תורת הקבוצות/מכפלה קרטזית: הבדלים בין גרסאות בדף
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
אין תקציר עריכה |
אין תקציר עריכה |
||
שורה 2:
<!-- לא החלטתי עדיין עם להמשיך את הקו של שאר הספר מבחינת עיצוב ההגדרות והמשפטים, או לשנות את זה מחדש לעיצוב המתאים לי, כפי שניתן לראות נניח בספר "מבנים אלגבריים". בינתיים אין עיצוב מיוחד, וההחלטה בידי הבאים אחרי -->
ראינו כבר בעבר שאין חשיבות לסדר שבו
==זוג סדור==
הגדרה: בהינתן קבוצות <math>A,B</math> ואברים בהם <math>a,b</math> בהתאמה, נגדיר את הזוג הסדור:
<center><font size=5><math>(a,b)=\big\{\{a\},\{a,b\}\big\}</math></font size=5></center>
על הקורא לנסות לשכנע את עצמו מדוע ההגדרה הזו "נכונה", מהבחינה האינטואטיבית של "קבוצה בעלת חשיבות לסדר". מבחינה פורמלית, הדבר מוכח בטענה הבאה:
<math>(a,b)=(x,y)</math>
▲תוכן=<math>(a, b)=(x,y)</math> אם ורק אם <math>a=x</math> וגם <math>y=b</math>}}
;הוכחה
כיוון ראשון, נניח שמתקיים
:<font size=5><math>(x,y)=(a,b)</math></font size=5>
לכן, יש שוויון בין הקבוצות
:<font size=5><math>\big\{\{x\},\{x,y\}\big\}=\big\{\{a\},\{a,b\}\big\}</math></font size=5>
לכן
:<font size=5><math>\{a\}=\{x\}</math> או <math>\{a\}=\{x,y\}</math></font size=5>
כיון שבאחת יש 2 אברים (אם לא, אז במקרה <math>x=y</math> הטענה נכונה בהכרח), <math>x=a</math> בהכרח.
מכאן
:<font size=5><math>\{x,y\}=\{a,b\}</math></font size=5>
ומהשוויון הראשון בהכרח מתקיים <math>y=b</math> כנדרש.
נשים לב שתחת ההגדרה הזו, מתקיים שאם
:<font size=5><math>a\ne b\ \Rightarrow\ (a,b)\ne(b,a)</math></font size=5>
כלומר יש חשיבות לסדר.
==המכפלה הקרטזית==
כעת
<center><font size=5><math>A\times B=\Big\{(a,b)\Big|a\in A,b\in B\Big\}</math></font size=5></center>
כלומר, המכפלה הקרטזית היא אוסף כל הזוגות הסדורים, שהאבר הראשון שלהם הוא מ- <math>A</math> והאבר השני שלהם הוא מ- <math>B</math> .
===דוגמאות===
*נסתכל על הקבוצות <math>A=\{0,1\}\ ,\ B=\{a,b,c\}</math> אזי
:<font size=5><math>A\times B=\Big\{(0,a),(0,b),(0,c),(1,a),(1,b),(1,c)\Big\}</math></font size=5>
*כאשר <math>A,B</math> אותן קבוצות מהדוגמא הקודמת, נקבל
:<font size=5><math>B\times A=\Big\{(a,0),(a,1),(b,0),(b,1),(c,0),(c,1)\Big\}</math></font size=5>
==הכללה למספר סופי של קבוצות==
בהינתן קבוצות <math>A_1,\dots,A_n</math> נגדיר את המכפלה הקרטזית שלהן להיות:
<center><font size=5><math>A_1\times\cdots\times A_n=\Big\{(a_1,\
כמו כן, כאשר מכפילים קרטזית קבוצה <math>A</math> בעצמה <math>n</math> פעמים, נהוג לסמן זאת באמצעות <math>A^n</math> .
שורה 40 ⟵ 52:
==תכונות של המכפלה הקרטזית==
כבר בדוגמאות ראינו שבדרך-כלל לא יתקיים <math>A\times B=B\times A</math> כאשר <math>A,B</math> קבוצות כלשהן. חלק מהתכונות להלן מושארות לקורא כתרגיל:
<font size=5>
#
#<math>A\times(B\cup C)=A\times B\cup A\times C</math>
#<math>A\times(B\setminus C)=A\times B\setminus(A\times C)</math>
שורה 46 ⟵ 59:
#<math>A\times(B\Delta C)=A\times B \Delta A\times C</math>
#<math>(\alpha\subset A)\and(\beta\subset B)\iff(\alpha\times\beta)\subset(A\times B)</math>
</font size=5>
<!-- יש להביא הוכחות לפחות לתכונות הקשות יותר, כמו תכונה 3 ותכונה 6. בנוסף, רצוי להוסיף עוד טענות קטנות בסגנון. -->
| |||