מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/חוקי החשבון/שורשים: הבדלים בין גרסאות בדף

תוכן שנמחק תוכן שנוסף
אין תקציר עריכה
שורה 1:
{{עריכה}}
==שורשים פשוטים==
===שורש ריבועי===
לפעולת השורש קרבה גדולה לפעולת החזקה. למעשה קיימות שתי פעולות אשר ניתן לומר עליהן שהן פעולות ה'''הפוכות''' לחזקה. פעולה אחת היא פעולת הלוגריתם, אשר לא נדון בה כעת, והשניה היא הפעולה ההפוכה להעלאת בסיס בחזקה עם מעריך מסויים. זוהי פעולת השורש. השורש הנפוץ והשימושי ביותר הינו כמובן ה'''שורש הריבועי'''. שורש זה הוא הפעולה ההפוכה להעלאה בריבוע (חזקת 2). אילו העלינו מספר כלשהו, למשל 3 בריבוע, הפעולה שהיתה מחזירה את התוצאה חזרה ל-3 הינה פעולת השורש הריבועי. את פעולת השורש הריבועי של <math>a</math> מסמנים כך</br>
שורה 55:
</center>
'''הערה''': נשים לב, שבמקרה שמדובר בשורש מסדר זוגי, קיימים שני מספרים אשר יכולים להתאים כתשובה לשאלה "איזה מספר בריבוע נותן את המספר שבשורש". אחד חיובי והשני שלילי. במובן של "מי באמת השורש" '''שתי התשובות נכונות'''. מכיוון שבמתמטיקה מעוניינים לחקור יותר לעומק את התכונות של השורשים הללו, כאשר מדובר בשורשים של מספרים ממשיים, אנו מקבלים את התשובה החיובית בלבד. זוהי '''הגדרה'''. אין להבין מכך שהשורש השלילי איננו שורש מחד, אך אין להציגו בחישוב שורשים מאידך. לסיכום, התוצאה של פעולת השורש מסדר זוגי, היא תמיד חיובית (במספרים הממשיים).
 
===הגדרת השורש===
 
שורש היא אחת מ-2 הפעולות ההפוכות לחזקה. (לחזקה יש 2 פעולות הפוכות כי זה פעולה בלי חוק חילוף. צריך פעולה הפוכה כדי לגלות את המעריך וצריך פעולה הפוכה כדי לגלות את הבסיס){{ש}}
שורש היא הפעולה ההפוכה שעוזרת למצוא בסיס של חזקה כשהוא נעלם. כלומר, בהינתן <math> x^n=b</math> ואנחנו רוצים לגלות מה x, נפעיל שורש. דוגמה לכך היא כשמישהו שואל את השאלה "איזה מספר צריך לכפול 5 פעמים בעצמו כדי לקבל 32". בעצם במתמטיקה הוא אומר איזה מספר x מקיים <math>x\cdot x\cdot x\cdot x\cdot x=32</math>? במילים אחרות, <math>x^5=32</math> אז מה שווה x? התשובה היא <math>x=\sqrt[5]{32}</math> ואומרים "שורש חמישי של 32" והתשובה לכך היא בעצם 2 כי <math> 2^5=32</math>.{{ש}}
באופן כללי אומרים ש- <math>a^n=b</math> אם ורק אם <math>a=\sqrt[n]{b}</math>{{ש}}
מקובל לקרוא לשורש שבו n=2 "שורש ריבועי" ולסמן את השורש הריבועי של a באופן הבא: <math>\sqrt{a}</math> במקום <math>\sqrt[2]{a}</math>
 
 
===ביטוי שורש לפי חזקה וכללי שורשים הנובעים מקשר זה===
 
נסתכל על <math>a^{\frac1n}</math> זהו מספר שאם נכפול אותו בעצמו n פעמים נקבל <math>(a^{\frac1n})^n=a^{\frac1n\cdot n}=a^1=a</math> ולכן זהו מספר שאם נעלה אותו בחזקת n נקבל a, אבל זה בדיוק ההגדרה של שורש nי של a. לכן אפשר להסיק את הקשר הבא: <math>a^{\frac1n}=\sqrt[n]{a}</math>. {{ש}}
לדוגמה: <math> 4^\frac12 = \sqrt[2]{4}=\sqrt{4} = 2</math>.{{ש}}
{{ש}}
מכאן ניתן להגיע לכלל החזקות: <math> a^\frac{m}{n} =a^{m\cdot\frac1n}=(a^m)^{\frac1n}=(a^\frac1n)^m=\sqrt[n]{a^m}=(\sqrt[n]{a})^m</math>
 
==חזקות של מספרים רציונליים==
שורה 100 ⟵ 115:
! דוגמה
|-
|<math> a^{\frac{m}{n}} = (\sqrt[n] {a})^m</math>
||<math> {\displaystyle 4^{\frac {1}{2}}={\sqrt[{2}]{4}}={\sqrt {4}}=2} {\displaystyle 4^{\frac {1}{2}}={\sqrt[{2}]{4}}={\sqrt {4}}=2}.</math>
|-
|<math>{\displaystyle {\sqrt[{n}]{ab}}=(ab)^{\frac {1}{n}}=a^{\frac {1}{n}}\cdot b^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{a}}\cdot {\sqrt[{n}]{b}}}</math>
| שורה 2, תא 1
|
| שורה 2, תא 2
|-
|<math>{\displaystyle {\sqrt[{m}]{\sqrt[{n}]{a}}}=(a^{ \fracover {1b}{n}})^{\frac {1}{m}}=a^{{\frac {1}{m}}\cdotsqrt[n] {\frac {1}{n}}}=a^{\frac {1}{mn}}={\sqrt[{mn}n]{a}} b}</math>
|
|-
|<math>{\displaystyle {\sqrt[{m}]{\sqrt[{n}]{aba}}}=(ab)a^{\frac {1}{n}})^{\frac {1}{m}}=a^{{\frac {1}{nm}}\cdot b^{\frac {1}{n}}}=a^{\sqrt[frac {n1}]{amn}}\cdot ={\sqrt[{nmn}]{ba}}}</math>
|
|-