ויקיספר

מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/משוואות/משוואות ממעלה שלישית: הבדלים בין גרסאות בדף

עיון אינטראקטיבי בהיסטוריה
→ העריכה הקודמתהעריכה הבאה ←
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
חזותיקוד ויקי
אין תקציר עריכה
שורה 11:
הדבר דירבן את המתמטיקאי דל-פרו כמה שנים מאוחר יותר למצוא פתרון למשוואות מסוג <math>x^3+ax+b=0</math> , שאותו שמר בסוד זמן מה עד שהפקידו בידי תלמידו פיור, שעשה בו שימוש בהתמודדות מול טארטאגליה ("גמגמן"). לתדהמתו, זה האחרון מצא פתרון לסוג המשוואות <math>x^3+ax^2+b=0</math> כמו גם את פתרונו שלו והביס אותו.
 
עתה ניצב טארטאגליה מול מתחרה נוקשה יותר, קארדאנו, שלאחר מאמצים ושכנועים כבירים הצליח להוציא מטארטאגליה את פתרונו באמצעות שיר צופן, תוך שבועה שישמור סוד עד אשר ידפיס טארטאגליה הכל בספר משלו. בעזרת תלמידו פרארי הוא הרחיב קארדאנו את האפשרויות למשוואות מסוג <math>ax^3+bx^2+cx+d=0</math> תוך הפיכתן למשוואה פשוטה יותר כשל טארטאגליה. תוך כדי כך, גילה פרארי פתרון אחר הקשור למשוואה ממעלה רביעית (קווארטית).
 
כשרצו השניים לפרסם זאת בספר משלהם, הם לא ידעו כיצד להפר את השבועה הסודית לטארטאגליה. ואז, בשיחה עם יורשו של דל-פרו, דלה נאווה, התברר להם כי דל-פרו אכן פתר בסוד את המשוואה הקובית לפני טארטאגליה, כך שהשבועה בטלה כביכול. הם פרסמו את הפתרונות בספר [[w:האומנות הגדולה|האומנות הגדולה]]. הם הסתכסכו עם הגמגמן הזועם, וזה לבסוף ערך תחרות עם פרארי, שהביסו בקלות.
שורה 37:
<center><math>{\color{Orange}\Bigg(}x^3+{\color{red}3\left(\frac{b}{3a}\right)x^2}+{\color{green}3\left(\frac{b}{3a}\right)^2x}+{\color{blue}\left(\frac{b}{3a}\right)^3}{\color{Orange}\Bigg)}+\frac{c}{a}x-{\color{green}3\left(\frac{b}{3a}\right)^2x}-{\color{blue}\left(\frac{b}{3a}\right)^3}+\frac{d}{a}=0</math></center>
נהפוך את הביטוי בסוגריים הכתומים לקוביה:
<center>
<center><math>{\color{Orange}\left(x+\frac{b}{3a}\right)^3}+\frac{c}{a}x-3\left(\frac{b}{3a}\right)^2x-\left(\frac{b}{3a}\right)^3+\frac{d}{a}=0</math></center>{{ש}}
<math>
<center><math>\left(x+\frac{b}{3a}\right)^3+\left(\frac{3ac-b^2}{3a^2}\right){\color{JungleGreen}x}+\frac{27a^2d-b^3}{27a^3}=0</math></center>{{ש}}▼
\begin{matrix}
<center><math>\left(x+\frac{b}{3a}\right)^3+\left(\frac{3ac-b^2}{3a^2}\right){\color{JungleGreen}\left(x+\frac{b}{3a}-\frac{b}{3a}\right)}+\frac{27a^2d-b^3}{27a^3}=0</math></center>{{ש}}▼
<center><math>{\color{Orange}\left(x+\fracdfrac{b}{3a}\right)^3}+\left(\fracdfrac{3ac-b^2c}{3a^2}\right){\color{JungleGreena}x-3\left(x+\fracdfrac{b}{3a}\right)}^2x-{\color{JungleGreen}\frac{b}{3a}}\left(\fracdfrac{3ac-b^2}{3a^2}\right)^3+\fracdfrac{27a^2d-b^3d}{27a^3a}=0</math></center>{{ש}}
\\\\
<center><math>\left(x+\frac{b}{3a}\right)^3+\left(\frac{3ac-b^2}{3a^2}\right)\left(x+\frac{b}{3a}\right)+\frac{b^3-3abc}{9a^3}+\frac{27a^2d-b^3}{27a^3}=0</math></center>{{ש}}▼
<center><math>\left(x+\fracdfrac{b}{3a}\right)^3+\left(\fracdfrac{3ac-b^2}{3a^2}\right){\left(x+\fraccolor{bJungleGreen}{3ax}\right)+\fracdfrac{2b^3+27a^2d-9abcb^3}{27a^3}=0</math></center>
\\\\
▲<center><math>\left(x+\fracdfrac{b}{3a}\right)^3+\left(\fracdfrac{3ac-b^2}{3a^2}\right){\color{JungleGreen}\left(x+\dfrac{b}{3a}-\dfrac{b}{3a}\right)}+\fracdfrac{27a^2d-b^3}{27a^3}=0</math></center>{{ש}}
\\\\
▲<center><math>\left(x+\fracdfrac{b}{3a}\right)^3+\left(\fracdfrac{3ac-b^2}{3a^2}\right){\color{JungleGreen}\left(x+\fracdfrac{b}{3a}\right)}-{\color{JungleGreen}\fracdfrac{b}{3a}}\left(\dfrac{3ac-b^2}{3a^2}\right)}+\fracdfrac{27a^2d-b^3}{27a^3}=0</math></center>{{ש}}
\\\\
▲<center><math>\left(x+\fracdfrac{b}{3a}\right)^3+\left(\fracdfrac{3ac-b^2}{3a^2}\right)\left(x+\fracdfrac{b}{3a}\right)+\fracdfrac{b^3-3abc}{9a^3}+\fracdfrac{27a^2d-b^3}{27a^3}=0</math></center>{{ש}}
\\\\
\left(x+\dfrac{b}{3a}\right)^3+\left(\dfrac{3ac-b^2}{3a^2}\right)\left(x+\dfrac{b}{3a}\right)+\dfrac{2b^3+27a^2d-9abc}{27a^3}=0
\end{matrix}
</math></center>
עתה הגענו למשוואה קובית בתבנית <math>y^3+my+n=0</math> . כיצד נמשיך מכאן?
 
שורה 50 ⟵ 60:
 
 
<center><math>
<center><math>x+\frac{b}{3a}=A+B=y\quad,\quad\frac{3ac-b^2}{3a^2}=-3AB=m\quad,\quad\frac{9abc-2b^3-27a^2d}{27a^3}=A^3+B^3=-n</math></center>{{ש}}▼
\begin{matrix}
<center><math>B=-\frac{m}{3A}\quad,\quad A^3=-n-\left(-\frac{m}{3A}\right)^3</math></center>{{ש}}▼
▲<center><math>x+\fracdfrac{b}{3a}=A+B=y\quad,\quad\fracdfrac{3ac-b^2}{3a^2}=-3AB=m\quad,\quad\fracdfrac{9abc-2b^3-27a^2d}{27a^3}=A^3+B^3=-n</math></center>{{ש}}
<center><math>(A^3)^2+n(A^3)-\frac{m^3}{27}=0\qquad\Rightarrow\qquad A^3=-\frac{n}{2}\pm\frac{1}{2}\sqrt{n^2-4\left(-\frac{m^3}{27}\right)}\qquad\Rightarrow\qquad A=\sqrt[3]{-\frac{n}{2}\pm\sqrt{\frac{n^2}{4}+\frac{m^3}{27}}}</math></center>{{ש}}▼
\\\\
<center><math>B^3=-n-A^3\qquad\Rightarrow\qquad B^3=-n-\left(-\frac{n}{2}\pm\sqrt{\frac{n^2}{4}+\frac{m^3}{27}}\right)=-\frac{n}{2}\mp\sqrt{\frac{n^2}{4}+\frac{m^3}{27}}\qquad\Rightarrow\qquad B=\sqrt[3]{-\frac{n}{2}\mp\sqrt{\frac{n^2}{4}+\frac{m^3}{27}}}</math></center>{{ש}}▼
▲<center><math>B=-\fracdfrac{m}{3A}\quad,\quad A^3=-n-\left(-\fracdfrac{m}{3A}\right)^3</math></center>{{ש}}
<center><math>x=y-\frac{b}{3a}=A+B-\frac{b}{3a}=\sqrt[3]{-\frac{n}{2}+\sqrt{\frac{n^2}{4}+\frac{m^3}{27}}}+\sqrt[3]{-\frac{n}{2}-\sqrt{\frac{n^2}{4}+\frac{m^3}{27}}}-\frac{b}{3a}</math></center>▼
\\\\
▲<center><math>(A^3)^2+n(A^3)-\fracdfrac{m^3}{27}=0\qquad\Rightarrow\qquad A^3=-\fracdfrac{n}{2}\pm\frac{1}{2}dfrac12\sqrt{n^2-4\left(-\fracdfrac{m^3}{27}\right)}\qquad\Rightarrow\qquad A=\sqrt[3]{-\fracdfrac{n}{2}\pm\sqrt{\fracdfrac{n^2}{4}+\fracdfrac{m^3}{27}}}</math></center>{{ש}}
\\\\
▲<center><math>B^3=-n-A^3\qquad\Rightarrow\qquad B^3=-n-\left(-\fracdfrac{n}{2}\pm\sqrt{\fracdfrac{n^2}{4}+\fracdfrac{m^3}{27}}\right)=-\fracdfrac{n}{2}\mp\sqrt{\fracdfrac{n^2}{4}+\fracdfrac{m^3}{27}}\qquad\Rightarrow\qquad B=\sqrt[3]{-\fracdfrac{n}{2}\mp\sqrt{\fracdfrac{n^2}{4}+\fracdfrac{m^3}{27}}}</math></center>{{ש}}
\\\\
▲<center><math>x=y-\fracdfrac{b}{3a}=A+B-\fracdfrac{b}{3a}=\sqrt[3]{-\fracdfrac{n}{2}+\sqrt{\fracdfrac{n^2}{4}+\fracdfrac{m^3}{27}}}+\sqrt[3]{-\fracdfrac{n}{2}-\sqrt{\fracdfrac{n^2}{4}+\fracdfrac{m^3}{27}}}-\fracdfrac{b}{3a}</math></center>
\end{matrix}
</math></center>
 
שימו לב: עלינו לקחת בחשבון כי מעל המרוכבים למשוואה הקובית עד 3 פתרונות, לכן המספר '''1''' הנו בעל 3 שורשים - יחיד ממשי '''1''' ו-2 מרוכבים <math>\frac{-1\pm\sqrt3i}{2}</math> .
 
כאשר מוציאים '''1''' מתוך כל אחד מהשורשים הקוביים במשוואה הראשונית <math>x_1</math> מקבלים את המשוואות הבאות:
<center><math>
<center><math>\color{red}x_1=\sqrt[3]{-\frac{n}{2}+\sqrt{\frac{n^2}{4}+\frac{m^3}{27}}}+\sqrt[3]{-\frac{n}{2}-\sqrt{\frac{n^2}{4}+\frac{m^3}{27}}}-\frac{b}{3a}</math></center>{{ש}}▼
\begin{matrix}
<center><math>\color{red}x_2=\left(-\frac{1-\sqrt3i}{2}\right)\sqrt[3]{-\frac{n}{2}+\sqrt{\frac{n^2}{4}+\frac{m^3}{27}}}+\left(-\frac{1+\sqrt3i}{2}\right)\sqrt[3]{-\frac{n}{2}-\sqrt{\frac{n^2}{4}+\frac{m^3}{27}}}-\frac{b}{3a}</math></center>{{ש}}▼
<center><math>\color{red}x_2x_1=\left(-\frac{1+\sqrt3i}{2}\right)\sqrt[3]{-\fracdfrac{n}{2}+\sqrt{\fracdfrac{n^2}{4}+\fracdfrac{m^3}{27}}}+\left(-\frac{1-\sqrt3i}{2}\right)\sqrt[3]{-\fracdfrac{n}{2}-\sqrt{\dfrac{n^2}{4}+\fracdfrac{m^3}{27}}}-\fracdfrac{b}{3a}</math></center>{{ש}}
\\\\
▲<center><math>\color{red}x_1x_2=\left(-\dfrac{1-\sqrt3i}{2}\right)\sqrt[3]{-\fracdfrac{n}{2}+\sqrt{\fracdfrac{n^2}{4}+\fracdfrac{m^3}{27}}}+\left(-\dfrac{1+\sqrt3i}{2}\right)\sqrt[3]{-\fracdfrac{n}{2}-\sqrt{\fracdfrac{n^2}{4}+\fracdfrac{m^3}{27}}}-\fracdfrac{b}{3a}</math></center>{{ש}}
\\\\
▲<center><math>\color{red}x_2=\left(-\fracdfrac{1-+\sqrt3i}{2}\right)\sqrt[3]{-\fracdfrac{n}{2}+\sqrt{\fracdfrac{n^2}{4}+\fracdfrac{m^3}{27}}}+\left(-\fracdfrac{1+-\sqrt3i}{2}\right)\sqrt[3]{-\fracdfrac{n}{2}-\sqrt{\fracdfrac{n^2}{4}+\fracdfrac{m^3}{27}}}-\fracdfrac{b}{3a}</math></center>{{ש}}
\end{matrix}
</math></center>
 
אם כן, מדוע מופיעים המרוכבים במכפלות בזוגות של צמודים ולא בשווה, כלומר <math>(a\pm bi)A+(a\mp bi)B</math> ולא <math>(a\pm bi)(A+B)</math> ? ההסבר פשוט:{{ש}}
שורה 70 ⟵ 94:
 
כך תראינה המשוואות כשנציב בהן את ערכי הפרמטרים <math>y,m,n</math> בהתאמה:
<center><math>
<center><math>x_1=\frac{\sqrt[3]{9abc-2b^3-27a^2d+\sqrt{\big(9abc-2b^3-27a^2d\big)^2+4\big(3ac-b^2\big)^3}}+\sqrt[3]{9abc-2b^3-27a^2d-\sqrt{\big(9abc-2b^3-27a^2d\big)^2+4\big(3ac-b^2\big)^3}}}{3\sqrt[3]2a}-\frac{b}{3a}</math></center>{{ש}}▼
\begin{matrix}
<center><math>x_2=\frac{(1-\sqrt3i)\sqrt[3]{2b^3+27a^2d-9abc-\sqrt{\big(9abc-2b^3-27a^2d\big)^2+4\big(3ac-b^2\big)^3}}+(1+\sqrt3i)\sqrt[3]{2b^3+27a^2d-9abc+\sqrt{\big(9abc-2b^3-27a^2d\big)^2+4\big(3ac-b^2\big)^3}}}{6\sqrt[3]2a}-\frac{b}{3a}</math></center>{{ש}}▼
<center><math>x_3x_1=\fracdfrac{(1+\sqrt3i)\sqrt[3]{9abc-2b^3+-27a^2d-9abc-+\sqrt{\big(9abc-2b^3-27a^2d\big)^2+4\big(3ac-b^2\big)^3}}+(1-\sqrt3i)\sqrt[3]{9abc-2b^3+-27a^2d-9abc+\sqrt{\big(9abc-2b^3-27a^2d\big)^2+4\big(3ac-b^2\big)^3}}}{63\sqrt[3]2a}-\fracdfrac{b}{3a}</math></center>{{ש}}
\\\\
▲<center><math>x_1x_2=\fracdfrac{(1-\sqrt3i)\sqrt[3]{9abc-2b^3-+27a^2d+-9abc-\sqrt{\big(9abc-2b^3-27a^2d\big)^2+4\big(3ac-b^2\big)^3}}+(1+\sqrt3i)\sqrt[3]{9abc-2b^3-+27a^2d-9abc+\sqrt{\big(9abc-2b^3-27a^2d\big)^2+4\big(3ac-b^2\big)^3}}}{36\sqrt[3]2a}-\fracdfrac{b}{3a}</math></center>{{ש}}
\\\\
▲<center><math>x_2x_3=\fracdfrac{(1-+\sqrt3i)\sqrt[3]{2b^3+27a^2d-9abc-\sqrt{\big(9abc-2b^3-27a^2d\big)^2+4\big(3ac-b^2\big)^3}}+(1+-\sqrt3i)\sqrt[3]{2b^3+27a^2d-9abc+\sqrt{\big(9abc-2b^3-27a^2d\big)^2+4\big(3ac-b^2\big)^3}}}{6\sqrt[3]2a}-\fracdfrac{b}{3a}</math></center>{{ש}}
\end{matrix}
</math></center>
 
זוהי תוצאה מסורבלת ואף מכוערת, לכן נעדיף לרוב את הדרך הקודמת והקצרה.
 
אוחזר מתוך "https://he.wikibooks.org/wiki/מתמטיקה_תיכונית/אלגברה_תיכונית/משוואות/משוואות_ממעלה_שלישית"