מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/חוקי החשבון/חוקי חשבון חזקות: הבדלים בין גרסאות בדף
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
אין תקציר עריכה |
|||
שורה 207:
|
|}
==החזקה==
===הגדרת החזקה, בסיס החזקה ומעריך החזקה===
כאשר הגדרנו כפל, ראינו כי זוהי דרך קיצור לחבר שוב ושוב: <math>3+3+3+3=4\cdot3=12</math> היה לנו חיבור של 3 ארבע פעמים וקראנו לזה "4 פעמים 3" או "4 כפול 3".{{ש}}
החזקה היא דרך מקוצרת לכתוב כפל. לדוגמה, ל-<math>3\cdot3\cdot3\cdot3\cdot3</math> נקרא "3 בחזקת 4" ונסמן <math>3^4</math> שזה אומר כפל של 3 בעצמו שוב ושוב עד שיהיו לנו 4 פעמים 3 בכפל.{{ש}}
עוד דוגמה היא 5 בחזקת 8 שזה בעצם <math>5\cdot5\cdot5\cdot5\cdot5\cdot5\cdot5\cdot5=5^8</math>. המספר שחוזר על עצמו בכפל (בדוגמה הזאת: המספר 5. בדוגמה הקודמת: המספר 3) נקרא '''בסיס החזקה'''. מספר החזרות (בדוגמה הזאת: 8, בדוגמה הקודמת: 4) נקרא "מעריך החזקה".{{ש}}
לדוגמה: ב- <math>(2\tfrac{1}{2})^5</math> המספר 2.5 הוא בסיס החזקה והמספר 5 הוא מעריך החזקה. (כי אנחנו כופלים 2.5 בעצמו שוב ושוב 5 פעמים){{ש}}
'''הערה:''' החזקה מוגדרת גם למעריכים לא טבעיים, זאת אומרת מעריכי חזקה שהם לא שלמים או לא חיוביים. בהגדרות האלה ניגע עוד מעט.
===תכונות וחוקי חזקות===
* החזקה '''לא''' מקיימת את חוק החילוף (יש מקרים יחידים שהיא כן). לדוגמה: <math>10^3=10\cdot10\cdot10=1000\neq3^{10}=3\cdot3\cdot3\cdot3\cdot3\cdot3\cdot3\cdot3\cdot3\cdot3=59,049</math>{{ש}}
* <math> a^m\cdot a^n = a^{m+n}</math>. '''הערה:''' יש לשים לב שאין חיבור בין החזקות עצמן אלא רק כפל.
::לדוגמה: <math>10^3\cdot10^2=(10\cdot10\cdot10)\cdot(10\cdot10)=10\cdot10\cdot10\cdot10\cdot10=10^5=10^{3+2}</math>{{ש}}
* <math>\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}</math>
::לדוגמה: <math> \frac{5^6}{5^4}=\frac{5\cdot5\cdot5\cdot5\cdot5\cdot5}{5\cdot5\cdot5\cdot5}=5\cdot5=5^2=5^{6-4}</math>{{ש}}
* <math>(a^m)^n=a^{m\cdot n}</math>. '''הערה:''' יש לשים לב שזה לא המצב הזה: <math>a^{(m^n)}</math> אלא <math>(a^m)^n</math>.
::לדוגמה: <math>(5^2)^3=(5^2)\cdot(5^2)\cdot(5^2)=(5\cdot5)\cdot(5\cdot5)\cdot(5\cdot5)=5\cdot5\cdot5\cdot5\cdot5\cdot5=5^6=5^{2\cdot3}</math>{{ש}}
*לכל מספר <math>a\neq0</math> מתקיים <math>a^0=1</math>. {{ש}}
:הוכחה: <math>a^0=a^{1-1}=\frac{a^1}{a^1}=\frac{a}{a}=1</math>
*חזקה עם מעריך שלילי מוגדרת באופן הבא: <math> a^{-n}=\frac{1}{a^n}</math>.
:'''הערה:''' חזקה עם בסיס שלילי זו לא בעיה. נגיד <math>(-2)^3=(-2)\cdot(-2)\cdot(-2)=-8</math> אבל כשיש מעריך שלילי אז השאלה איך אתה מגדיר "לכפול שוב ושוב מינוס פעמים" היא בעייתית. ולכן הגדירו את זה כמו שנכתב בתחילת השורה.
:הוכחה: <math>a^{-n}=a^{0-n}=\frac{a^0}{a^n}=\frac{1}{a^n}</math>
::לדוגמה: <math> 2^{-6}=\frac{1}{2^6}=\frac{1}{2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2}=\frac{1}{64}</math>
*<math>(a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n</math>'''הערה:''' הכלל הזה פועל רק אם בסוגריים יש כפל. חיבור לא יעבוד!
::לדוגמה: <math>((-2)\cdot3)^2=(-2)^2\cdot3^2</math>
*<math>\left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}</math>
::לדוגמה: <math>\left(\frac{2}{3}\right)^4=\frac{2}{3}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{2}{3}=\frac{2\cdot2\cdot2\cdot2}{3\cdot3\cdot3\cdot3}=\frac{2^4}{3^4}</math>
{{תוכן|
| |||