מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/חוקי החשבון/חוקי חשבון חזקות: הבדלים בין גרסאות בדף
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
אין תקציר עריכה |
|||
שורה 33:
:פתרון: <math>(-1)^{3}=(-1)\times(-1)\times(-1)=(-1)\,</math>
===חוק החילוף אינו מתקיים בחזקה===
לדוגמה: <math>10^3=10\cdot10\cdot10=1000\neq3^{10}=3\cdot3\cdot3\cdot3\cdot3\cdot3\cdot3\cdot3\cdot3\cdot3=59,049</math>{{ש}}
===פעולות על חזקות===
כאמור עבור <math>\;a^b</math> הבסיס הוא <math>\;a</math> ואילו המעריך הוא <math>\;b</math>. יש לבטא <math>\;a</math> בחזקת <math>\;b</math>.
שורה 70 ⟵ 74:
על כן כאשר החזקות הן בעלות אותו הבסיס, כפל של שתי חזקות מביא ל'''חיבור/חיסור המעריכים'''.
|<math>a^{2}\cdot{a}^{4}=a^{2+4}=a^{6}</math>
|-
| חילוק חזקות עם אותו בסיס
שורה 114 ⟵ 120:
</div>
|▼
|-▼
|חזקה של חזקה▼
|<math>▼
{\left(a^{b}\right)}^{c}=▼
\underbrace{▼
{\left(a^{b}\right)} \times{\left(a^{b}\right)}\cdots{\left(a^{b}\right)} ▼
}_{c\;\;times}▼
=▼
a^{\overbrace{b+b+b \cdots b}^{c\;\;times}}▼
=▼
a^{b\cdot c} }={\left(a^{c}\right)}^{b▼
</math>▼
|נשתמש ב{{מונח/חוקי חזקות מכפלה}} שכבר למדנו, לכפל של שתי חזקות עם אותו {{מונח/חזקות בסיס}}.▼
|-
|מעריך 0
שורה 158 ⟵ 150:
<math>a^{-b} = a^{0-b} = \frac{a^0}{a^b} = \frac{1}{a^b}</math>
</div>
:פתרון:<math>2^{-1} = \frac{1}{2^1} = \frac{1}{2}</math>▼
* הערה: 0 בחזקת מספר שלילי שוב ייתן חלוקה באפס ולכן אינו מוגדר: <math>0^{-a} = \frac{1}{0^a} = \frac{1}{0}</math>
|-
|מעריך 1
שורה 179 ⟵ 170:
|0 הוא מספר מיוחד בחזקות, והוא אינו מוגדר עבור כל כל מעריך. עם מעריך שהוא {{מונח/מספר טבעי}} ברור לנו שלא משנה כמה פעמים נכפול 0 בעצמו, נקבל 0 עבור a טבעי.
|
▲|-
▲|חזקה של חזקה
▲|נשתמש ב{{מונח/חוקי חזקות מכפלה}} שכבר למדנו, לכפל של שתי חזקות עם אותו {{מונח/חזקות בסיס}}.
▲{\left(a^{b}\right)}^{c}=
▲\underbrace{
▲{\left(a^{b}\right)} \times{\left(a^{b}\right)}\cdots{\left(a^{b}\right)}
▲}_{c\;\;times}
▲=
▲a^{\overbrace{b+b+b \cdots b}^{c\;\;times}}
▲=
▲a^{b\cdot c} }={\left(a^{c}\right)}^{b
▲</math>
▲|
|-
|כפל חזקות עם אותו מעריך
שורה 192 ⟵ 199:
על פי הגדרת החזקה:
<div style="direction: ltr;"><math>(a\cdot b)^c </math></div>
|-
|חילוק חזקות עם אותו מעריך
|<math>{\displaystyle {\frac {a^{c}}{b^{c}}}=}{\displaystyle \left({\frac {a}{b}}\right)^{c}}</math>
|כאשר מחלקים חזקות עם אותו מעריך, באותו אופן ניתן שוב להוציא את המעריך מחוץ לסוגריים. הבה נראה זאת:
שורה 205 ⟵ 212:
על פי הגדרת החזקה:
<div style="direction: ltr;"><math>\left(\frac{a}{b}\right)^c </math></div>
|}
שורה 215 ⟵ 222:
לדוגמה: ב- <math>(2\tfrac{1}{2})^5</math> המספר 2.5 הוא בסיס החזקה והמספר 5 הוא מעריך החזקה. (כי אנחנו כופלים 2.5 בעצמו שוב ושוב 5 פעמים){{ש}}
'''הערה:''' החזקה מוגדרת גם למעריכים לא טבעיים, זאת אומרת מעריכי חזקה שהם לא שלמים או לא חיוביים. בהגדרות האלה ניגע עוד מעט.
▲* החזקה '''לא''' מקיימת את חוק החילוף (יש מקרים יחידים שהיא כן). לדוגמה: <math>10^3=10\cdot10\cdot10=1000\neq3^{10}=3\cdot3\cdot3\cdot3\cdot3\cdot3\cdot3\cdot3\cdot3\cdot3=59,049</math>{{ש}}
▲::לדוגמה: <math>10^3\cdot10^2=(10\cdot10\cdot10)\cdot(10\cdot10)=10\cdot10\cdot10\cdot10\cdot10=10^5=10^{3+2}</math>{{ש}}
▲* <math>\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}</math>
▲::לדוגמה: <math> \frac{5^6}{5^4}=\frac{5\cdot5\cdot5\cdot5\cdot5\cdot5}{5\cdot5\cdot5\cdot5}=5\cdot5=5^2=5^{6-4}</math>{{ש}}
▲::לדוגמה: <math>(5^2)^3=(5^2)\cdot(5^2)\cdot(5^2)=(5\cdot5)\cdot(5\cdot5)\cdot(5\cdot5)=5\cdot5\cdot5\cdot5\cdot5\cdot5=5^6=5^{2\cdot3}</math>{{ש}}
▲::לדוגמה: <math> 2^{-6}=\frac{1}{2^6}=\frac{1}{2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2}=\frac{1}{64}</math>
▲::לדוגמה: <math>((-2)\cdot3)^2=(-2)^2\cdot3^2</math>
▲*<math>\left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}</math>
▲::לדוגמה: <math>\left(\frac{2}{3}\right)^4=\frac{2}{3}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{2}{3}=\frac{2\cdot2\cdot2\cdot2}{3\cdot3\cdot3\cdot3}=\frac{2^4}{3^4}</math>
{{תוכן|
| |||