{b+c}
</math>
</div>
אם נסתכל על הנוסחה הפוך נבין כיצד לפרש סכום במכנה.
<div style="direction: ltr;">
<math>
a^{b+c} =
\overbrace{
\underbrace{a \cdot a \cdot a \cdots a}_{b\;\;times} \cdot \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdots a}_{c\;\;times}
}^{b+c\;\;times} =
a^b \cdot a^c
</math>
</
על כן כאשר החזקות הן בעלות אותו הבסיס, כפל של שתי חזקות מביא ל'''חיבור/חיסור המעריכים'''.
|<math>a^{2}\cdot{a}^{4}=a^{2+4}=a^{6}</math>
|-
| חילוק חזקות עם אותו בסיס
| <math>\frac{{a}^{b}}{{a}^{c}}={a}^{b-c}</math>
|
נבדוק כיצד לחלק חזקות עם אותו בסיס: <math>\frac{a^b}{a^c}</math>.
נבחין בשלושה מקרים.
מקרה א': b גדול מ- c.
<div style="direction: ltr;">
<math>
\frac{a
\frac{\overbrace {a \cdot a \cdot a \cdots a}^{b\;\;times}}
{\underbrace{a \cdot a \cdot a \cdots a}_{c\;\;times}}
=
</math>
</
c + (b-c) = b
<div style="direction: ltr;">
<math>
\frac{\overbrace {a \cdot a \cdot a \cdots a}^{c\;\;times} \overbrace {a \cdot a \cdot a \cdots a}^{b-c\;\;times}}
{\underbrace{a \cdot a \cdot a \cdots a}_{c\;\;times}} =
</math>
</div>
נצמצם מספר שווה של a במונה ובמכנה.
<div style="direction: ltr;">
<math>
\frac{\overbrace {\not{a} \cdot \not{a} \cdot \not{a} \cdots \not{a}}^{c\;\;times} \overbrace {a \cdot a \cdot a \cdots a}^{b-c\;\;times}}
{\underbrace{\not{a} \cdot \not{a} \cdot \not{a} \cdots \not{a}}_{c\;\;times}} =
</math>
</div>
<div style="direction: ltr;">
<
\overbrace {a \cdot a \cdot a \cdots a}^{b-c\;\;times} = a^{b-c}
</
</div>
ניתן להשתמש בנוסחה גם בכיוון ההפוך:
<div style="direction: ltr;">
<math>
</math>
</
דוגמה: חשב את <math>\frac{a^4}{a^2}</math>
:פתרון: על פי {{מונח/חוקי חזקות הפרש מעריכים}}: <math>\frac{a^5}{a^3} = a^{5-3} = a^2</math>
נשים לב שחיסור חזקות יוכל להביא לכך שהמעריך יהיה אפס או מספר שלילי. לכן נראה בהמשך כיצד ניתן להגדיר חזקות עם מעריך שאינו מספר חיובי בצורה שתהיה אחידה עם החוק שהצגנו כאן.
|
|-
|חזקה של חזקה
|<math>
{\left(a^{b}\right)}^{c}=
\underbrace{
שורה 70 ⟵ 128:
a^{\overbrace{b+b+b \cdots b}^{c\;\;times}}
=
a^{b\cdot c} }={\left(a^{c}\right)}^{b
</math>
|נשתמש ב{{מונח/חוקי חזקות מכפלה}} שכבר למדנו, לכפל של שתי חזקות עם אותו {{מונח/חזקות בסיס}}.
|
|-
|מעריך 0
|<math>\ a^0=1</math> כאשר <math>\ a\ne 0</math>
|נבדוק מה קורה כאשר המעריך שווה ל-0. לצורך כך נשתמש בנוסחה לחילוק חזקות עם אותו בסיס.
נשתמש בעובדה ש <math>b-b = 0</math>
<div style="direction: ltr;">
<math>a^0 = a^{b-b} = \frac{a^b}{a^b} = 1</math>
</div>
לסיכום: כל מספר בחזקת 0 שווה ל-1. <math>a^0 = 1</math>
* יוצא מן הכלל: <math>0^0</math>. הביטוי 0 בחזקת 0 אינו מוגדר..
|
|-
|חזקות עם מעריך שלילי
|<math>
a^{-b}=\frac{1}{a^{b}}
</math>
|נבדוק מה קורה כאשר המעריך שלילי:
<div style="direction: ltr;">
<math>a^{-b} = a^{0-b} = \frac{a^0}{a^b} = \frac{1}{a^b}</math>
</div>
דוגמה: חשב את <math>2^{-1}</math>
:פתרון:<math>2^{-1} = \frac{1}{2^1} = \frac{1}{2}</math>
* הערה: 0 בחזקת מספר שלילי שוב ייתן חלוקה באפס ולכן אינו מוגדר: <math>0^{-a} = \frac{1}{0^a} = \frac{1}{0}</math>
|
|-
|מעריך 1
|<math>a^1 = a</math>
|כל מספר בחזקת 1 שווה לעצמו זאת בגלל הגדרת החזקה.
|
|-
|חזקה של 1
|<math>1^a = 1</math>
|1 בחזקת כל מספר שווה ל-1. זאת בגלל שלא משנה כמה נכפול אותו בעצמו, הוא יישאר 1 זאת בגלל הגדרת החזקה.
|
|-
|חזקה של אפס
|<math>0^a = 0</math>
|0 הוא מספר מיוחד בחזקות, והוא אינו מוגדר עבור כל כל מעריך. עם מעריך שהוא {{מונח/מספר טבעי}} ברור לנו שלא משנה כמה פעמים נכפול 0 בעצמו, נקבל 0 עבור a טבעי.
|
|-
|כפל חזקות עם אותו מעריך
|<math>{\displaystyle a^{c}\cdot b^{c}=}{\displaystyle (a\cdot b)^{c}}</math>
|כאשר כופלים חזקות עם אותו מעריך, אפשר להוציא את המעריך מחוץ לסוגריים. הבה נראה זאת:
<div style="direction: ltr;"><math>a^c\cdot b^c = </math></div>
<div style="direction: ltr;"><math>\underbrace{a\cdot a \cdot a \cdots a}_{c\;\;times} \cdot \underbrace{b\cdot b \cdot b \cdots b}_{c\;\;times} = </math></div>
על פי {{מונח/חוק החילוף בכפל}}, נסדר אחרת את המשוואה:
<div style="direction: ltr;"><math>\underbrace{\underbrace{a\cdot b} \cdot \underbrace{a \cdot b} \cdot \underbrace{a \cdot b} \cdots \underbrace{a \cdot b}}_{c\;\;times} = </math></div>
על פי {{מונח/חוק הקיבוץ בכפל}} נוסיף סוגריים:
<div style="direction: ltr;"><math>\underbrace{(a\cdot b) \cdot (a \cdot b) \cdot (a \cdot b) \cdots (a \cdot b)}_{c\;\;times} = </math></div>
על פי הגדרת החזקה:
<div style="direction: ltr;"><math>(a\cdot b)^c </math></div>
|
|-
|חילוק חזקות עם אותו מעריך=
|<math>{\displaystyle {\frac {a^{c}}{b^{c}}}=}{\displaystyle \left({\frac {a}{b}}\right)^{c}}</math>
|כאשר מחלקים חזקות עם אותו מעריך, באותו אופן ניתן שוב להוציא את המעריך מחוץ לסוגריים. הבה נראה זאת:
<div style="direction: ltr;"><math>\frac{a^c}{b^c} = </math></div>
נפתח את החזקה:
<div style="direction: ltr;"><math>\frac{\overbrace{a\cdot a \cdot a \cdots a}^{c\;\;times}} {\underbrace{b\cdot b \cdot b \cdots b}_{c\;\;times}} = </math></div>
נסדר אחרת את השבר:
<div style="direction: ltr;"><math>\underbrace{\frac{a}{b}\cdot\frac{a}{b}\cdot\frac{a}{b}\cdots\frac{a}{b}}_{c\;\;times}</math></div>
על פי הגדרת החזקה:
<div style="direction: ltr;"><math>\left(\frac{a}{b}\right)^c </math></div>
|
|}
===סיכום===
<math>a^b\,</math>: a-בסיס, b-מעריך. יש לבטא a בחזקת b.
#<div style="direction: ltr; margin-bottom:6px;"><math>a^1 = a\,</math></div>
#<div style="direction: ltr; margin-bottom:6px;"><math>1^a = 1\,</math></div>
#<div style="direction: ltr; margin-bottom:6px;"><math>0^a = 0, (a > 0)\,</math></div>
#<div style="direction: ltr; margin-bottom:6px;"><math>a^{b+c} = a^b \cdot a^c\,</math></div>
#<div style="direction: ltr; margin-bottom:6px;"><math>a^{b-c} = \frac{a^b}{a^c}\,</math></div>
#<div style="direction: ltr; margin-bottom:6px;"><math>a^0 = 1\,</math></div>
#<div style="direction: ltr; margin-bottom:6px;"><math>a^{-b} = \frac{1}{a^b}\,</math></div>
#<div style="direction: ltr; margin-bottom:6px;"><math>a^{-1} = \frac{1}{a}\,</math></div>
#<div style="direction: ltr; margin-bottom:6px;"><math>(a\cdot b)^c = a^c \cdot b^c\,</math></div>
#<div style="direction: ltr; margin-bottom:6px;"><math>\left(\frac{a}{b}\right)^c = \frac{a^c}{b^c}\,</math></div>
#<div style="direction: ltr; margin-bottom:6px;"><math>\left(a^b\right)^c = a^{b\cdot c}\,</math></div>
===סיכום===
|