ויקיספר

פיזיקה תיכונית/מכניקה/עבודה ואנרגיה: הבדלים בין גרסאות בדף

עיון אינטראקטיבי בהיסטוריה
→ העריכה הקודמתהעריכה הבאה ←
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
חזותיקוד ויקי
אין תקציר עריכה
אין תקציר עריכה
שורה 9:
===כפל וקטורים===
ישנם שני סוגים של כפל בין וקטורים כפל וקטורי וכפל סקלרי, הכפל הוקטורי (מסומן באמצעות <math>\times</math>) והתוצאה מהכפלה זו היא וקטור, לא נעמוד כאן על הדרך להכפלה זו, הדרך השניה היא כפל סקלרי (מסומן בנקודה <math>\cdot</math>) והתוצאה של כפל זה היא סקלר (מספר פשוט) כפל זה נעשה כך: מכפלת גודל הוקטורים בקוסינוס הזוית ביניהם או בצורה מתמטית:
:<font size=5><math>\vec A\cdot\vec B=|\vec A|\cdot|\vec B|\cdot\cos(\alpha)</math></font size=5>
כאשר <math>\alpha</math> היא הזוית בין הוקטורים.
 
הסתכלות נוספת היא שכפל סקלרי הוא כפל גודל וקטור אחד בהטל הוקטור השני עליו או בצורה מתמטית <font size=5><math>\vec A\cdot\vec B=|\vec A|\cdot|\vec{B_A}|</math></font size=5> .
 
=עבודה=
שורה 19:
==הגדרת עבודה==
עבודה מוגדרת כוקטור הכוח כפול כפל סקלרי בוקטור העתק או בצורה מתמטית:
 
:<font size=5><math>\vec F\cdot\Delta\vec x=|\vec F|\cdot|\Delta\vec x|\cdot\cos(\alpha)</math></font size=5>
 
מבחינה גרפית השטח הכלוא ע"י גרף כוח-מקום שווה לעבודה.
 
שורה 25 ⟵ 27:
 
עד עכשיו דיברנו על כוח קבוע, כשהכוח לא קבוע בגודלו (אבל קבוע בכיוון יחסית להעתק) העבודה היא האינטגרל של הכוח כפונקציה של המקום ובצורה מתמטית:
:<font size=5><math>W=\int\limits_{x_1}^{x_2}\vec F\cdot d\vec x=\cos(\alpha)\cdot\int\limits_{x_1}^{x_2}F\cdot dx</math></font size=5>
כאשר <math>\alpha</math> היא הזוית בין וקטור העתק לוקטור הכוח.
שורה 37 ⟵ 39:
*יחידות העבודה הם ג'ול (ששוות מטר כפול ניוטון) והסימון הוא J (היחידות כתובות בסוגריים המרובעים): <math>W=\vec F\cdot\Delta\vec x=[N\cdot m]=[J]</math> ,{{כ}} 1 ג'ול שוה לכוח בגודל 1 ניוטון הפועל (ומקביל) לאורך 1 מטר.
*אפשר להתייחס לעבודה של כוח בודד גם אם על הגוף פועלים עוד כוחות.
*סך העבודות של כל כוח בנפרד שווה לעבודת הכוח השקול
:<font size=5><math>W'=\sum_{k=1}^nW_k=W_1+W_2+W_3+\cdots+W_n</math></font size=5>
:כאשר <math>W'</math> זה עבודת הכוח השקול.
 
==כוחות משמרים==
שורה 54 ⟵ 58:
 
'''אנרגיה קינטית''' או אנרגיית תנועה. מסומנת וגודלה מוגדר:
:<font size=5><math>E_k=\frac{m\cdot vtfrac12mv^2}{2}</math></font size=5>
כאשר <math>m</math> מסת הגוף, <math>v</math> מהירותו.
 
 
'''אנרגיה פוטנציאלית כובדית''' או אנרגיית הכובד. מסומנת וגודלה מוגדר:
:<font size=5><math>U_g=E_p=m\cdot g\cdot h</math></font size=5>
כאשר <math>m</math> מסת הגוף, <math>g</math> תאוצת גוף חופשי, <math>h</math> גובה הגוף ממישור היחוס. מישור היחוס הוא המישור ממנו מתחילים למדוד את גובה הגוף, מישור זה נקבע שרירותית ולפי הנוחות. למעשה משום שרוב החישובים שלנו עם אנרגיה זו יהיו על ההפרשים בין נקודות לא ישנה איפה נקבע את מישור היחוס.
 
 
'''אנרגיה פוטנציאלית אלסטית''' או אנרגיה אלסטית. מסומנת וגודלה מוגדר:
:<font size=5><math>U_{sp}=\frac{k\cdot xtfrac12kx^2}{2}</math></font size=5>
כאשר <math>k</math> קבוע הקפיץ, <math>x</math> ההעתק מנקודת הרפיון של הקפיץ.
 
שורה 73 ⟵ 77:
נקח לדוגמא כוח (השקול) שפועל על גוף בכיוון התנועה של הגוף, המשוואות הבאות מתארות את הפעולה של הכוח.
 
על-פי החוק השני של ניוטון: <sup><font color="#000070">(1)</font></sup>{{כ}} <font size=5><math>\vec F=m\vec a</math></font size=5>
 
על-פי משוואות התנועה תנועת הגוף מתוארת במשוואה הבאה: <sup><font color="#000070">(2)</font></sup>{{כ}} <font size=5><math>v_t^2=v_0^2+2a(x_t-x_0)</math></font size=5>
 
על-פי המשוואה הראשונה מתקיים השוויון הבא: <font size=5><math>a=\frac{F}{m}</math></font size=5>
 
נציב את התוצאה הזו במשוואה השניה ונקבל: <font size=5><math>v_t^2=v_0^2+\frac{2F\cdot(x_t-x_0)}{m}</math></font size=5>
 
נסדר את המשוואה ונקבל: <font size=5><math>F\cdot(x_t-x_0)=\vec F\cdot\Delta\vec x=\frac{m\cdot v_ttfrac12mv_t^2}{2}-\frac{m\cdot v_0tfrac12mv_0^2}{2}</math></font size=5>
 
כלומר עבודת הכוח השקול שווה לשנוי באנרגיה הקינטית משוואה זו נקראת '''משפט עבודה-אנרגיה''': <font size=5><math>\vec F\cdot\Delta\vec x=\Delta E_k</math></font size=5>
 
==אנרגיה מכאנית ושימורה==
נדמיין לעצמנו שגוף נע מנקודה A לנקודה B בהשפעת כוח משמר כתוצאה מאותו הכוח האנרגיה הקינטית שלו משתנה, במידה מסוימת השינוי באנרגיה לא תלוי במסלול שהגוף עבר בו, אפשר לומר אם כן שיש פוטנציאל לאנרגיה קינטית בין הנקודות A ל-B (הפוטנציאל יכול להיות חיובי אם האנרגיה הקנטית עולה או שלילית אם יורדת) למעשה הפוטנציאל מוגדר תמיד בין שתי נקודות שנמצאות בהשפעת הכוח המשמר (אין אפשרות לומר שיש פוטנציאל מסוייםמסוים בין שתי נקודות שמושפעות מכוח לא משמר כיוון שאנרגיית הגוף בסוף המסלול תלויה גם בדרך).
 
לכן אנו יכולים להגדיר גודל חדש, '''אנרגיה פוטנציאלית''' (המסומנת ב-U) כלומר כמה פוטנציאל לאנרגיה קינטית יש בנקודה מסוימת לשם נוחות אנו קובעים מישור יחוס כלומר מקום בו הגדרנו שהאנרגיה הפוטנציאלית שווה לאפס וכך כל נקודה בהשפעת הכוח המשמר יכולה לקבל ערך פוטנציאלי יחיד, חישוב הפוטנציאל בין שתי נקודות כלשהן נעשה ע"י חיסור ערך האנרגיה הפוטנציאלית של האחרונה מהראשונה, או בצורה מתמטית: הפוטנציאל לאנרגיה בין שתי נקודות <font size=5><math>U_1-U_2=</math></font size=5> .
*חשוב להבהיר שאנרגיה פוטנציאלית זה אנרגיה לכל דבר.
*ניתן להגדיר אנרגיה פוטנציאלית לכל כוח משמר סימן אנרגיה זו נעשה ע"י כתיבת שם הכוח באותיות תחתיות מימין ל-U.
*היחידות של אנרגיה פוטנציאלית הן ג'אולול.
*מיקום מישור היחוס אין לו משמעות מבחינת הפוטנציאל בין נקודות ומאחר שהפרש זה הוא העיקר אנו קובעים את מיקום מישור הייחוס לפי הנוחות.
 
מהדברים שלמעלה יוצא שהפוטנציאל בין הנקודות שווה לשינוי באנרגיה הקינטית בין אותם הנקודות או בצורה מתמטית:
:<font size=5><math>\Delta E_k=U_1-U_2=-(U_2-U_1)=-\Delta U</math></font size=5>
 
נפתח את המשוואה הזו ונקבל:
:<font size=5><math>E_{k2}-E_{k1}=U_1-U_2</math></font size=5>
 
נעביר אגפים ונקבל:
:<font size=5><math>E_{k1}+U_1=E_{k2}+U_2</math></font size=5>
 
ממשוואה זו יוצא שסך האנרגיה הקינטית והאנרגיות הפוטנציאליות שווה בכל נקודה לאורך המסלול שהגוף עבר בו אנרגיה זו (הקינטית ועוד הפוטנציאלית) נקראת אנרגיה מכאנית (ומסומנת ב-E)
*כאשר עבודת הכוחות הלא משמרים שווה לאפס אין שינוי באנרגיה המכאנית.
*אם יש כוח לא משמר העבודה הנעשית על ידו שווה לשינוי באנרגיה המכאנית.
שורה 113 ⟵ 115:
נתבונן בתרחיש הבא: כדור בעל מסה m משוחרר ממנוחה בנפילה חופשית ללא חיכוך. נתמקד בקטע ממסלולו בין הנקודות <math>h_1</math> ל- <math>h_2</math> .
 
העבודה שכוח הכובד עשה בקטע זה שווה ל: <font size=5><math>W_GW_g=|\vec F_GF_g|\cos(0)cdot|\Delta\vec h|\cdot\cos(0)</math></font size=5> הזוויתהזוית היא אפס בגללכיון שכיוון הכוח וההעתק זהה.
 
*כזכור כוח הכובד שווה למסה כפול g,{{כ}}<font size=5><math>\vec F_GF_g=m\vec g</math></font size=5> .
*מאחר ו- <math>h_1</math> גדול מ-<math>h_2</math> ו- <math>\Delta h</math> נמצא בערך מוחלט אפשר לעשות: <font size=5><math>|\Delta\vec h|=h_1-h_2</math></font size=5>
 
לכן העבודה שווה גם:
לכן העבודה שווה גם: <math>W_G=|\vec F_G|\cdot\cos(0)|\Delta\vec h|=m\vec g\cdot(h_1-h_2)=m\vec gh_1-m\vec gh_2=-(m\vec gh_2-m\vec gh_1)=-\Delta(m\vec g\cdot\vec h)=-\Delta U_G</math>
:<font size=5>
<math>\begin{align}
W_g&=|\vec F_g|\cdot|\Delta\vec h|\cdot\cos(0)\\&=mg\cdot(h_1-h_2)=mgh_1-mgh_2=-(mgh_2-mgh_1)=-\Delta(mgh)=-\Delta U_g
\end{align}</math>
</font size=5>
 
ומאחר ועבודה שווה לשינוי באנרגיה הקנטית מתקבל: <font size=5><math>W_G=\Delta E_k=-\Delta U_G</math></font size=5>
 
נפתח את המשוואה הנ"ל ונקבל: <font size=5><math>E_{k2} - E_{k1} = -(U_{G2g2} - U_{G1g1}) = U_{G1g1} - U_{G2g2}</math></font size=5>
 
נעביר אגפים ונקבל: <font size=5><math>E_{k1} + U_{G1g1} = E_{k2} + U_{G2g2}</math></font size=5>
 
כלומר סכום האנרגיות (הפוטנציאלית כובדית והקינטית) בין שתי הנקודות כלומר שהאנרגיות נשמרות לאורך המסלול.
 
===אנרגיה פוטנציאלית אלסטית (<math>U_{sp}</math>)===
* הכוח שהקפיץ מפעיל הוא כוח משמר.
* נזכיר הכוח של הקפיץ שווה: <font size=5><math>\vec F_{SPsp} = -K k\Delta\vec Xx</math></font size=5> .
נתבונן בקפיץ בעל קבוע כוח <math>k</math> שמכווץ עד נקודה <math>x_1</math> ואז מכווצים אותו עוד עד נקודה <math>x_2</math> , נחשב את העבודה שהקפיץ עשה בין שתי נקודות אלו:
 
השרטוט הבא מתאר את העבודה:{{כש}}<br/>
[[תמונה: עבודת קפיץ.svg|250px]]{{כש}}<br/>
נחשב את השטח הצבוע (שהוא מייצג את העבודה), אפשר לחשב את השטח ע"י חישוב שטח המשולש ABD והפחתה משטח זה את שטח המשולש ECD:{{כ}}<br/>
שטח משולש ABD{{כ}}:<font size=5><math>\begin{align}S_{ABD} &= -\frac{-kxtfrac12kx^2_2\\S_{ECD}&=-\tfrac12kx^2_1\end{2align}</math>{{כ}}<br/font size=5>
ולכן העבודה שווה:
שטח משולש ECD{{כ}}: <math>S_{ECD} = \frac{-kx^2_1}{2}</math>{{כ}}<br/>
ולכן העבודה שווה:<font size=5><math>W_{sp} = - \frac{kx^2_2}{2} + \frac{kx^2_1}{2} = - \left(\frac{kxtfrac12kx^2_2}{2} - \frac{kxtfrac12kx^2_1}{2}\right) = - \Delta \left(\frac{kxtfrac12kx^2}{2}\right)</math></font size=5>
 
אנו קובעים את מישור הייחוס כשהקפיץ רפוי ולכן האנרגיה הפוטנציאלית האלסטית נקבעה כך: <math>U_{sp} = \frac{kl^2}{2}</math>, כש-k זה קבוע הקפיץ ו-l זה המרחק מהמקום בו הקפיץ נמצא במצב רפוי.
אוחזר מתוך "https://he.wikibooks.org/wiki/פיזיקה_תיכונית/מכניקה/עבודה_ואנרגיה"